指向深度學(xué)習(xí)的小學(xué)數(shù)學(xué)命題轉(zhuǎn)變*

□郜曉定

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱“2022 年版課標(biāo)”）明確了以核心素養(yǎng)為目標(biāo)的課程育人導(dǎo)向，而數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是孕育學(xué)生核心素養(yǎng)的重要路徑。數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是學(xué)生全身心積極浸入其中，情感和意志高度參與，主動(dòng)激活多方經(jīng)驗(yàn)自主建構(gòu)，整合相關(guān)信息深層加工，分析、綜合、質(zhì)疑、批判等思維方式內(nèi)蘊(yùn)其中的過程［1］。核心素養(yǎng)在深度學(xué)習(xí)的過程中培育，通過日積月累，學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的理性思維和科學(xué)精神為個(gè)人成長賦能。

評(píng)價(jià)是檢驗(yàn)課程實(shí)施效果的重要一環(huán)，也是考查學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成情況及學(xué)生成長狀況的重要手段。評(píng)價(jià)有多種方式，其中書面測(cè)試是一種常用的評(píng)價(jià)方式。2022 年版課標(biāo)倡導(dǎo)“教—學(xué)—評(píng)”一致性，從而實(shí)現(xiàn)以評(píng)促學(xué)、以評(píng)促教。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)考試命題注重考查知識(shí)技能，考查目標(biāo)單一，不能體現(xiàn)新課程理念，不能促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展?；跀?shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)必須依據(jù)2022年版課標(biāo)中的數(shù)學(xué)課程學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，堅(jiān)持素養(yǎng)立意，凸顯育人導(dǎo)向。試題編制要改變傳統(tǒng)試題的特點(diǎn)，既要對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量進(jìn)行客觀診斷與評(píng)價(jià)，又要對(duì)教師的教和學(xué)生的學(xué)發(fā)揮導(dǎo)向與改進(jìn)作用。

一、指向深度建構(gòu)，從考查記憶轉(zhuǎn)向考查理解

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)淡化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的自主建構(gòu)與深度理解，注重對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握。指向?qū)W生深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)命題應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)設(shè)具有現(xiàn)實(shí)意義的題干情境，提供展現(xiàn)個(gè)性理解的空間，考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵的理解情況。

【試題1】勞動(dòng)課上，小文和小明各縫制了一些沙包，他們準(zhǔn)備送一些給一年級(jí)的小朋友。小文拿出自己沙包的小明拿出自己沙包的他們拿出的沙包正好都是3 個(gè)。誰縫制的沙包多？你是怎樣想的？（可以畫一畫、寫一寫）

考查概念應(yīng)由概念記憶走向概念運(yùn)用。學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)識(shí)不應(yīng)停留在規(guī)范的語言表述上。在他們腦中的分?jǐn)?shù)應(yīng)是具象的、豐富的，是一幅幅鮮活的圖像。試題1突破了常規(guī)試題的模式，結(jié)合生活情境讓學(xué)生自主說理，即運(yùn)用概念進(jìn)行分析判斷。本題沒有任何限制，給學(xué)生預(yù)留了較大的展示空間。學(xué)生可以根據(jù)自身的思維習(xí)慣選擇不同的數(shù)學(xué)語言表征題目中分?jǐn)?shù)的含義。有的學(xué)生會(huì)運(yùn)用直條圖、線段圖、示意圖等圖像語言畫出小文沙包的和小明沙包的；有的學(xué)生會(huì)用喜歡的符號(hào)表示出小文和小明沙包的數(shù)量；還有的學(xué)生會(huì)用文字表述說明誰的沙包多。不同的表征方式反映學(xué)生不同的認(rèn)知風(fēng)格，教師可以根據(jù)學(xué)生多樣的答題情況對(duì)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)進(jìn)行分析，考查學(xué)生是否能借助自己的方式建構(gòu)分?jǐn)?shù)的概念、把握分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，并運(yùn)用分?jǐn)?shù)的含義進(jìn)行分析判斷。這樣的說理試題可以考查學(xué)生對(duì)概念、特征的理解水平，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表征能力，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方式進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎寂c推理，促進(jìn)推理意識(shí)、模型意識(shí)等核心素養(yǎng)的提升。

【試題2】觀察圖1 中的豎式，陰影遮住的部分分別用甲數(shù)、乙數(shù)和丙數(shù)表示，比較它們的大小，說法正確的是（）。

A.甲數(shù)比乙數(shù)大 B.乙數(shù)比丙數(shù)大

C.乙數(shù)比甲數(shù)大 D.無法比較

圖1

考查運(yùn)算應(yīng)由關(guān)注運(yùn)算結(jié)果走向關(guān)注思維分析。通常的口算、筆算或遞等式計(jì)算，學(xué)生只要掌握相應(yīng)的計(jì)算方法，正確地進(jìn)行計(jì)算便能得到結(jié)果。為了追求計(jì)算速度和正確率，學(xué)生需要反復(fù)進(jìn)行訓(xùn)練，計(jì)算學(xué)習(xí)往往異化為技能操練?！皵?shù)的運(yùn)算”的深度學(xué)習(xí)傾向于理解算理。教師利用現(xiàn)實(shí)情境引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“數(shù)的運(yùn)算”展開分析，凸顯運(yùn)算的價(jià)值，使“數(shù)的運(yùn)算”成為學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)開展數(shù)學(xué)推理的過程，在充分理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法，算法是算理的自然生成。指向深度學(xué)習(xí)的運(yùn)算試題也要從關(guān)注運(yùn)算結(jié)果轉(zhuǎn)向關(guān)注思維分析。試題2是對(duì)一道三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算題的分析，題目未完整呈現(xiàn)兩個(gè)乘數(shù)，學(xué)生無法實(shí)施計(jì)算，需要觀察乘數(shù)的特點(diǎn)推斷每一步計(jì)算的含義。由于甲數(shù)、乙數(shù)、丙數(shù)被覆蓋不可見，學(xué)生需要追溯它們分別是乘法豎式中哪兩個(gè)數(shù)相乘的結(jié)果，進(jìn)而根據(jù)乘法含義判斷三個(gè)數(shù)的大小。這樣的試題需要學(xué)生根據(jù)位值原則、運(yùn)算律將多位數(shù)乘法分解成幾道簡單的乘法，明晰每一步乘法的實(shí)際含義，在深刻理解算理的基礎(chǔ)上形成一般化的算法，并進(jìn)行分析判斷，旨在考查學(xué)生基于運(yùn)算是否能形成相應(yīng)的抽象能力與推理意識(shí)。

二、指向深度參與，從考查結(jié)論轉(zhuǎn)向考查過程

2022 年版課標(biāo)指出：“評(píng)價(jià)不僅要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)果，還要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)，改進(jìn)教師教學(xué)?！鄙疃葘W(xué)習(xí)是關(guān)注過程的學(xué)習(xí)。因此，數(shù)學(xué)命題也應(yīng)體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)和深度學(xué)習(xí)的要求，改變重結(jié)論輕過程的功利主義傾向，轉(zhuǎn)向關(guān)注學(xué)習(xí)過程的經(jīng)歷，關(guān)注學(xué)生知識(shí)的形成過程，關(guān)注數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)思想方法的獲得，發(fā)揮評(píng)價(jià)對(duì)教學(xué)的導(dǎo)向作用。

【試題3】把一個(gè)圓平均分成若干份，剪拼成近似的長方形（如圖2），長方形周長比圓的周長多10cm，長方形的長是（），圓的面積是（）。

圖2

考查數(shù)學(xué)公式應(yīng)關(guān)注公式的推導(dǎo)過程。傳統(tǒng)試題通常利用圓的面積公式直接計(jì)算出圓的面積。試題3 沒有讓學(xué)生直接運(yùn)用圓的面積公式計(jì)算圓的面積，而是著眼于圓面積公式的推導(dǎo)過程，考查學(xué)生在解題過程中是否清楚轉(zhuǎn)化前后圓與長方形的關(guān)系，是否能依據(jù)兩者之間的周長關(guān)系和面積關(guān)系進(jìn)行推算。學(xué)生如果沒有經(jīng)歷動(dòng)手操作和實(shí)踐探究的過程，只是快餐式地接受圓的面積公式，就難以對(duì)圓的面積公式進(jìn)行溯源式思考，難以對(duì)圓面積公式推導(dǎo)過程中蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化、極限、模型等數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行深度的體悟。試題考查了“過程性”目標(biāo)，強(qiáng)調(diào)在知識(shí)的形成過程中，教師的教和學(xué)生的學(xué)都應(yīng)放慢腳步，加強(qiáng)具身體驗(yàn)，盡可能讓學(xué)生在觀察、操作、猜想、驗(yàn)證、推理等活動(dòng)過程中感悟數(shù)學(xué)原理。

【試題4】光明小學(xué)需要添置19 套課桌椅。下面是3名同學(xué)圍繞所需花費(fèi)的金額展開的討論（如圖3），你贊同誰的估算結(jié)果？請(qǐng)你估一估，寫出估算的過程。

圖3

考查解決問題的能力應(yīng)關(guān)注學(xué)生的思維過程和思維水平。數(shù)學(xué)是理性思維占主導(dǎo)的學(xué)科，數(shù)學(xué)思維的發(fā)展對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展有著重要作用。教師在教學(xué)中需要精準(zhǔn)定位學(xué)生的思維起點(diǎn)，采用適當(dāng)?shù)姆绞絾⒌蠈W(xué)生的思維，關(guān)注學(xué)生的思維狀態(tài)，促進(jìn)學(xué)生的思維由低階向高階發(fā)展。與之相應(yīng)的評(píng)價(jià)試題也要盡可能呈現(xiàn)學(xué)生的思維過程和思維方式，讓教師了解學(xué)生的真實(shí)思維狀態(tài)，為后續(xù)改進(jìn)教學(xué)提供支持。試題4 設(shè)置了生活化的估算情境，引導(dǎo)學(xué)生辨析判斷，寫出自己的估算過程。小紅、小芳、小麗三名同學(xué)不同的估算結(jié)果是教師預(yù)設(shè)不同的估算方法得到的，也是學(xué)生最容易出現(xiàn)的幾種情況。學(xué)生解決問題的過程是還原估算方法的過程。如果把課桌和椅子的價(jià)格都往小估，則是（50+20）×20=1400（元）；如果把課桌的價(jià)格往大估，椅子的價(jià)格往小估，都估作整十?dāng)?shù)，則是（60+20）×20=1600（元）；如果把課桌和椅子的價(jià)格都往大估，則是（60+30）×20=1800（元）。教師可以從學(xué)生寫出的估算過程中判斷其選用的估算方法是否合理，能否面對(duì)具體的問題選擇合適的估算方法，是否具有有理有據(jù)的推理意識(shí)。具有過程性的試題可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維“看得見”，清晰地評(píng)測(cè)出學(xué)生的思維水平，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維差異，找到學(xué)生思維障礙的癥結(jié)，這對(duì)于依據(jù)學(xué)生的思維現(xiàn)實(shí)展開教學(xué)具有重要的意義。

三、指向深度積淀，從考查知識(shí)轉(zhuǎn)向考查素養(yǎng)

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)以培養(yǎng)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，但核心素養(yǎng)并不是獨(dú)立存在的。數(shù)學(xué)知識(shí)是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的載體，學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中逐步形成用數(shù)學(xué)的思維方法分析、思考、解決問題的意識(shí)和能力，形成科學(xué)求真的理性思維和不斷探究的科學(xué)精神。當(dāng)然，數(shù)學(xué)知識(shí)的獲取并不等同于核心素養(yǎng)的形成。只有在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中注重學(xué)習(xí)過程的經(jīng)歷、體驗(yàn)，注重思想方法的感悟，注重學(xué)科本質(zhì)的把握，才能循序漸進(jìn)地培養(yǎng)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)命題可以通過評(píng)價(jià)學(xué)生核心素養(yǎng)的達(dá)成情況來了解學(xué)生核心素養(yǎng)形成的差異性及整體表現(xiàn)。

【試題5】口罩是常用的衛(wèi)生防疫用品，某工廠制作一種口罩（如圖4），需要的主要材料是長方形無紡布（尺寸如圖）。每只口罩中間要制作三條折痕，每條折痕折進(jìn)去的寬度是1 厘米（即AB=1 厘米）。制作完成后的長方形口罩的面積是多少平方厘米？

圖4

解決生活中的問題是考查應(yīng)用能力的重要方式。面對(duì)周圍事物和生活現(xiàn)象，學(xué)生都應(yīng)該具有運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，即用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題，并能將其抽象為數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)的方式分析、推理、判斷、預(yù)測(cè)，形成解決問題的方案。試題5以疫情期間常見的口罩為命題素材，呈現(xiàn)了加工口罩的主要步驟，讓學(xué)生對(duì)口罩的加工有了初步的了解。學(xué)生需要將生活中的口罩與數(shù)學(xué)中的平面圖形建立聯(lián)系，將口罩的折痕抽象為圖形的位置與變換問題，在看似復(fù)雜的現(xiàn)象中把握變化的關(guān)鍵，即口罩的三條折痕改變了長方形的什么？長方形的寬是怎樣變化的？減少了多少厘米？由此口罩面積問題就迎刃而解了。試題5 能很好地評(píng)價(jià)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力，并能評(píng)價(jià)不同學(xué)生相關(guān)素養(yǎng)表現(xiàn)的明顯差異。其中一部分學(xué)生能列出多個(gè)算式計(jì)算出被覆蓋部分的面積，但不能將面積變化抽象成長度變化的問題，可見還不具備將面積模型靈活運(yùn)用于實(shí)際情境中解決問題的能力。還有一部分學(xué)生雖然認(rèn)識(shí)到寬的變化，但是不能準(zhǔn)確推算出寬究竟減少了多少，可見這部分學(xué)生的空間觀念不強(qiáng)，不能借助幾何直觀或空間觀念判斷數(shù)量的變化。來源于生活實(shí)際的命題素材能夠鮮明地體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，學(xué)生解決問題的過程就是他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)的過程，是從數(shù)學(xué)的角度把握事物的本質(zhì)、厘清復(fù)雜問題的關(guān)鍵。經(jīng)歷這樣的過程能夠讓學(xué)生進(jìn)一步增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。

【試題6】同學(xué)們，你們認(rèn)識(shí)多邊形的外角嗎？多邊形的邊與它鄰邊的延長線組成的角就是多邊形的外角。如圖5 所示，∠1、∠2、∠3 是三角形的三個(gè)外角，∠4、∠5、∠6、∠7是四邊形的四個(gè)外角。

圖5

（1）想一想三角形的內(nèi)角和是多少度，再仔細(xì)觀察圖中三角形內(nèi)角和外角的關(guān)系，你能想辦法推算出三角形三個(gè)外角的和是多少度嗎？

（2）畫一畫，算一算，四邊形四個(gè)外角的和是多少度？五邊形五個(gè)外角的和是多少度？

（3）根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)，你有什么猜想？

讓學(xué)生解決探索性問題是考查其推理能力的重要方式。推理意識(shí)是小學(xué)階段學(xué)生核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。只有當(dāng)學(xué)生懷有探究的欲望，擁有自主探索的積極性時(shí)，才會(huì)在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上不斷拓展認(rèn)知結(jié)構(gòu)，不斷延展認(rèn)知空間。深度學(xué)習(xí)中，由于情感意志的高度投入，學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)處于活躍狀態(tài)，因而他們能夠自覺整合多方信息并做深層加工，聚焦于對(duì)未知問題的求索。試題6基于三角形的內(nèi)角和引發(fā)學(xué)生自主探究多邊形的外角和。題干結(jié)合語言表述和圖形表征，舉例介紹了外角，明確了探索對(duì)象。接著通過問題激活學(xué)生有關(guān)三角形內(nèi)角和的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，啟發(fā)學(xué)生觀察內(nèi)角和外角的關(guān)系，依次研究三角形外角和、四邊形外角和、五邊形外角和，進(jìn)而產(chǎn)生相關(guān)猜想。通過對(duì)多邊形外角和的探索，可以評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理是否嚴(yán)謹(jǐn)，評(píng)價(jià)他們是否能運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想解決問題。由于小學(xué)生知識(shí)儲(chǔ)備和策略意識(shí)不足，因此編制探索性問題時(shí)要注意貼近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，讓他們“跳一跳”就能夠有新發(fā)現(xiàn)。有時(shí)教師還要設(shè)置合適的階梯，提供必要的腳手架，讓學(xué)生經(jīng)歷挑戰(zhàn)后能體驗(yàn)成功的愉悅，享受探索的樂趣。

小學(xué)數(shù)學(xué)書面測(cè)試是教與學(xué)的評(píng)價(jià)方式之一，也是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的延續(xù)。根據(jù)2022 年版課標(biāo)“課程實(shí)施”部分提出的要求，學(xué)業(yè)水平考試的命題應(yīng)關(guān)注學(xué)生的深度理解與自主建構(gòu)，指引建構(gòu)性學(xué)習(xí)；關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過程的經(jīng)歷與體悟，指引過程性學(xué)習(xí)；關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)的達(dá)成度，指引積淀性學(xué)習(xí)。當(dāng)“教—學(xué)—評(píng)”目標(biāo)一致，方式方法自然融合時(shí)，評(píng)價(jià)才能真正促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升。