“強(qiáng)基計(jì)劃”數(shù)學(xué)專題講座（四）
——“強(qiáng)基”數(shù)學(xué)試題中的數(shù)學(xué)演繹之美賞析

■江蘇省建湖高級(jí)中學(xué) 楊海濤

■江南大學(xué)理學(xué)院 謝廣喜

演繹其實(shí)是化歸與轉(zhuǎn)化思想方法的一種重要的具體表現(xiàn)形態(tài),不過(guò)演繹方法更側(cè)重于由一般到特殊的推理,更注重于將典型的基本結(jié)論應(yīng)用于具體問(wèn)題的情境下解決問(wèn)題,因此這些問(wèn)題又往往與數(shù)學(xué)歷史名題交織在一起,比如我們熟知的錯(cuò)位排列問(wèn)題、費(fèi)爾馬點(diǎn)、彭賽列問(wèn)題、阿基米德三角形、阿波羅尼斯圓等。下面舉例說(shuō)明。

例1(2019 年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)自主招生試題)設(shè)n是正整數(shù),證明:存在多項(xiàng)式P(x),使得cosnθ=P(cosθ)。

解析：為表示方便起見(jiàn),我們記與cosnθ(n∈N*)對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式為Pn(cosθ)。容易取P1(cosθ)=cosθ,P2(cosθ)=cos 2θ=2cos2θ-1,即當(dāng)n=1,2時(shí),命題成立。

利用第二數(shù)學(xué)歸納法,假設(shè)1≤n≤k,命題都成立,則當(dāng)n=k+1 時(shí),有cos(k+1)θ=cos(kθ+θ)=coskθcosθ-sinkθsinθ=Pk(cosθ)P1(cosθ)-sinkθsinθ。

由于相同變量?jī)蓚€(gè)多項(xiàng)式的乘積仍然是這個(gè)變量的多項(xiàng)式,故上面的表達(dá)式第一部分已滿足要求,下面的關(guān)鍵在于第二部分的處理。

而我們注意到其中的sin(k-1)θsinθ=-cos kθ+cos(k-1)θcosθ=-Pk(cos θ)+Pk-1(cos θ)P1(cosθ),cos(k-1)θsin2θ=Pk-1(cos θ)sin2θ,從 而cos(k+1)θ=Pk(cosθ)P1(cosθ)-[-Pk(cos θ)P1(cosθ)+Pk-1(cosθ)cos2θ+Pk-1(cos θ)sin2θ],也 即cos(k+1)θ=2Pk(cos θ)P1(cosθ)-Pk-1(cosθ)。

所以,當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立,于是對(duì)于任意的正整數(shù)k,命題恒成立。

評(píng)注:本題的命題背景是切比雪夫多項(xiàng)式(Chebyshevpolynomials)。一般地,?n∈N*還有遞推公式Pn+2(cosθ)=2Pn+1(cosθ)cosθ-Pn(cosθ),它在高等數(shù)學(xué)背景下著有非常廣泛的應(yīng)用,比如函數(shù)逼近理論、信號(hào)的濾波等,在人工智能的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中可以作為有關(guān)圖的卷積核等。

例2(2019 清華大學(xué)自主招生試題第10題)設(shè)a為4 4444444各位數(shù)字之和,b為a各位數(shù)字之和,c為b各位數(shù)字之和,求c的值。

解析：任意一個(gè)十進(jìn)制正整數(shù)N可記為,其中ai∈{0,1,2,3,…,9},且an≠0,也即N=an·10n+an-1·10n-1+an-2·10n-2+…+a1·10+a0。

易知N≡an+an-1+an-2+…+a1+a0(mod 9)。為表述方便,我們引入同余符號(hào)(≡),它常被用來(lái)表示兩個(gè)整數(shù)除以同一個(gè)正整數(shù)時(shí)具有相同余數(shù)的情況。比如,我們注意到4 444=9×493+7,所以4 444和7除以9(稱模9,在表達(dá)式中用mod 9表示)具有相同的余數(shù),可簡(jiǎn)為4 444≡7(mod 9)。完全類似地,我們?nèi)菀桌枚?xiàng)式定理直接驗(yàn)證,對(duì)于任意大于等于2的整數(shù)m,?n∈N*,有(m+1)n≡1(modm)成立。因此,結(jié)合題意得4 4444444≡a≡b≡c(mod 9)。

而4 4444444≡7(mod 9),于是有4 4444444≡74444(mod 9)≡(73)1481·7≡1×7≡7(mod 9)。

進(jìn)而有4 4444444≡a≡b≡c≡7(mod 9),下證c≤12,顯然,如果非負(fù)整數(shù)c≤12,則由c≡7(mod 9)知c=7。

注意到4 444×3=lg 1 0004444＜lg4 4444444＜lg10 0004444=4×4 444=17 776,所以由a的含義知,a＜9×(17 776+1)=159 993。若a是六位數(shù),則b≤1+4+9×4=41;若a的位數(shù)小于六位數(shù),則b≤5×9=45。

所以,總有b≤45,進(jìn)而可知b的各位數(shù)字之和最大時(shí)b為39,也即1≤c≤12。

再利用此過(guò)程中,a,b,c是模9 的不變量,則c=7。

評(píng)注:本題源自第17屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克試題。

例3(2017年清華大學(xué)數(shù)學(xué)試題)正整數(shù)1,2,3,…,n的全排列(a1,a2,…,an)滿足ai≠i(i=1,2,3,…,n),稱為n項(xiàng)更列,記n項(xiàng)更列的個(gè)數(shù)為xn,下列命題中正確的是( )。

解析：n項(xiàng)更列也稱n項(xiàng)錯(cuò)排問(wèn)題。很顯然,對(duì)于B選項(xiàng),我們?nèi)=3,易算得x3=3! -1=5,而另一方面,我們直接用枚舉法可知x3=2,于是B 選項(xiàng)錯(cuò)。設(shè)k個(gè)元素的錯(cuò)排有D(k)個(gè),n個(gè)元素的錯(cuò)排時(shí),顯然元素n只有n-1個(gè)排法(因?yàn)樵豱不能放置在第n個(gè)位置上),對(duì)應(yīng)其排于某個(gè)具體位置i(i≠n),此時(shí)若元素i置于位置n,則余下的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為n-2個(gè)元素錯(cuò)排問(wèn)題,有D(n-2)個(gè)。若元素i未置于第n個(gè)位置,則此時(shí)可把元素i當(dāng)成元素n,余下問(wèn)題變?yōu)閚-1個(gè)元素錯(cuò)排問(wèn)題,有D(n-1)個(gè)。

于是有D(n)=(n-1)[D(n-2)+D(n-1)]。

評(píng)注:本題實(shí)質(zhì)上就是數(shù)學(xué)史上有名的“錯(cuò)位排列”或“裝錯(cuò)信封”問(wèn)題。

【創(chuàng)新有源泉、經(jīng)典永流傳】

1.(2021 年全國(guó)高考甲卷理科數(shù)學(xué)試題)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,直線l:x=1交拋物線C于P,Q兩點(diǎn),且OP⊥OQ。已知點(diǎn)M(2,0),且☉M與直線l相切。

(1)求拋物線C,☉M的方程;

(2)設(shè)A1,A2,A3是拋物線C上的三個(gè)點(diǎn),直線A1A2,A1A3均與☉M相切,判斷直線A2A3與☉M的位置關(guān)系。

簡(jiǎn)解：(1)依題意設(shè)拋物線C:y2=2px(p＞0),P(1,y0),Q(1,-y0)。

因?yàn)镺P⊥OQ,所以=1-2p=0,解得2p=1。

所以拋物線C的方程為y2=x。

☉M與x=1 相切,所以半徑為1,即☉M的方程為(x-2)2+y2=1。

(2)設(shè)A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3),為節(jié)省篇幅,直線A1A2,A1A3,A2A3中部分斜率不存的情況,此處從略,同學(xué)們可自行證明。下面假設(shè)若直線A1A2,A1A3,A2A3斜率均存在,則

所以直線A1A2的方程為y-y1=),整理得x-(y1+y2)y+y1y2=0。

同理,直線A1A3的方程為x-(y1+y3)y+y1y3=0。

直線A2A3的方程為x-(y2+y3)y+y2y3=0。

所以直線A2A3與圓M相切。

綜上所述,若直線A1A2,A1A3與圓M相切,則直線A2A3與圓M也相切。

評(píng)注:本題背景稱為彭賽列問(wèn)題,三者相切,如何簡(jiǎn)捷地完成最后一步演繹推理是求解問(wèn)題的核心和關(guān)鍵。不少同學(xué)反映答案能看懂,但自己做思路卻亂七八糟,這里我們充分利用(逆用)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,最后比較簡(jiǎn)捷地給出一個(gè)邏輯分明的思路(而且此思路具有相對(duì)一般性),供大家參考。

2.(2020 年江蘇高考數(shù)學(xué)試題)甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球,乙口袋中裝有3個(gè)白球?，F(xiàn)從甲、乙兩個(gè)口袋中各任取1 個(gè)球交換放入另一個(gè)口袋,重復(fù)n次這樣的操作,記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn,恰有2 個(gè)黑球的概率為pn,恰有1個(gè)黑球的概率為qn。

(1)求p1,q1和p2,q2;

(2)求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示) 。

簡(jiǎn)解：本題的難點(diǎn)在于重復(fù)操作后,每一次當(dāng)前狀態(tài)的概率(pn,qn)依賴于上一次狀態(tài)的概率(pn-1,qn-1),然而系統(tǒng)每一次的具體狀態(tài)又有多種可能,所以同學(xué)們需要以上一次狀態(tài)概率(pn-1,qn-1)為基準(zhǔn),建立其與當(dāng)前狀態(tài)的概率(pn,qn)之間的遞推關(guān)系。注意到甲、乙兩個(gè)口袋中一共僅有2個(gè)黑球,故一般情況下黑球的所在位置(對(duì)應(yīng)問(wèn)題的可能狀態(tài),因?yàn)楹谇蚪o定,白球自動(dòng)確定,下面將不一定再?gòu)?qiáng)調(diào)白球的數(shù)目)有三種可能:①甲袋里有2個(gè);②甲、乙兩個(gè)口袋里有各1個(gè);③乙袋里有2個(gè)。

具體研究如下。

(1)①先求p1和q1,聯(lián)合簡(jiǎn)記為(p1,q1),p1的含義是一次交換后黑球沒(méi)有變動(dòng)(即2個(gè)黑球仍然都在甲口袋)的概率,即甲口袋選中交換的球是白球,概率顯然為

此時(shí)所有狀態(tài)只有兩種可能:要么甲袋里有2個(gè)黑球;要么甲袋里有1 個(gè)黑球。于是可得

②求(p2,q2)就不是十分容易了,此時(shí)必須注意到,實(shí)際上一般情形每個(gè)狀態(tài)是有三種可能這個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)(這一點(diǎn)非常重要,因?yàn)樗鼮橄乱徊絾?wèn)題的求解奠定了基礎(chǔ)),為了理解方便,我們形象地用表1表示。必須指出,當(dāng)n=1 時(shí),才有pn+qn=1;當(dāng)n≥2 時(shí),pn+qn＜1。

表1

此時(shí),要求(p2,q2)。比如求p2,可能是在p1概率前提下,甲、乙兩個(gè)口袋分別取1個(gè)白球交換的結(jié)果;也可能是在q1概率前提下,甲口袋中的取到白球(同時(shí)乙口袋取到黑球)的結(jié)果。于是

完全類似地,要求q2,可能是在p1概率前提下,甲口袋取中1個(gè)黑球(同時(shí)乙口袋取到白球)交換的結(jié)果;也可能是在q1前提下,甲、乙兩個(gè)口袋中同時(shí)取到黑球(或同時(shí)取到白球)的結(jié)果。

(2)當(dāng)n≥2時(shí),由題意可得第n次操作后狀態(tài)分布及相應(yīng)的概率如表2所示。

表2

根據(jù)此表,結(jié)合(pn+1,qn+1)的具體含義,容易得到:

評(píng)注:本題的摸球法是概率論問(wèn)題研究中的一種經(jīng)典模型方法。

3.(2011 年“北約”試題第2 題改編)過(guò)拋物線y=2x2-2x-1與y=-5x2+2x+3交點(diǎn)的直線方程為_(kāi)___。

簡(jiǎn)解：本題如果求出兩條曲線的交點(diǎn),過(guò)程是比較麻煩的。在我們對(duì)此問(wèn)題深入思考之后,發(fā)現(xiàn)若用曲線系的思路求解,則異常簡(jiǎn)捷。過(guò)這兩條拋物線y=2x2-2x-1與y=-5x2+2x+3交點(diǎn)(如果交點(diǎn)存在的話)的曲線系可記為λ1(y-2x2+2x+1)+λ2(y+5x2-2x-3)=0。我們希望其表示過(guò)焦點(diǎn)的直線,即只要其中僅有的二次項(xiàng)x2系數(shù)-2λ1+5λ2=0。不妨令λ1=5,λ2=2,代入曲線系可得7y+6x=1,這正是經(jīng)過(guò)兩條拋物線交點(diǎn)的直線方程。

評(píng)注:由題意知兩條曲線的交點(diǎn)存在,故上面的求解過(guò)程也是可以的(除非交點(diǎn)根本就不存在)。當(dāng)然,如果是解答題,嚴(yán)格來(lái)說(shuō),以此直線分別與兩條曲線聯(lián)立,反向驗(yàn)證一下交點(diǎn)的存在性,則更好一些!

4.(2010年安徽省賽題第5 題)設(shè)z為復(fù)數(shù),則|z-1|+|z-i|+|z+1|的最小值為_(kāi)___。

簡(jiǎn)解：記復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R),則我們可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合,將原問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為平面直接坐標(biāo)系中,求點(diǎn)P(x,y)與點(diǎn)A(1,0),B(-1,0),C(0,1)距離之和的最小值。

此時(shí)這個(gè)最小值對(duì)應(yīng)點(diǎn)P(x,y)的位置正是△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn),于是容易得到相應(yīng)的最小值為

評(píng)注:本題是費(fèi)爾馬點(diǎn)背景的問(wèn)題。