挖掘信息,提煉模型
——一道中考題的解法探索

深圳市寶安區(qū)黃麻布學(xué)校(518100) 杜靜媚

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版) 》提出“學(xué)生要學(xué)會借助圖形分析問題,形成解決問題的思路,發(fā)展模型觀念[1].”下面筆者以2022年深圳市中考第22 題第(2)小題為素材進行解法探索.

1 試題呈現(xiàn)

(2022年深圳中考第22 題第(2)小題) 如圖, 四邊形ABCD為矩形,AB= 8,AD= 6,E為CD邊上一點(不與端點重合) , 連接AE, 將矩形ABCD沿AE折疊,D的對應(yīng)點為F, 延長EF、AF分別交AB、BC于M、H兩點, 當(dāng)FH=BH時,求DE的長.

圖1

2 解法探索

2.1 基本模型提煉

在解決幾何問題時,我們要從多個角度去挖掘出題目圖形中所含模型,尋找解題突破口.本題圖形所含的基本模型如下:

圖2 共邊雙勾股

圖3 8 字型相似

圖4 A 字型相似

圖5 A 字型相似

圖6 十字架相似

圖7 平行等腰

2.2 解題思路剖析

圖8

“從條件出發(fā), 由結(jié)論追溯”是生成解題思路的基本策略.因此,我們要盡可能地從條件中獲取關(guān)鍵信息,然后將其與結(jié)論關(guān)聯(lián)起來.

2.3 多種解法展示

解法1如圖9,連接HM,易證RtΔHFM∽=RtΔABM(HL), 所以BM=FM.設(shè)BM=FM=x, 則AM=8-x.在RtΔAFM中由勾股定理可得62+x2= (8-x)2,解得.所以.由折疊可知∠DEA= ∠FEA,又由CD//AB可知∠DEA= ∠EAM,所以∠FEA= ∠EAM, 則所以,故

圖9

解法2如圖10, 連接DF、BF、HM, 設(shè)DF與AE交于點Q,BF與HM交于點G.由折疊易知∠DEA=易證RtΔFHM∽= RtΔBHM(HL),則由AB//CD可知∠DEM= ∠EMB,則∠FEA= ∠FMH,所以AE//HM.易證ΔAEF∽ΔHMF,所以.易證ΔAFM∽ΔABH, 所以所以.故

圖10

解法3如圖11, 連接EH, 設(shè)FH=BH=x.在RtΔABH中由勾股定理可得82+x2= (6 +x)2, 解得.所以,故設(shè)DE=EF=y,則CE=8-y,在RtΔEFH與RtΔECH中由勾股定理可得,解得所以

圖11

解法4如圖12,過E作EN⊥AB于點N.同解法3,由勾股定理可得,則易證ΔENM∽ΔABH, 所以所以所以易證ΔENM∽= ΔAFM(AAS), 所以則,故

圖12

解法5如圖13,延長CB與EM交于點P.同解法3,由勾股定理可得,則易證ΔABH∽= ΔPFH(ASA),所以PF=AB=8,,PC=PH+CH=12.易證ΔPFH∽ΔPCE,所以解得.所以,故DE=EF=

圖13

解法6如圖14, 連 接DF、BF、HM, 設(shè)DF與AE交于點Q,BF與HM交于點G.由折疊易證ΔDEQ∽= ΔFEQ(SAS), 則∠MGF= ∠MGB= 90°,所 以AE⊥DF.由RtΔFHM=RtΔBHM(HL) 易 證ΔMGF∽= ΔMGB(SAS), 則∠MGF= ∠MGB= 90°,所以HM⊥BF.由解法2 可知AE//HM, 所以DF與BF共線, 即D、F、B三點共線.因為∠DEQ+∠QDE= 90°, ∠QDE+ ∠QDA= 90°, 所以∠DEQ=∠QDA.在RtΔDAB中,所 以tan ∠DEQ= tan ∠ODA=.在RtΔADE中,

圖14

解法7如圖15, 連接DF、BF、HM, 設(shè)DF與AE交于點Q,BF與HM交于點G.同解法6, 可證D、F、B三點共線.易證ΔADE∽ΔBAD, 所以, 故

圖15

解法8同解法6, 可證D、F、B三點共線, 且AE⊥BD.如圖16, 以A為坐標(biāo)原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸, 建立平面直角坐標(biāo)系.由題可知A(0,0),B(8,0),D(0,6), 易得直線BD解析式為因為AE⊥BD, 所以kAE ·kBD=-1, 故所以直線AE解析式為當(dāng)y= 6 時,,則,即

圖16

3 解題反思

3.1 挖掘信息,提升加工能力

在解題時不僅要看到題目直接給出的條件, 還要發(fā)現(xiàn)題目隱含的條件,這種隱含的條件容易被忽略,但對解題突破卻有關(guān)鍵作用.比如本題中DE=EF是顯而易見的條件,我們可以將求DE的長轉(zhuǎn)化為求EF的長.然而在多角度剖析此題時, 我們還可以發(fā)現(xiàn)D、F、B三點共線這個隱含的條件,從而利用BD⊥AE來解題.另外,要學(xué)會利用自己已掌握的定理、解題方法等對題目條件進行合理加工,獲得新結(jié)論.比如此題中已知CD//AB與∠DEA= ∠FEA,只要我們稍加挖掘,就可以發(fā)現(xiàn)ΔAEM是等腰三角形,即EM=AM.總之,對題目各類信息進行整合加工是解題前的必要準(zhǔn)備.

3.2 提煉模型,發(fā)展模型觀念

三角形、四邊形等圖形中存在一些基本模型,我們要從復(fù)雜的圖形中提煉出基本模型,滲透建模思想,學(xué)會識模、建模、用模[2],培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與模型觀念素養(yǎng).比如本題涉及到了“平行+角平分線=等腰三角形”、“8 字型相似”、“共邊雙勾股”、“十字架相似”、“A 字型相似”等模型,若能從題目圖中識別這些模型,再將條件與結(jié)論聯(lián)系起來,就能快速找到解題突破口且能實現(xiàn)一題多解.

3.3 一題多解,培養(yǎng)發(fā)散思維

一題多解有助于培養(yǎng)發(fā)散思維和綜合分析能力,讓學(xué)生學(xué)會多角度思考和分析問題,可拓寬其思維深度、廣度與寬度.比如本題中求線段DE的長度,可利用勾股定理、三角函數(shù)、相似三角形等知識求解,也可利用建系求函數(shù)解析式進而求E 點坐標(biāo),將幾何問題代數(shù)化.在雙減背景下,教師可以通過一題多解引導(dǎo)學(xué)生尋找解決問題的通性通法,將解題教學(xué)的效果最大化,達到“解一題、會一類、通一片”目的.中考題看似新穎多變,但只要學(xué)生掌握好解題方法,就能以不變應(yīng)萬變.