構(gòu)建方程模型，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

武玨 陳艷紅

摘要：本節(jié)課選自人教版初中一年級(jí)上冊(cè)第3章3.1從算式到方程第1小節(jié)的內(nèi)容，它是方程系統(tǒng)中的起始節(jié)點(diǎn)，為其他代數(shù)方程的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)；本節(jié)課為后續(xù)學(xué)習(xí)解方程及列方程解決實(shí)際問(wèn)題埋下鋪墊。

關(guān)鍵詞：方程? 大單元? 起始課? 教學(xué)情境

一、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

一元一次方程是數(shù)學(xué)中最基本的代數(shù)方程，為后續(xù)學(xué)習(xí)其他方程、不等式和函數(shù)等都有非常重要的基礎(chǔ)性作用。

（一）單元整體目標(biāo)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)本章節(jié)內(nèi)容要求是能根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境理解方程的意義，能針對(duì)具體問(wèn)題列出方程；理解方程解的意義，經(jīng)歷估計(jì)方程解的過(guò)程。掌握等式的基本性質(zhì)；能解一元一次方程和可化為一元一次方程的分式方程。

（二）本課時(shí)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能

（1）初步學(xué)會(huì)如何從實(shí)際問(wèn)題中尋找等量關(guān)系，列出方程；

（2）掌握方程、一元一次方程的概念。

2.過(guò)程與方法

（1）認(rèn)識(shí)列方程解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模思想，用方程表示相等關(guān)系的符號(hào)化的方法。

（2）能結(jié)合具體例子認(rèn)識(shí)一元一次方程的含義，體會(huì)設(shè)未知數(shù)列方程的過(guò)程，會(huì)用方程表示簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的等量關(guān)系。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀

（1）體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，從算式到方程是數(shù)學(xué)的進(jìn)步，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

（2）在望城雷鋒家鄉(xiāng)游學(xué)過(guò)程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活密切相關(guān)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

二、學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生在小學(xué)四年級(jí)學(xué)習(xí)了“用字母表示數(shù)”，在五年級(jí)學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)易方程的概念：含有未知數(shù)的等式叫做方程，在七年級(jí)學(xué)習(xí)數(shù)、字母表示數(shù)、代數(shù)式和一元一次方程。

三、教學(xué)重難點(diǎn)

（一）教學(xué)重點(diǎn)：初步學(xué)會(huì)如何從實(shí)際問(wèn)題中尋找等量關(guān)系，列出方程；掌握一元一次方程的定義。

（二）教學(xué)難點(diǎn)：初步學(xué)會(huì)如何從實(shí)際問(wèn)題中尋找等量關(guān)系，列出方程。

四、教學(xué)過(guò)程

秋游研學(xué)活動(dòng)開(kāi)始了，教師設(shè)計(jì)了兩套從柏樂(lè)園到銅官窯古鎮(zhèn)的出游方案。（播放視頻）

（一）聯(lián)系溝通，溫故知新

方案一（情境一）

有從柏樂(lè)園到銅官窯古鎮(zhèn)的大巴車(chē)，從柏樂(lè)園出發(fā)勻速行駛半個(gè)小時(shí)后到達(dá)銅官窯古鎮(zhèn)，車(chē)的速度是x km/h，從柏樂(lè)園到銅官窯古鎮(zhèn)的路程為多少呢？

教師：小學(xué)時(shí)學(xué)過(guò)速度×?xí)r間=路程，可以得出路程為[12x]；若路程為24km，可以列出等式：[12x]=24。

在坐大巴車(chē)時(shí)，老師準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)景區(qū)門(mén)票，50名學(xué)生購(gòu)買(mǎi)學(xué)生票票價(jià)為x元一張，2名教師購(gòu)買(mǎi)的成人票票價(jià)為y元一張，共花費(fèi)2000元。

教師：根據(jù)單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)，可以得出等式。

教師總結(jié)，方程既有未知數(shù)，又含有等量關(guān)系。這三個(gè)式子就是用等量關(guān)系構(gòu)建的方程。

【設(shè)計(jì)意圖】題目具體考查學(xué)生已有的符號(hào)表征能力，易凸顯數(shù)學(xué)抽象及建模的技能；從學(xué)生的舊認(rèn)知出發(fā)，貼合他們的認(rèn)知思維，利于形成知識(shí)體系。

（二）創(chuàng)設(shè)情境，融合方法

方案二（情境二）

部分學(xué)生騎自行車(chē)從柏樂(lè)園出發(fā)，3班學(xué)生騎行了全程的，又騎行了全程的到達(dá)長(zhǎng)沙銅官窯博物館時(shí)，然后和5班學(xué)生共同騎行4千米到達(dá)銅官窯古鎮(zhèn)，如何求柏樂(lè)園到銅官窯古鎮(zhèn)的距離呢？

解：設(shè)柏樂(lè)園到銅官窯的路程為x千米。

[13x]+[12x]+4=x

（三）凝練方法，完成目標(biāo)一

（情境三）到達(dá)目的地后，50個(gè)孩子一起在銅官窯古鎮(zhèn)劃船，共用船只20條，若每條大船可以坐4人，每條小船可以坐2人，那么要租多少條大船呢？

解：設(shè)需要x條大船，則需要（20-x）條小船

4x+2×（20-x）=50。

教師：這是基于什么樣的等量關(guān)系呢？

學(xué)生：小船數(shù)+大船數(shù)=20，坐大船人數(shù)+坐小船人數(shù)=50

老師：是不是還有不一樣的答案？

學(xué)生：x+y=20、4x+2y=50。

教師：這是基于什么等量關(guān)系列出的方程？

老師：大船條數(shù)+小船條數(shù)=20條，坐大船人數(shù)+坐小船人數(shù)=50。

（四）體驗(yàn)感悟，完成目標(biāo)三

師生共同總結(jié)方程方法和算數(shù)算式的優(yōu)點(diǎn)。算術(shù)算式法：有時(shí)算式不好列，是逆向思維。方程方法：只要將未知量通過(guò)設(shè)未知數(shù)，找等量關(guān)系順向就可以列出式子，未知數(shù)可以像已知量一樣參與運(yùn)算。

（五）定義新知，鞏固強(qiáng)化，完成目標(biāo)二

只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，等號(hào)兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程。

老師：“元”和“次”指的是什么呢？

學(xué)生：“元”是未知數(shù)，“次”是次數(shù)。

老師：在我國(guó)古代，中國(guó)數(shù)學(xué)家用天元、地元、人元來(lái)表示不同的未知數(shù)。

學(xué)生：用“元”表示未知數(shù)，源于我國(guó)宋元時(shí)期的天元術(shù)。所謂天元術(shù)，就是古代用代數(shù)法解決問(wèn)題時(shí)，第一步先“立天元一為某某”，這就相當(dāng)于現(xiàn)在的“設(shè)某某為未知數(shù)”。后來(lái)，在天元術(shù)的基礎(chǔ)上又出現(xiàn)了“四元術(shù)”，即用天元、地元、人元、物元（即現(xiàn)在的x、y、z等小寫(xiě)字母）來(lái)表示未知數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生了解古時(shí)候的未知數(shù)的歷史，學(xué)生會(huì)將生活中不同的概念設(shè)為未知數(shù)，還將會(huì)學(xué)習(xí)一元二次方程和二元一次方程等方程的概念，為后續(xù)學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。

（六）歸納總結(jié)，延續(xù)發(fā)展

老師：經(jīng)過(guò)我們的探究，我們有什么收獲呢？怎么將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題？

學(xué)生：通過(guò)找等量關(guān)系、設(shè)未知數(shù)、列方程的方法，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，這里有數(shù)學(xué)建模的思想。

【設(shè)計(jì)意圖】將建立一元一次方程放在整個(gè)大教學(xué)中，能夠延續(xù)發(fā)展，站在整個(gè)知識(shí)體系和邏輯體系的角度把握知識(shí)的來(lái)龍去脈，厘清單元的整體教學(xué)目標(biāo)與起始課教學(xué)目標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生初步去探尋。