基于學(xué)習(xí)路徑分析的“平均數(shù)”單元整體教學(xué)*
——如何凸顯統(tǒng)計(jì)量的“代表”意義

□劉賢虎 章勤瓊

“統(tǒng)計(jì)與概率”是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域之一，在小學(xué)階段包括“數(shù)據(jù)分類”“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達(dá)”和“隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”三個主題。其中“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達(dá)”包括數(shù)據(jù)的收集和用統(tǒng)計(jì)圖表、平均數(shù)、百分?jǐn)?shù)表達(dá)數(shù)據(jù)。借助生活中大量數(shù)據(jù)蘊(yùn)含著的有價值的信息，利用統(tǒng)計(jì)圖表和統(tǒng)計(jì)量呈現(xiàn)和刻畫這些信息，讓學(xué)生形成初步的數(shù)據(jù)意識，是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》一以貫之的教學(xué)要求。

具體到平均數(shù)，它是小學(xué)階段要學(xué)習(xí)的兩個重要統(tǒng)計(jì)量中的一個。如何幫助學(xué)生建立對平均數(shù)的認(rèn)識，凸顯其作為統(tǒng)計(jì)量的描述功能，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對平均數(shù)的理解？下面，筆者基于對學(xué)習(xí)路徑的分析，對“平均數(shù)”這一學(xué)習(xí)單元進(jìn)行整體思考和把握。

一、理解單元目標(biāo)

（一）單元內(nèi)容概述

平均數(shù)在北師大版教材和人教版教材中都不是單獨(dú)的單元，而是與條形統(tǒng)計(jì)圖等內(nèi)容混合編排。下面將平均數(shù)作為一個學(xué)習(xí)單元進(jìn)行對比分析。人教版教材只在四年級下冊集中編排平均數(shù)，將平均數(shù)和復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖整合為一個單元。其中平均數(shù)部分的內(nèi)容包括平均數(shù)的意義和求法、用平均數(shù)比較兩組數(shù)據(jù)的總體情況。北師大版教材把平均數(shù)分為兩個部分，其中四年級下冊第6單元“數(shù)據(jù)的表示和分析”將條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖和平均數(shù)編排在一起，安排的是認(rèn)識平均數(shù)，五年級下冊第8 單元“數(shù)據(jù)的表示和分析”將復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖與平均數(shù)編排在一起，安排的是進(jìn)一步認(rèn)識平均數(shù)，體會平均數(shù)的實(shí)際意義。具體教學(xué)目標(biāo)如下。

人教版教材：體會平均數(shù)的作用，能計(jì)算平均數(shù)，能用自己的語言解釋其實(shí)際意義。

北師大版教材：了解平均數(shù)的意義，會求簡單數(shù)據(jù)的平均數(shù)（結(jié)果為整數(shù)），能解決簡單的實(shí)際問題。進(jìn)一步認(rèn)識平均數(shù)，體會平均數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系。

綜上所述，平均數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容和要求主要有三個：理解平均數(shù)的意義；掌握計(jì)算平均數(shù)的方法；體會平均數(shù)的實(shí)際應(yīng)用。

（二）單元核心目標(biāo)

本單元核心目標(biāo)是理解平均數(shù)的意義以及感悟平均數(shù)的特性。

首先，平均數(shù)作為統(tǒng)計(jì)量，同時具備描述功能和推斷功能，在小學(xué)階段以描述功能的學(xué)習(xí)為主，而平均數(shù)最重要的描述功能是代表性，是描述一組數(shù)據(jù)整體水平的良好代表量?！捌骄鶖?shù)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生在熟悉的情境中理解平均數(shù)所具有的代表性，通過刻畫一組數(shù)據(jù)的集中程度表達(dá)總體的集中狀況。”因此，只有理解了平均數(shù)的代表作用，學(xué)生才能真正理解平均數(shù)的意義。

其次，是感悟平均數(shù)的特性，包括代表性、虛擬性、敏感性、區(qū)間性、公平性等。

以上目標(biāo)都與平均數(shù)的“代表性”密切相關(guān)。

（三）核心目標(biāo)具體化

結(jié)合以上分析，將核心目標(biāo)具體化為兩點(diǎn)。一是理解平均數(shù)的意義。其主要內(nèi)涵包含三個水平層次：認(rèn)識代表量，會用一個數(shù)（總數(shù)、最高值、平均數(shù)等）代表一組數(shù)據(jù)的水平；會計(jì)算平均數(shù)，能運(yùn)用移多補(bǔ)少或求和均分等方法；能用語言準(zhǔn)確描述平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)整體水平的代表量。二是感悟平均數(shù)的特性。具體包括：代表性，平均數(shù)代表一組數(shù)據(jù)的集中趨勢；虛擬性，感受平均數(shù)不是實(shí)際的值，是均分出來的；敏感性，平均數(shù)受每個數(shù)據(jù)的影響；區(qū)間性，平均數(shù)介于最大值和最小值之間；公平性，平均數(shù)是“移多補(bǔ)少”“求和均分”得到的數(shù)。

二、確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)

學(xué)生有一定的認(rèn)知基礎(chǔ)，在第一學(xué)段已經(jīng)理解了平均分及除法運(yùn)算含義?！捌骄帧焙推骄鶖?shù)的意義不同，但計(jì)算方法一樣，學(xué)生掌握計(jì)算方法相對容易。學(xué)生也有相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，如以往的期末考試后，教師會介紹班級的平均分。

四年級學(xué)生的統(tǒng)計(jì)意識比較薄弱，其生活經(jīng)驗(yàn)相對膚淺。用統(tǒng)計(jì)的意義去理解“平均數(shù)”需要有一定的統(tǒng)計(jì)意識和一定的生活經(jīng)驗(yàn)，由于這兩方面的不足，影響了學(xué)生對“平均數(shù)”意義的理解。

為此，筆者試圖通過前測對上述情況作進(jìn)一步的了解。前測主要針對核心目標(biāo)中的“理解平均數(shù)的意義”這一內(nèi)容，并根據(jù)理解平均數(shù)的意義的具體目標(biāo)，制訂評價框架，劃定水平層次，再設(shè)計(jì)相應(yīng)的測試題。“如果學(xué)習(xí)素材研究的數(shù)據(jù)采用的是一個個體的多次水平，這樣的數(shù)據(jù)便于在推斷的時候用，如下一次可能有幾個。而在對整體數(shù)據(jù)的水平描述上，比較合適的是采用一個群體的橫向的數(shù)據(jù)，而不是一個個體的縱向的數(shù)據(jù)?！币虼?，筆者在前測中采用了冬奧會滑雪比賽中不同評委打分的情境。前測題如下所示。

1.蘇翊鳴在單板滑雪男子大跳臺決賽的第二跳，4個評委打分：93、93、94、92。你認(rèn)為應(yīng)該用多少表示這一跳的成績？說說你的理由。

2.蘇翊鳴在決賽中的第一跳，4 個評委打分：89、89、90、90。你認(rèn)為應(yīng)該用多少表示這一跳的成績？說說你的理由。

3.哪一跳的成績更好？寫出你是怎么比較的。

測試題中的第1 題、第2 題評價學(xué)生是否具有代表意識，會用什么數(shù)來代表。如果學(xué)生選擇用平均數(shù)來代表，是否會計(jì)算。第3 題根據(jù)學(xué)生選擇的比較方式，如比最高分、平均數(shù)、第二跳的最低分與第一跳的最高分或一個一個數(shù)比等，及其描述的理由，評價學(xué)生是否理解平均數(shù)的概念意義。以下是前測結(jié)果（如表1）。

表1 平均數(shù)掌握水平前測結(jié)果

續(xù)表

從前測結(jié)果看出，學(xué)生具有一定的“代表”意識，對平均數(shù)這個概念有一定的了解，接近25%的學(xué)生會求平均數(shù)，但絕大多數(shù)學(xué)生不能理解“平均數(shù)”這個概念的意義。

因此，對數(shù)據(jù)“代表”意識的已有觀念和利用平均分的認(rèn)知基礎(chǔ)是學(xué)生研究平均數(shù)的學(xué)習(xí)起點(diǎn)；對平均數(shù)能代表一組數(shù)據(jù)整體水平的認(rèn)識和選擇合適代表量是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

三、分析學(xué)習(xí)路徑

基于以上分析，筆者對“平均數(shù)”的學(xué)習(xí)路徑做了相應(yīng)的調(diào)整與優(yōu)化。

首先，認(rèn)識代表量和平均數(shù)。借助比賽中不同評委打分的現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生感受數(shù)據(jù)，讀懂?dāng)?shù)據(jù)，初步理解數(shù)據(jù)。接著讓學(xué)生嘗試畫出數(shù)據(jù)，進(jìn)行數(shù)據(jù)表達(dá)，進(jìn)一步思考如何用一個數(shù)描述比賽成績。有了直觀的感受，借助已有經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生會想到用最高分、總分、出現(xiàn)次數(shù)最多的分?jǐn)?shù)、平均分等來代表。最后讓他們借助代表量進(jìn)行判斷（如圖1）。在此過程中，學(xué)生初步認(rèn)識平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)整體水平的良好代表量，學(xué)會用移多補(bǔ)少、求和均分等方法計(jì)算平均數(shù)。

圖1 “代表量和平均數(shù)”學(xué)習(xí)路徑

其次，理解平均數(shù)的意義和特性。通過比較兩組個數(shù)不同的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生進(jìn)一步理解平均數(shù)是代表一組數(shù)據(jù)整體水平的良好代表量，同時體會平均數(shù)的虛擬性、區(qū)間性、敏感性和公平性，最后進(jìn)行合理推斷，進(jìn)而解決問題（如圖2）。

圖2 “平均數(shù)的意義”學(xué)習(xí)路徑

四、單元整體教學(xué)的思考

筆者以人教版教材為基礎(chǔ)，從單元整體的視角出發(fā)，對平均數(shù)的教學(xué)做出適當(dāng)調(diào)整，將平均數(shù)教學(xué)分為兩節(jié)課，重點(diǎn)關(guān)注平均數(shù)的描述功能，適當(dāng)涉及平均數(shù)的推斷功能。

1.將“代表量”作為理解平均數(shù)的著力點(diǎn)。學(xué)生接觸統(tǒng)計(jì)時最先思考的是代表量，“代表”是理解平均數(shù)意義的重要基礎(chǔ)，“代表性”也是平均數(shù)最重要的特性。人教版教材例1中“求平均每人收集了多少個礦泉水瓶”強(qiáng)調(diào)求平均數(shù)的方法，不明確是反映“描述”還是“預(yù)測”的統(tǒng)計(jì)意義。因此，筆者轉(zhuǎn)而將蘇翊鳴決賽中第二跳和第一跳的評委打分作為學(xué)習(xí)素材，讓學(xué)生用一個數(shù)表示這兩跳的成績。具體而言，先讓學(xué)生以一個實(shí)際存在的樣本來代表整體水平，在充分理解了這個層次的“代表”之后，再去理解實(shí)際存在的樣本都不是整體水平的平均數(shù)，而需要以一個計(jì)算出來的數(shù)值來代表平均水平的情況。如此教學(xué)，凸顯平均數(shù)的描述功能，更符合學(xué)生理解平均數(shù)的認(rèn)知規(guī)律。

2.將數(shù)據(jù)理解和數(shù)據(jù)表達(dá)有效結(jié)合。解決人教版教材例2 中的“踢毽比賽中男、女生隊(duì)哪個隊(duì)的成績好”這一問題時，要讓學(xué)生先理解數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)個數(shù)相同時，可以選擇不同的代表量進(jìn)行比較；數(shù)據(jù)個數(shù)不同時，平均數(shù)成為代表一組數(shù)據(jù)總體水平的良好代表量。學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)據(jù)理解的過程，自然決定選擇平均數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)表達(dá)，深刻理解平均數(shù)的代表性。接著引導(dǎo)學(xué)生思考：“增加一名女生，成績一定好嗎？”學(xué)生認(rèn)識到增加一個不同大小的數(shù)據(jù)帶給整體水平的變化，感悟平均數(shù)的敏感性。最后讓學(xué)生通過該女生前5 次的成績預(yù)測下一次的次數(shù)，再一次理解數(shù)據(jù)，進(jìn)行數(shù)據(jù)表達(dá)，同時感受平均數(shù)的推斷功能。

表2 優(yōu)化后的“平均數(shù)”單元教學(xué)課時目標(biāo)、核心任務(wù)和實(shí)施要點(diǎn)

以下為每課時的學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)任務(wù)與實(shí)施要點(diǎn)（如表2）。