變換角度費思量 化歸思想露鋒芒
——一道函數(shù)最值問題的解法探究

浙江省體育職業(yè)技術(shù)學院(311200) 徐 羽

在三角函數(shù)尤其是三角恒等變換的學習中,學生始終能體會到轉(zhuǎn)化化歸思想的作用與魅力.面對經(jīng)典問題,不應僅僅滿足于求出答案.引導學生一題多解,對學生鞏固已有知識,提高數(shù)學應用能力,發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)大有幫助.

1 問題呈現(xiàn)

已知x ∈(0,π),求函數(shù)的最小值.

2 解法探究

解法1(分組拆分)

解法2(三角萬能公式代換)

∵x ∈(0,π),∴當且僅當時取到等號,故此時

解法3(柯西不等式)

∵ysinx+cosx=2 而

∴(y2+ 12)(sin2x+ cos2x) ≥4 解得y2≥3, 根據(jù)y=得到y(tǒng)sinx= 2-cosx, ∵x ∈(0,π),∴sinx ＞0,y ＞0,∴當且僅當ycosx= sinx時取等號,即當時可知

解法4(判別式法)

解法5(齊次式法)

解法6(均值換元)

由ysinx+cosx=2 可知1 為ysinx,cosx的等差中項,記ysinx=1-d,cosx=1+d則有整理得到此二次方程必有解,∴Δ = (y2-1)2-(y2+1) ≥0 化簡有(y2-3)y2≥0,解得y2≥3,∵x ∈(0,π),∴sinx ＞0,y ＞0,∴當且僅當時取等號.

解法7(合角公式)

由ysinx+cosx=2 可知解得y2≥3,∵x ∈(0,π),∴sinx ＞0,y ＞0,當解得當且僅當時取等號.

解法8(求導數(shù))

解法9(坐標法)

圖1

解法10(圖象法)

視(sinx,cosx) 為直線l:ay+b= 2 與單位圓a2+b2=1 的公共點,則單位圓心(0,0)到直線l:ay+b=2的距離如圖2, 解得y2≥3, ∵x ∈(0,π),∴sinx ＞0,y ＞0,∴當且僅當時取等號,此時l:ay+b=2 與半圓相切.

圖2

3 題后反思

所舉問題可以推廣為由xsinθ+ycosθ=A(其中A為常數(shù))變形而來的求值或求最值問題.該種類型問題出現(xiàn)頻率高,對學生數(shù)學思維的訓練與考察都有一定的作用.從解法上看,此類問題可以從不等式角度(解法1、2、3),方程角度(解法4、5、6),函數(shù)角度(解法7、8),解析幾何角度(解法9、10)四種角度分析解決.

不等式的應用需要學生對問題進行適當?shù)淖冃?在三角函數(shù)里,變形的多樣性體現(xiàn)得淋漓盡致.例如,本例亦可做如此拆分:

此外,不等式介入渠道多樣.例如,該問題通過構(gòu)造向量a=(y,1),b=(sinx,cosx)通過向量點積關(guān)系a·b≤|a||b|同樣可以得到解法三中的(*)式,從而完成解答.

方程角度求解該類型問題,可以通過構(gòu)造對偶方程,借助sin2x+cos2x= 1 這一隱含條件進行求值.或者,通過多種角度,構(gòu)造二次方程從而應用判別式求取值范圍.從函數(shù)角度看,合角公式的應用特別是導數(shù)求最值更是常用的手段.解析幾何的角度要求學生熟練掌握斜率,點到直線的距離等常見量的代數(shù)表示,通過圖象的幾何意義,快速地找到題解.

學習的高度,取決于思維的深度.而培養(yǎng)學生深度思考的習慣,是數(shù)學教師必須面對的一個問題[1].經(jīng)典的數(shù)學習題,學生對其常見解法已經(jīng)爛熟于心.此時,更需要教師引導學生溫故知新,變換角度,打通知識脈絡,更深更廣地思考問題.化歸思想是數(shù)學思想中的瑰寶,在問題的轉(zhuǎn)化過程中,引導學生感受化歸思想的美感是提高數(shù)學核心素養(yǎng)的有效途徑.