基于案例教學(xué)的“線性代數(shù)”課程教學(xué)創(chuàng)新與研究

馮杰 楊慧 董連春

摘?要：“線性代數(shù)”在工程技術(shù)及國(guó)民經(jīng)濟(jì)的許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，為學(xué)生學(xué)好后續(xù)專業(yè)課程起到關(guān)鍵作用。但目前的《線性代數(shù)》教材內(nèi)容以及教師教授過(guò)程，更側(cè)重于數(shù)學(xué)知識(shí)本身，而忽略了知識(shí)的實(shí)踐應(yīng)用，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中感到枯燥乏味，從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)這門課失去興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)力，教學(xué)效果差。本文以講授矩陣特征值特征向量為例，首先在“線性代數(shù)”教學(xué)中融入課程思政元素，在傳授知識(shí)的同時(shí)立德樹人，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感和認(rèn)同感。同時(shí)通過(guò)案例分析的教學(xué)方法引出并講授所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，反過(guò)來(lái)再用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，從而幫助學(xué)生更好地理解掌握所學(xué)知識(shí)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力，最終達(dá)到提高課程教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果的目的。

關(guān)鍵詞：案例教學(xué)；課程思政；線性代數(shù)

“線性代數(shù)”屬于大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程，也是非數(shù)學(xué)類專業(yè)的學(xué)生參加碩士研究生“數(shù)學(xué)”考試的一門必考課程，其理論方法在工程技術(shù)與國(guó)民經(jīng)濟(jì)的許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的“線性代數(shù)”教學(xué)，教師應(yīng)更側(cè)重于知識(shí)的應(yīng)用實(shí)踐，減少理論證明。但目前的《線性代數(shù)》教材內(nèi)容重點(diǎn)更多的是數(shù)學(xué)知識(shí)本身，例題習(xí)題圍繞理論知識(shí)展開，很少涉及對(duì)知識(shí)的應(yīng)用。加之“線性代數(shù)”非常抽象，課時(shí)安排又少，每次課時(shí)間短內(nèi)容多，常常讓學(xué)生感到枯燥難懂，學(xué)起來(lái)吃力，很快對(duì)這門課失去學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)力。而數(shù)學(xué)知識(shí)前后銜接很緊密，如果前面沒學(xué)懂，后面就更不懂了，于是進(jìn)入惡性循環(huán)，導(dǎo)致整學(xué)期這門課也沒學(xué)到太多內(nèi)容。

我們?cè)凇熬€性代數(shù)”的教學(xué)中融入相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的課程思政元素，在傳授知識(shí)的同時(shí)立德樹人，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感和認(rèn)同感，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，實(shí)現(xiàn)全方位育人的教學(xué)目標(biāo)。對(duì)于相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)教學(xué)，由實(shí)際應(yīng)用案例引出，通過(guò)學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)，反過(guò)來(lái)再解決實(shí)際問(wèn)題。當(dāng)學(xué)生最后用所學(xué)理論知識(shí)解決了實(shí)際問(wèn)題后，學(xué)生能體會(huì)到很大的成就感。案例教學(xué)既有助于幫助學(xué)生更好地理解掌握所學(xué)知識(shí)，又能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高學(xué)生分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，最終達(dá)到提高課程教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)效果的目的。下面我們以“線性代數(shù)”課程中的特征值與特征向量為例，展示如何在教學(xué)中融合課程思政內(nèi)容和案例教學(xué)。

一、“線性代數(shù)”中特征值與特征向量的思政元素

中國(guó)科學(xué)院院士、中國(guó)工程院院士、哈爾濱工業(yè)大學(xué)劉永坦教授在20世紀(jì)80年代成功創(chuàng)建了我國(guó)第一部新體制遠(yuǎn)距離雷達(dá)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，全面驗(yàn)證了遠(yuǎn)距離探測(cè)理論體系和方法，實(shí)現(xiàn)了我國(guó)對(duì)海探測(cè)能力的跨越式發(fā)展。新體制雷達(dá)可以遠(yuǎn)距離探測(cè)海上目標(biāo)的位置和方向，實(shí)現(xiàn)全天時(shí)、全天候、遠(yuǎn)距離?？樟Ⅲw探測(cè)，是捍衛(wèi)我國(guó)疆土的國(guó)防重器。由于突出的貢獻(xiàn)，劉永坦院士于2018年榮獲國(guó)家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)。

新體制雷達(dá)的工作原理涉及信號(hào)處理的各個(gè)領(lǐng)域，而在信號(hào)處理領(lǐng)域中，“線性代數(shù)”中矩陣的特征值和特征向量是一個(gè)非常重要而又基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)。沒有“線性代數(shù)”的內(nèi)容作為基礎(chǔ)，是不可能學(xué)好信號(hào)處理這門專業(yè)課程的?！皹s獲國(guó)家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)是一種無(wú)上的光榮，這份殊榮不僅僅屬于我個(gè)人，更屬于我們的團(tuán)隊(duì)，屬于這個(gè)偉大時(shí)代所有愛國(guó)奉獻(xiàn)的知識(shí)分子?！眲⒂捞乖菏康膼蹏?guó)奉獻(xiàn)情懷讓我們欽佩，頑強(qiáng)拼搏打造大國(guó)重器的精神值得我們每一個(gè)人學(xué)習(xí)。

課堂上，我們通過(guò)介紹劉永坦院士的事跡，不僅使學(xué)生認(rèn)識(shí)到“矩陣的特征值和特征向量”這一基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的重要性，而且使學(xué)生堅(jiān)定了好好學(xué)習(xí)文化知識(shí)，為中國(guó)特色社會(huì)主義事業(yè)努力奮斗開拓創(chuàng)新的信念。

二、“線性代數(shù)”中特征值與特征向量的教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)內(nèi)容及地位

教學(xué)內(nèi)容：理解特征值與特征向量的定義，了解特征向量與差分方程之間的關(guān)系，會(huì)求方陣的特征值與特征向量。特征值與特征向量使我們了解由差分方程所描述的動(dòng)力系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為或進(jìn)化，如：

xk+1=Axk

此類方程可用來(lái)建立人口動(dòng)態(tài)變化的數(shù)學(xué)模型以及生態(tài)問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模。事實(shí)上，很多的科學(xué)領(lǐng)域中都存在動(dòng)力系統(tǒng)，因此這部分內(nèi)容在實(shí)際生產(chǎn)生活中具有廣泛應(yīng)用。

設(shè)計(jì)理念：首先提出動(dòng)力系統(tǒng)中的案例——斑點(diǎn)貓頭鷹種群的動(dòng)力學(xué)研究，引導(dǎo)學(xué)生思考如何建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后通過(guò)學(xué)習(xí)矩陣特征值與特征向量來(lái)求解上述數(shù)學(xué)模型。最后讓學(xué)生思考數(shù)學(xué)模型的解最終反映到實(shí)際問(wèn)題中代表了什么含義，以此實(shí)現(xiàn)理論聯(lián)系實(shí)際，將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到社會(huì)實(shí)踐中的目標(biāo)。

（二）學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)分析

在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容前，學(xué)生需要學(xué)習(xí)行列式的計(jì)算、矩陣的運(yùn)算與初等行變換、線性方程組的求解。

（三）教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：理解特征值與特征向量的概念，了解特征向量與差分方程之間的關(guān)系，會(huì)求方陣的特征值與特征向量，掌握將矩陣對(duì)角化的方法，了解特征值與特征向量在離散動(dòng)力系統(tǒng)中的應(yīng)用。培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力以及動(dòng)手實(shí)踐的能力。通過(guò)建立理論知識(shí)與社會(huì)實(shí)踐相結(jié)合的教學(xué)方式提高學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力和興趣。

過(guò)程與方法：從斑點(diǎn)貓頭鷹種群動(dòng)力學(xué)研究案例出發(fā)，首先讓學(xué)生建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后引出本節(jié)教學(xué)內(nèi)容，最后利用所學(xué)知識(shí)解決前面建立的數(shù)學(xué)模型，最后根據(jù)所得結(jié)果解釋實(shí)際現(xiàn)象。從案例出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考如何解決實(shí)際問(wèn)題，在探究的過(guò)程中獲取知識(shí)并發(fā)現(xiàn)“線性代數(shù)”在實(shí)際應(yīng)用中的重要性。

情感態(tài)度與價(jià)值：以案例為引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探究問(wèn)題、獲取知識(shí)、解決問(wèn)題的能力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力。

（四）教學(xué)重點(diǎn)

求解矩陣的特征值和特征向量。

（五）教學(xué)難點(diǎn)

矩陣特征值與特征向量的求解。

（六）教學(xué)過(guò)程

1.知識(shí)回顧

復(fù)習(xí)利用初等行變換求矩陣的行列式以及線性方程組的求解。

2.案例引入

斑點(diǎn)貓頭鷹動(dòng)力學(xué)。由于大面積森林亂砍濫伐導(dǎo)致斑點(diǎn)貓頭鷹的棲息地快速減少，環(huán)境保護(hù)學(xué)家試圖說(shuō)服政府，如果不制止濫伐原始森林，貓頭鷹將瀕臨滅絕，而伐木行業(yè)卻說(shuō)貓頭鷹不應(yīng)該被劃定為“瀕臨滅絕動(dòng)物”，因?yàn)閷?duì)于伐木行業(yè)，如果政府出臺(tái)政策限制伐木，預(yù)計(jì)將失去上萬(wàn)個(gè)工作崗位。

由此，生態(tài)學(xué)家開始對(duì)斑點(diǎn)貓頭鷹種群進(jìn)行動(dòng)力學(xué)研究。貓頭鷹的生命周期分為三個(gè)階段：幼年期（1歲以前）、半成年期（1～2歲）、成年期（2歲以后）。貓頭鷹在半成年期和成年期交配，開始生育繁殖。每一對(duì)貓頭鷹大約需要約1000公頃的土地作為棲息地，生命周期的關(guān)鍵期是當(dāng)幼年貓頭鷹離開巢的時(shí)候，為生存進(jìn)入半成年期，必須成功找到一個(gè)新的棲息地安家。問(wèn)：如果按現(xiàn)在的速度采伐原始森林，貓頭鷹是否會(huì)滅絕？如果不想讓貓頭鷹滅絕，我們應(yīng)該怎么做？

問(wèn)題已經(jīng)出現(xiàn)，現(xiàn)在開始引導(dǎo)學(xué)生思考如何解決該問(wèn)題，那就需要建立貓頭鷹種群數(shù)量的變化過(guò)程。

第一步建立每年種群量的數(shù)學(xué)模型，時(shí)間k=0，1，2，…。通常假設(shè)在每個(gè)生命階段雌雄比例為1∶1，因此我們只計(jì)算雌性貓頭鷹，用xk=（ak，bk，ck）T表示第k年的種群量，其中ak，bk和ck分別表示雌性貓頭鷹在幼年期、半成年期和成年期的數(shù)量。

利用人口統(tǒng)計(jì)學(xué)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，第k年里的雌性貓頭鷹的平均生殖率是33%。依據(jù)目前貓頭鷹的生存環(huán)境可知，幼年雌性貓頭鷹只有18%的可能得以生存進(jìn)入半成年期，半成年雌性貓頭鷹有71%能成功進(jìn)入成年期，94%的成年雌性貓頭鷹能夠繼續(xù)生存下來(lái)進(jìn)入下一年。

根據(jù)以上已有數(shù)據(jù)引導(dǎo)學(xué)生建立第k+1年和第k年貓頭鷹數(shù)量之間的關(guān)系模型。同學(xué)們首先想到的是下列方程組：

ak+1=0.33ckbk+1=0.18akck+1=0.71bk+0.94ck

根據(jù)矩陣的乘法，可以將上述方程組改寫成矩陣方程：

xk+1=ak+1bk+1ck+1=000.330.180000.710.94akbkck=Axk

其中A=000.330.180000.710.94。

上述數(shù)學(xué)模型實(shí)際是形式為：xk+1=Axk的差分方程，稱為離散線性動(dòng)力系統(tǒng)，因?yàn)樗枋龅氖窍到y(tǒng)隨時(shí)間推移的變化過(guò)程?，F(xiàn)在，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解上述差分方程。

在建立差分方程過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的興趣和主動(dòng)性，由此引出本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容。

3.特征值與特征向量

定義A為n階方陣，若存在數(shù)λ和非零向量x使Ax=λx，則稱λ為A的特征值，x稱為對(duì)應(yīng)于λ的特征向量。

下面我們根據(jù)矩陣特征值與特征向量的定義構(gòu)造差分方程xk+1=Axk（k=0，1，…）的解。

假設(shè)n階方陣A的一個(gè)特征向量為x0和它對(duì)應(yīng)的特征值為λ0，令xk=λk0x0（k=1，2，…），則上式為差分方程xk+1=Axk（k=0，1，…）的解，因?yàn)锳xk=A（λk0x0）=λk0（Ax0）=λk0（λ0x0）=λk+10x0=xk+1。

根據(jù)矩陣的運(yùn)算規(guī)律可知，形如xk=λk0x0的解的線性組合仍是差分方程xk+1=Axk的解。

因此，我們的目標(biāo)就是求矩陣的特征值以及對(duì)應(yīng)特征向量。根據(jù)特征值與特征向量的定義可知，一旦知道數(shù)λ為矩陣A的特征值，對(duì)應(yīng)特征向量即為矩陣方程（A－λI）x=0的非平凡解，即求解齊次線性方程組。同時(shí)為了使方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)的齊次線性方程組有非平凡解，充要條件是系數(shù)矩陣的行列式為零。因此可得求解特征值的方法：

定理：數(shù)λ為n階方陣A的特征值的充要條件是λ是特征方程det（A－λI）=0的根。

求解矩陣特征值與特征向量的一般步驟為：

（1）求特征方程det（A-λI）=0的所有根包括實(shí)根和復(fù)根，根據(jù)n階多項(xiàng)式理論可知，n階特征方程det（A-λI）=0必有n個(gè)根，記為λ1，λ2，…，λn。在求行列式det（A－λI）時(shí)，需要利用行列式的性質(zhì)化簡(jiǎn)行列式det（A－λI）為三角形行列式。

（2）對(duì)于每個(gè)特征值λi（i=1，…，n），求解矩陣方程（A-λiI）x=0的所有非平凡解為對(duì)應(yīng)特征值λi的特征向量。

下面回到最開始的斑點(diǎn)貓頭鷹動(dòng)力學(xué)研究。

第一步：求解矩陣A=000.330.180000.710.94的特征值。

解：

det（A－λI）=det000.330.180000.710.94－λ100010001

=det000.330.180000.710.94－λ000λ000λ

=det－λ00.330.18－λ000.710.94－λ

=－λ（－λ）（0.94－λ）+0.33·0.18·0.71

=－λ3+0.94λ2+0.042174

利用MATLAB軟件可計(jì)算方程det（A-λI）=-λ3+094λ2+0.042174=0的根的近似值為：

λ1=0.98，λ2=-0.02+0.21i，λ3=-0.02-0.21i為矩陣A的三個(gè)特征值。

第二步：求對(duì)應(yīng)特征值的特征向量。

因?yàn)锳有3個(gè)相異的特征值，故可求得對(duì)應(yīng)的3個(gè)特征向量v1，v2，v3，因此差分方程xk+1=Axk（k=0，1，…）的通解為：xk=c1（λ1）kv1+c2（λ2）kv2+c3（λ3）kv3。

若初始向量x0是實(shí)向量，由于A是實(shí)矩陣，因此差分方程xk+1=Axk（k=0，1，…）的解都是實(shí)向量。

第三步：探究k→時(shí)，xk的極限行為。

由于λ1<1，|λ2|2=|λ3|2=（-0.02）2+（0.21）2=00445<1，故（λ1）k→0，（λ2）k→0，（λ3）k→0（k→

因此，對(duì)任意的初始向量x0，當(dāng)k→SymboleB@

時(shí)，xk趨于零向量。很不幸，該模型預(yù)測(cè)無(wú)論最開始斑點(diǎn)貓頭鷹數(shù)目有多少，最終都會(huì)全部滅亡。

引導(dǎo)學(xué)生思考：貓頭鷹還有希望嗎？我們需要做什么工作來(lái)改變現(xiàn)狀，使得貓頭鷹興旺起來(lái)。顯然，矩陣A在模型中起到?jīng)Q定性作用。如何改變矩陣中元素的取值來(lái)使得xk不趨于零向量呢？對(duì)應(yīng)到實(shí)際問(wèn)題，又代表了什么呢？帶著問(wèn)題我們回到實(shí)際模型，矩陣A中的元素18%源于如下事實(shí)：盡管有60%的幼年貓頭鷹能夠活下來(lái)離巢去尋找新的棲息地，但其中僅有30%的貓頭鷹能活下來(lái)找到新的棲息地。森林中裸露地的面積使得貓頭鷹的搜尋工作更困難和更危險(xiǎn)，這嚴(yán)重影響幼年貓頭鷹在尋找棲息地過(guò)程中的存活率。如果我們改變幼年貓頭鷹在尋找棲息地過(guò)程中存活下來(lái)的可能性，結(jié)果會(huì)怎樣呢？

例：設(shè)幼年貓頭鷹在尋找棲息地過(guò)程中的存活率為50%，即矩陣A中第二行第一列的元素為0.3而不是018，用這樣的矩陣模型預(yù)測(cè)貓頭鷹數(shù)量的發(fā)展趨勢(shì)。

解：重復(fù)上述步驟，此時(shí)矩陣A的特征值是：

λ1=1.01，λ2=-0.03+0.26i，λ3=-0.03-0.26i

對(duì)應(yīng)于λ1的特征向量為v1=（10，3，31）T，對(duì)應(yīng)于λ2，λ3的特征向量為v2，v3。此時(shí)，差分方程的通解為：

xk=c1（1.01）kv1+c2（λ2）kv2+c3（λ3）kv3

當(dāng)k→時(shí)，（λ2）k→0，（λ3）k→0，因此xk越來(lái)越接近c(diǎn)1（1.01）kv1。此時(shí)，貓頭鷹數(shù)量的增長(zhǎng)率為1.01，即貓頭鷹的數(shù)量會(huì)緩慢增長(zhǎng)。同時(shí)特征向量v1展示了貓頭鷹在3個(gè)年齡段數(shù)量的比例：即每31只成年貓頭鷹對(duì)應(yīng)大約10只幼年貓頭鷹和3只半成年貓頭鷹。

結(jié)論：若按目前森林亂砍濫伐的進(jìn)度，貓頭鷹最終會(huì)滅絕，貓頭鷹是瀕臨滅絕動(dòng)物，因此，政府要出臺(tái)伐木限制，保護(hù)森林，增加貓頭鷹的棲息地。由此，我們將矩陣的特征值與特征方程與離散動(dòng)力系統(tǒng)聯(lián)系起來(lái)，加深了學(xué)生對(duì)基本理論知識(shí)的理解，同時(shí)提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，從而激發(fā)了學(xué)生們的學(xué)習(xí)熱情和興趣。

4.鞏固練習(xí)

通過(guò)簡(jiǎn)單習(xí)題練習(xí)矩陣特征值與特征向量的求解，并讓學(xué)生課下學(xué)習(xí)如何用數(shù)學(xué)軟件求解矩陣特征值與特征向量，探究其他應(yīng)用案例，并在下節(jié)課展示。

結(jié)語(yǔ)

“線性代數(shù)”課程屬于抽象難懂的課程，但對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)又起到重要作用，因此如何在教學(xué)過(guò)程中提高學(xué)生的興趣和信心，提高教學(xué)效果是廣受大家關(guān)注的問(wèn)題。本文將思政元素和案例教學(xué)融入“線性代數(shù)”教學(xué)中，在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)相關(guān)理論知識(shí)，讓同學(xué)們認(rèn)識(shí)到“線性代數(shù)”課程應(yīng)用廣泛，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，同時(shí)將知識(shí)傳授和立德樹人有機(jī)結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)全方位育人。

參考文獻(xiàn)：

［1］David?C.Lay，Steven?R.Lay，Judi?J.McDonald.Linear?Algebra?and?its?applications?5th［M］.Pearson，2015.

［2］吳贛昌.線性代數(shù)（理工類第五版）［M］.中國(guó)人民大學(xué)出版社，2020.

［3］馮霜，溫永川，李金權(quán).案例教學(xué)在金融數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課中的應(yīng)用——以求解齊次線性方程組的教學(xué)為例［J］.科技風(fēng)，2021（29）：1618+39.

基金項(xiàng)目：2020—2021年度中央民族大學(xué)校級(jí)教學(xué)改革立項(xiàng)項(xiàng)目“線性代數(shù)（工科民族實(shí)驗(yàn)班）”

作者簡(jiǎn)介：楊慧（1989—?），女，漢族，山東棗莊人，博士，中央民族大學(xué)理學(xué)院副教授，主要從事隨機(jī)過(guò)程研究。