挖掘幾何特征,優(yōu)化運算過程*

廣東省佛山市高明區(qū)第一中學(xué)(528500) 劉傳星

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版2020年修訂)》明確提出數(shù)學(xué)運算是六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括: 理解運算對象,掌握運算法則,探究運算思路,選擇運算方法,設(shè)計運算程序,求得運算結(jié)果等.數(shù)學(xué)運算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段,數(shù)學(xué)運算是演繹推理,是計算機解決問題的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)運算主要表現(xiàn)為: 理解運算對象,掌握運算法則,探究運算思路,求得運算結(jié)果.通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能進一步發(fā)展數(shù)學(xué)運算能力;有效借助運算方法解決實際問題;通過運算促進數(shù)學(xué)思維發(fā)展,形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì),養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學(xué)精神.

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容,也是難點,在歷年高考中常常作為壓軸題,解析幾何解答題的計算復(fù)雜度高、計算量大、幾何條件多,能夠有效的考查學(xué)生的知識能力和思維水平.此題在高考中得分率偏低,根據(jù)學(xué)生的反饋和平常的觀察,其中一個最重要的因素就是學(xué)生的運算能力不過關(guān),運算素養(yǎng)亟待提高.究其原因,學(xué)生對運算的本質(zhì)沒有深入進行探究和理解, 拿起筆就硬算, 沒有分析算理、優(yōu)化計算,從而導(dǎo)致計算量巨大,自身能力達不到,在有限的時間內(nèi)不可能完成.如果能仔細審題,把題目條件和結(jié)論有效的結(jié)合起來,認真分析題目中的幾何關(guān)系,把握問題的本質(zhì),選擇合適的解題方法,優(yōu)化計算過程,往往可以減少計算量,簡化運算,提高解題效率,提升運算素養(yǎng).所以對數(shù)學(xué)運算過程的優(yōu)化非常重要,下面以一道解析幾何模擬題為例進行探究.

1 問題呈現(xiàn),考點解析

問題已知雙曲線的右焦點為F(2,0),一條漸近線方程為

(1)求C的方程;

(2)記C的左、右頂點分別為A、B,過F的直線l交C的右支于M、N兩點,連結(jié)MB交直線于點Q,求證:A、Q、N三點共線.

考點解析本題是以雙曲線為背景的解析幾何問題,考查雙曲線與直線的位置關(guān)系、直線交點、三點共線等內(nèi)容.難點在于如何建立三個點的關(guān)系,運用所學(xué)知識,利用坐標的代數(shù)運算證明三點共線.解析幾何問題的本質(zhì)是把幾何問題代數(shù)化,再聯(lián)立合適的方程,最后轉(zhuǎn)化成相關(guān)點的坐標運算進行求解.解題過程中往往會有復(fù)雜的運算,在分析問題和解題過程中, 需要深度挖掘幾何條件, 關(guān)注定義, 合理分析,適當優(yōu)化,快速解題.

2 解法探究,優(yōu)化運算

2.1 常規(guī)方法、直譯條件

分析由于第(1) 問難度較低, 計算方法基本相似, 學(xué)生能夠容易掌握, 所以本文重點就第二問的解法進行探究.解決此題的關(guān)鍵有兩點: 一是聯(lián)立直線與雙曲線的方程并求出交點坐標, 二是選擇合理代數(shù)關(guān)系, 實現(xiàn)三點共線代數(shù)運算的坐標化.常規(guī)方法是聯(lián)立直線l的點斜式方程y=k(x-2)與雙曲線C的標準方程,用參數(shù)k來表示點M、N、Q的坐標,再利用兩個向量共線證明A、Q、N三點共線,從而構(gòu)建了A、Q、N三點共線與坐標運算之間的聯(lián)系,達到求解目的.

解法1(1) 依題意可得a2+b2= 4,,解得a2=3,b2=1,故C的方程為

①若直線l的斜率不存在, 則直線l的方程為x= 2, 所以, 此時直線MB:令得所以即故A、Q、N三點共線.

②若直線l的斜率存在,設(shè)l的方程為y=k(x-2),M(x1,y1),N(x2,y2), 聯(lián)立方程消去y整理得:(1-3k2)x2+ 12k2x -12k2-3 = 0, 所以直線MB:

評析直線與雙曲線有關(guān)的問題,經(jīng)?？紤]直接聯(lián)立方程組,利用韋達定理,結(jié)合幾何位置關(guān)系求解,上述解法采用常規(guī)方法證明三點共線,直譯條件,結(jié)合向量共線證明.該方法的利弊十分明顯,優(yōu)點是解題思路清晰自然,但計算過程比較繁瑣,而且還要討論斜率不存在的情況,需要分類討論.既要求Q點的坐標,還要代入向量共線公式,把韋達定理代入方程進行化簡運算,方程的結(jié)構(gòu)復(fù)雜,運算量大,對學(xué)生的計算能力要求很高,挑戰(zhàn)很大.

2.2 巧設(shè)直線,初步優(yōu)化

根據(jù)直線l過x軸上的定點F(2,0),此時可以設(shè)直線l的方程為x=my+2,點M、N兩點是直線與雙曲線的交點,結(jié)合韋達定理,用參數(shù)m表示y1+y2和y1y2的值,最后利用向量共線的條件建立方程證明三點共線.

解法2(1)略,同解法1.

評析在上述處理直線l的方程時, 不再是設(shè)x表示成y的直線方程,而是根據(jù)中直線l的位置特征,反設(shè)直線x=my+2,這樣避免討論直線l斜率不存在的情況,減少了運算量.另外,直線方程x=my+2 的形式更加簡潔,聯(lián)立雙曲線方程的計算過程簡單,得到y(tǒng)1+y2和y1y2的表達式更簡潔,從而達到了優(yōu)化運算過程,提升運算效率的功能.

2.3 挖掘條件,深度優(yōu)化

在解決直線與圓錐曲線的相關(guān)問題中,充分挖掘題目中的條件,深入分析幾何關(guān)系,回歸問題的本質(zhì),會有事半功倍的效果.針對題中A、Q、N三點共線這一問題,根據(jù)分析,點Q必定是直線直線MB、直線AN的共同的交點,根據(jù)幾何關(guān)系,只需要證直線MB與AN交點的橫坐標為就能得到A、Q、N三點共線.

解法3第(1)問略.

評注在上述證明過程中,充分利用了直線相交的位置關(guān)系, 直接利用直線MB與AN構(gòu)成方程組, 通過計算得到直線MB與AN交點的橫坐標是定值,從而證明三點共線.計算過程巧妙運用了非對稱的韋達定理, 從而得到y(tǒng)1+y2和y1y2的關(guān)系,即整個求解過程的計算量大大的減少了,避免了許多重復(fù)、繁瑣的簡單代入計算,回歸到解析幾何問題的本質(zhì).所以在破解解析幾何問題時要重點思考題干中的信息,挖掘條件背后隱藏的幾何關(guān)系,提煉出幾何特征,優(yōu)化運算過程,構(gòu)建恰當?shù)姆匠炭焖俳忸}.

3 解后思考,反思教學(xué)

高考解析幾何問題的復(fù)雜性和綜合性都比較強,擁有較強的計算能力是必不可少的,雖然不能避免計算,但是可以想辦法優(yōu)化計算,從不同的視角分析問題,挖掘幾何特征,得出不同的解題策略,深度挖掘隱含條件,抓住問題的本質(zhì),分析算理,多思少算,優(yōu)化計算過程,追求最優(yōu)解,提升運算素養(yǎng),這也是高考命題的趨勢和重要考查方向,2022年全國高考數(shù)學(xué)卷對學(xué)生的運算能力提出了更高的要求,不僅注重對運算能力的考查,也加強對學(xué)生思維能力、運算技巧的考查.在日常教學(xué)中,學(xué)生的運算能力培養(yǎng)應(yīng)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重點內(nèi)容,多采用“優(yōu)化解法”、“優(yōu)化運算”、“一題多解”等訓(xùn)練學(xué)生思維能力的教學(xué)方式,也可以通過變式教學(xué)來拓展學(xué)生的思維,提升運算素養(yǎng).