歸納思維的理論探析及其在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用*

□陳 蒨 徐文彬

歸納思維是數(shù)學(xué)思維的基本方法之一，在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著豐富且獨特的應(yīng)用。高斯曾經(jīng)說過，運用歸納思維可以萌發(fā)出極漂亮的新的真理［1］?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)部分強調(diào)了要“能夠通過簡單的歸納或類比，猜想或發(fā)現(xiàn)一些初步的結(jié)論”。由此可見，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，歸納思維至關(guān)重要。本文將從理論的角度對歸納思維進行深度剖析，并基于教學(xué)實踐探析歸納思維在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

一、問題的提出

引例：仔細觀察下面的式子，你有什么發(fā)現(xiàn)？

6=3+3

8=3+5

10=3+7=5+5

12=5+7

14=3+11=7+7

16=3+13=5+11

……

分析：觀察這些等式，這些等式左邊都是偶數(shù)，右邊都是兩個奇質(zhì)數(shù)的和，這就是著名的“哥德巴赫猜想”。1742年，德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫就是運用歸納思維提出了這個著名的猜想：任何一個大于4的偶數(shù)都是兩個奇質(zhì)數(shù)之和。

通過“哥德巴赫猜想”這一引例，我們可以看到歸納思維的重要性。其實，數(shù)學(xué)史上很多假說和猜想都是運用歸納思維提出的，比如著名的“四色猜想”“費馬猜想”“梅森猜想”等。那么歸納思維的內(nèi)涵究竟是什么？歸納思維有哪些類別？歸納思維在小學(xué)數(shù)學(xué)中又有哪些應(yīng)用呢？下面將對歸納思維進行理論剖析，并通過數(shù)學(xué)教學(xué)實踐對歸納思維在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進行探析。

二、歸納思維的理論探析

歸納思維是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的基本方法，同時又是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法。下面將從歸納思維的內(nèi)涵和歸納思維的類別兩方面展開對歸納思維的理論探析。

（一）歸納思維的內(nèi)涵

歸納思維是通過對某類事物中的若干特殊情形的分析得出一般結(jié)論的思維方法。歸納思維的認識依據(jù)在于同類事物的各種特殊情形中蘊含的同一性和相似性。［2］116歸納思維具有以下特征：一是歸納思維必須把實踐歸入思維的過程，以各種感性的、具體的材料作為思維的前提，要從具體的、個別的事物中概括出一般；二是歸納思維推出的結(jié)論具有或然性，要使之成為可靠的結(jié)論需要嚴(yán)格的證明和實踐的檢驗；三是歸納思維是個體從感性認識上升到理性認識的工具，個體在感性認識的基礎(chǔ)上，通過歸納思維獲得新概念、新判斷或新理論。［3］

（二）歸納思維的類別

歸納思維有多種分類方法，根據(jù)考查對象的范圍是涉及了某類事物的一部分還是全體，可把歸納思維分為兩種類別：不完全歸納和完全歸納。

1.不完全歸納

不完全歸納是根據(jù)某類事物的部分對象具有（或不具有）某種屬性而得出該事物的全體也具有（或不具有）這種屬性的思維方法。［2］117其推理形式如圖1。不完全歸納又稱經(jīng)驗歸納，由于僅根據(jù)所考查的部分對象就得出一般性的結(jié)論，因此，常常帶有想象、猜測等主觀臆斷的成分，所以得出的結(jié)論具有或然性。

圖1 “不完全歸納”的推理形式

不完全歸納是激發(fā)創(chuàng)造性思維的基本方法，推動著數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明。古往今來，很多數(shù)學(xué)家都是運用不完全歸納的思維方法來提出猜想的，比如引例中的“哥德巴赫猜想”。小學(xué)數(shù)學(xué)中也經(jīng)常用到不完全歸納，常見的“找規(guī)律填數(shù)”就是根據(jù)有限項（部分對象）具有的某種共同的屬性，從而運用不完全歸納得出規(guī)律，再把得出的規(guī)律用到未知項（未知對象）中。此外，不完全歸納在“探索規(guī)律（如間隔排列、釘子板上的多邊形等）”“2、3、5 的倍數(shù)特征”“運算律”“字母表示數(shù)”“圖形的性質(zhì)與特征（三角形/多邊形內(nèi)角和、三角形三邊關(guān)系等）”“可能性”等相關(guān)內(nèi)容中有著廣泛的應(yīng)用。

2.完全歸納

完全歸納是根據(jù)某類事物的每個對象都具有（或不具有）某種屬性而推出該類事物的全體具有（或不具有）這種屬性的思維方法。［2］118完全歸納的推理形式如圖2。由于這一思維方法考查了某類事物的所有對象或一切特殊情況，所以得出的結(jié)論必定是正確的，因而是一種嚴(yán)格推理。

圖2 “完全歸納”的推理形式

完全歸納有助于概括和證明，能得到正確的結(jié)論。上面提到的“四色猜想”就是運用完全歸納證明的。［4］小學(xué)數(shù)學(xué)中用到的完全歸納比較少，主要與分類討論相結(jié)合。比如，要得出“兩個加數(shù)奇偶性相同，和一定是偶數(shù)”這一結(jié)論，便可以分為兩類分別討論，一類是“兩個加數(shù)均為奇數(shù)，和一定是偶數(shù)”，另一類是“兩個加數(shù)均為偶數(shù)，和一定為偶數(shù)”，如此便可運用完全歸納得出結(jié)論。

特別要指出的是，不完全歸納和完全歸納都屬于歸納推理，只是推理的強度不同。而“數(shù)學(xué)歸納法”雖然名字里面有歸納，但它并不屬于歸納推理，而屬于演繹推理。原因有二：其一，完全歸納不能用于無窮集合；其二，數(shù)學(xué)歸納法是典型的三段論，其基礎(chǔ)是自然數(shù)列的性質(zhì)，也就是皮亞諾公理中提到的自然數(shù)的后繼性［5］。

三、歸納思維在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)家舒爾指出，在數(shù)學(xué)研究中，歸納思維起著重要的作用。［6］波利亞也提出，數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)歸納思維最合適的材料。［7］由此可見，歸納思維能推動數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也能推動個體歸納思維的發(fā)展。小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透著很多有關(guān)歸納思維的內(nèi)容，下面將從數(shù)學(xué)教學(xué)實踐的角度，討論歸納思維在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”和“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的應(yīng)用。

（一）“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的應(yīng)用

小學(xué)數(shù)學(xué)中，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中很多內(nèi)容都滲透著歸納思維，較為典型的有“探索規(guī)律（如找規(guī)律填數(shù)、間隔排列、有趣的乘法計算等）”“運算律”“2、3、5的倍數(shù)特征”“用字母表示數(shù)”等相關(guān)內(nèi)容。下面以“間隔排列”為例進行分析說明。

課例1：間隔排列

蘇教版教材三年級上冊《間隔排列》是一節(jié)探索規(guī)律的課。圖3 呈現(xiàn)了小兔與蘑菇、木樁與籬笆、夾子與手帕的排列。觀察每排兩種物體的排列，它們有什么特點？比較每排兩種物體的數(shù)量，你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖3 《間隔排列》主題圖

【教學(xué)片段1】

師：請大家說一說你的發(fā)現(xiàn)。

生：小兔的只數(shù)比蘑菇的個數(shù)多1，木樁的根數(shù)比籬笆的塊數(shù)多1，夾子的個數(shù)比手帕的塊數(shù)多1。

師：還有補充嗎？這三組數(shù)據(jù)有沒有什么共同點？

生：每排第一種物體都比第二種物體多1。

師：是啊，反過來，每排第二種物體都比第一種物體少1。也可以說，每排兩種物體的數(shù)量相差1。

師：每排兩種物體的數(shù)量為什么會相差1 呢？

……

教學(xué)分析：教學(xué)片段1 呈現(xiàn)了“探索間隔排列規(guī)律”的學(xué)習(xí)過程。可以看到，間隔排列規(guī)律的初步得出需要學(xué)生對三組數(shù)據(jù)進行觀察、分析，基于三組數(shù)據(jù)的共同屬性，運用不完全歸納來思考。《間隔排列》這節(jié)課體現(xiàn)了歸納思維和演繹思維的結(jié)合。在教學(xué)片段中，僅根據(jù)三組數(shù)據(jù)運用不完全歸納得出的“每排兩種物體的數(shù)量相差1”這一結(jié)論不一定是正確的，還需要通過演繹思維來驗證或證明。于是教師及時追問“為什么兩種物體的數(shù)量會相差1”，引導(dǎo)學(xué)生進一步思考，并讓他們用圈一圈、連一連等操作把兩個相鄰的不同物體看成一組，結(jié)果最后有1 個多余，從而證明了這一結(jié)論的正確性。這節(jié)課的教學(xué)就是要引導(dǎo)學(xué)生通過歸納思維來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再通過演繹思維來證明規(guī)律，這是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的重要方法。

（二）“圖形與幾何”領(lǐng)域的應(yīng)用

小學(xué)數(shù)學(xué)中，“圖形與幾何”領(lǐng)域也有很多內(nèi)容的教與學(xué)都需要運用歸納思維，比較典型的有“圖形與幾何”中的“規(guī)律（如釘子板上的多邊形、表面涂色的正方體等）”“圖形的特征與性質(zhì)（如三角形三邊關(guān)系、三角形/多邊形的內(nèi)角和）”等相關(guān)內(nèi)容。下面以“三角形的內(nèi)角和”為例進行分析說明。

課例2：三角形的內(nèi)角和

蘇教版教材四年級下冊“三角形的內(nèi)角和”中，教材呈現(xiàn)了一個例題的主題圖（如圖4）。這個內(nèi)容旨在引導(dǎo)學(xué)生探究三角形的內(nèi)角和。

圖4 “三角形的內(nèi)角和”主題圖

【教學(xué)片段2】

師：今天我們一起來研究三角形的內(nèi)角和。我們可不可能研究完所有三角形的內(nèi)角和是多少？你認為要研究三角形的內(nèi)角和，只需要研究哪幾種三角形的內(nèi)角和就可以了？

生：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。

（教師引導(dǎo)學(xué)生通過量一量、算一算等活動，分別研究提供的直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和。）

（生提出猜想：三角形的內(nèi)角和都是180°。）

師：怎樣驗證大家的猜想？

（小組合作，運用不同的方法驗證并交流。學(xué)生提出度量驗證、剪拼驗證、折拼驗證等方法。）

師：剛才大家驗證了那么多不同的三角形，有沒有窮盡所有不同的三角形？

生：沒有。

（教師借助幾何畫板演示，任意變化三角形驗證其內(nèi)角和。最后，教師介紹帕斯卡的證明方法。）

教學(xué)分析：“三角形的內(nèi)角和”這一內(nèi)容充分體現(xiàn)了歸納思維的應(yīng)用。第一，把三角形分成直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形來研究體現(xiàn)了完全歸納的思維。第二，在量一量、算一算等活動中提出猜想“三角形的內(nèi)角和是180°”，這個過程充分運用了不完全歸納的思維。第三，全班通過度量、剪拼、折拼等方法驗證不同的三角形，雖然驗證了四五十個不同的三角形，但仍然是極其有限的，對猜想的驗證仍然屬于不完全歸納。第四，利用幾何畫板任意拖動三角形的頂點改變其形狀、大小，不管如何變化，三角形的內(nèi)角和始終為180°，這樣驗證的不同三角形的個數(shù)從有限趨向于無限，歸納思維的運用也從不完全歸納趨向于完全歸納，因此更加有說服力。第五，帕斯卡的證明是嚴(yán)謹?shù)臄?shù)學(xué)證明，屬于演繹推理，能完全證明猜想的正確性。這一內(nèi)容的教學(xué)，既滲透了歸納思維，又滲透了演繹思維，歸納思維用于發(fā)現(xiàn)結(jié)論，演繹思維用于證明結(jié)論的正確性。

（三）“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的應(yīng)用

邏輯學(xué)指出，概率通常是指應(yīng)用于推理的歸納概率。［8］賴欣巴哈關(guān)于概率基礎(chǔ)的描述指出，概率被定義為無限一般事件序列的性質(zhì)，由于不知道無限事件序列的極限，所以只能根據(jù)這些序列的有限初始段進行歸納推理，從有限推斷無限。［9］所以概率中體現(xiàn)著歸納思維。小學(xué)數(shù)學(xué)中，“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域中“隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性”這部分內(nèi)容中滲透著概率，同樣也滲透著歸納思維。下面以《可能性》為例分析歸納思維的應(yīng)用。

課例3：可能性

蘇教版教材四年級上冊《可能性》中，教材呈現(xiàn)了兩道例題的主題圖（如圖5）。《可能性》這一課引導(dǎo)學(xué)生在摸球、摸牌等游戲中認識可能性，感受可能性有大有小。

圖5 《可能性》主題圖

【教學(xué)片段3】

（教師組織全班學(xué)生分小組進行摸牌游戲，學(xué)生匯報后用表格呈現(xiàn)各小組數(shù)據(jù)。）

師：仔細觀察每個小組的摸牌結(jié)果，結(jié)合你們組摸牌的情況，說說你的想法。

生：每個小組都是摸到紅桃的次數(shù)多，說明摸到紅桃的可能性大。

生：每個小組摸到紅桃的次數(shù)都差不多是摸到黑桃次數(shù)的3倍，所以摸到紅桃的可能性是摸到黑桃可能性的3倍。

師：為什么摸到紅桃的可能性會比摸到黑桃的可能性大呢？

……

教學(xué)分析：《可能性》一課體現(xiàn)了歸納思維的應(yīng)用。教學(xué)片段3中呈現(xiàn)的是摸牌游戲的教學(xué)過程。在全班學(xué)生參與摸牌游戲后，得到每個小組摸到紅桃、黑桃的數(shù)據(jù)并以表格的形式呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)據(jù)再說想法，這一過程其實就是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)各小組的數(shù)據(jù)，通過歸納思維得出關(guān)于可能性大小的判斷。要注意的是，這種根據(jù)歸納思維得出的結(jié)論只是學(xué)生對可能性大小的一種初步的感知，所以教師一定要追問“為什么摸到紅桃的可能性比摸到黑桃的可能性大”，以此來引導(dǎo)學(xué)生進一步說理。這種歸納思維與演繹思維的結(jié)合能讓學(xué)生對可能性有更加清晰的認識，也為后續(xù)概率的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

小學(xué)數(shù)學(xué)中歸納思維的應(yīng)用是比較淺層次的，大多是不完全歸納。盡管如此，歸納思維仍然發(fā)揮著巨大的作用，學(xué)生通過觀察、歸納去探索、發(fā)現(xiàn)甚至創(chuàng)造。數(shù)學(xué)課堂中歸納思維的應(yīng)用還進一步促進了學(xué)生歸納思維的發(fā)展，同時結(jié)合演繹思維對歸納結(jié)果進行驗證、證明，還發(fā)展了學(xué)生的理性精神和科學(xué)精神。當(dāng)然，數(shù)學(xué)思維的發(fā)展應(yīng)貫穿于個體數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程、全階段，甚至人的一生。希望本文對歸納思維的理論分析和實踐探索能給廣大數(shù)學(xué)教育工作者帶來一些啟發(fā)。