條件概率與全概率公式考點(diǎn)突破

■河北省石家莊二中實(shí)驗(yàn)學(xué)校 朱秀華

常言道:知己知彼,百戰(zhàn)百勝。條件概率與全概率公式是新教材新增內(nèi)容,那么對(duì)于這個(gè)內(nèi)容,考試中一般會(huì)出現(xiàn)哪些考點(diǎn)呢?

考點(diǎn)1：計(jì)算條件概率

例1(1)從1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取2個(gè)數(shù),事件A=“有一個(gè)數(shù)是奇數(shù)”,B=“另一個(gè)數(shù)也是奇數(shù)”,則P(B|A)=( )。

(2)一個(gè)盒子中有4 個(gè)白球,m個(gè)紅球,從中不放回地每次任取1個(gè),連取2次,已知第二次取到紅球的條件下,第一次也取到紅球的概率為

分析：(1)根據(jù)條件概率的定義,可分別求解n(AB),n(A),即可用條件概率的公式運(yùn)用個(gè)數(shù)之比求解;(2)根據(jù)條件概率的公式計(jì)算出結(jié)果。

解：(1)任取2 個(gè)數(shù),則一奇一偶共有(種)取法,兩個(gè)都是奇數(shù)共有10(種)取法,所以事件A包含所取兩個(gè)數(shù)要么為一奇一偶,要么為兩個(gè)奇數(shù),故n(A)=20+10=30。

(2)由題知,記“第一次取到紅球”為事件A,“第二次取到紅球”為事件B。

解得m=6或m=0(舍去)。

方法技巧：

(1)條件概率P(B|A)中“|”后面就是條件;(2)若P(A)=0,表示條件A不可能發(fā)生,此時(shí)用條件概率公式計(jì)算P(B|A)就沒(méi)有意義了,所以條件概率計(jì)算必須在P(A)＞0的情況下進(jìn)行。

考點(diǎn)2：條件概率的應(yīng)用

例2(1)2022 年某地區(qū)空氣質(zhì)量的記錄表明,空氣質(zhì)量一天為優(yōu)良的概率為0.8,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率為0.6,若今天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則明天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是( )。

A.0.48 B.0.6

C.0.75 D.0.8

(2)疫情的到來(lái)給我們生活學(xué)習(xí)等各方面帶來(lái)種種困難。當(dāng)年為了順利迎接高考,某省制定了周密的畢業(yè)年級(jí)復(fù)學(xué)計(jì)劃。為了確保安全開(kāi)學(xué),全省組織畢業(yè)年級(jí)學(xué)生進(jìn)行核酸檢測(cè)的篩查。學(xué)生先到醫(yī)務(wù)室進(jìn)行咽拭子檢驗(yàn),檢驗(yàn)呈陽(yáng)性者需到防疫部門(mén)進(jìn)一步檢測(cè)。已知隨機(jī)抽一人檢驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為0.2%,且每個(gè)人檢驗(yàn)是否呈陽(yáng)性相互獨(dú)立,若該疾病患病率為0.1%,且患病者檢驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為99%。若某人檢驗(yàn)呈陽(yáng)性,則他確實(shí)患病的概率( )。

A.0.99% B.99%

以100 mL復(fù)原奶為準(zhǔn)，在接種量0.1%，黃精浸提液0.5%，于42℃下發(fā)酵6 h，在每100 mL復(fù)原奶中分別添加蔗糖5%，6%，7%，8%，9%，按照1.3.1的工藝流程制造黃精酸奶，考查不同蔗糖添加量對(duì)黃精酸奶品質(zhì)的影響，確定蔗糖的最佳添加量。

C.49.5% D.36.5%

分析：(1)設(shè)隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是p,利用條件概率公式能求出結(jié)果;(2)利用條件概率可求某人檢驗(yàn)呈陽(yáng)性時(shí)他確實(shí)患病的概率。

解：(1)一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為0.8,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率為0.6,設(shè)隨后一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為p。若今天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,明天空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則,選C。

(2)設(shè)A為“某人檢驗(yàn)呈陽(yáng)性”,B為“此人患病”,則“某人檢驗(yàn)呈陽(yáng)性時(shí)他確實(shí)患病”為B|A。

方法技巧：

(1)利用定義計(jì)算,先分別計(jì)算概率P(AB)和P(A),然后代入公式P(B|A)=即可求解;

(2)借助古典概型計(jì)算概率的公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB),則

考點(diǎn)3：利用全概率公式求概率

例3(1)制造業(yè)直接體現(xiàn)了一個(gè)國(guó)家的生產(chǎn)力水平,中國(guó)制造業(yè)作為國(guó)家的支柱產(chǎn)業(yè),一直保持較好的發(fā)展態(tài)勢(shì)。通過(guò)人口普查發(fā)現(xiàn),A,B兩市從事制造業(yè)的人分別占全市人口的8%,12%,這兩市的人口數(shù)之比為6∶9。現(xiàn)從這兩市隨機(jī)選取一個(gè)人,則此人恰好從事制造業(yè)的概率為_(kāi)___。

(2)已知某地市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中,甲廠(chǎng)產(chǎn)品占60%,乙廠(chǎng)產(chǎn)品占40%,甲廠(chǎng)產(chǎn)品的合格率是95%,乙廠(chǎng)產(chǎn)品的合格率是90%,則從該地市場(chǎng)上買(mǎi)到一個(gè)合格燈泡的概率是_____。

分析：(1)利用條件概率即可求得從這兩市隨機(jī)選取一個(gè)人,且此人恰好從事制造業(yè)的概率;(2)根據(jù)獨(dú)立事件和互斥事件概率計(jì)算方法計(jì)算。

(2)從某地市場(chǎng)上購(gòu)買(mǎi)一個(gè)燈泡,設(shè)買(mǎi)到的燈泡是甲廠(chǎng)產(chǎn)品為事件A,買(mǎi)到的燈泡是乙廠(chǎng)產(chǎn)品為事件B,則由題意可知P(A)=60%,P(B)=40%。

從甲廠(chǎng)產(chǎn)品中購(gòu)買(mǎi)一個(gè),設(shè)買(mǎi)到的產(chǎn)品是合格品為事件C。

從乙廠(chǎng)產(chǎn)品中購(gòu)買(mǎi)一個(gè),設(shè)買(mǎi)到的產(chǎn)品是合格品為事件D。

則由題可知P(C)=95%,P(D)=90%。

由題可知A、B、C、D互相獨(dú)立,故從該地市場(chǎng)上買(mǎi)到一個(gè)合格燈泡的概率為:

P(AC)+P(BD)=P(A)P(C)+P(B)P(D)=60%×95%+40%×90%=0.93。

方法技巧：

考點(diǎn)4：利用貝葉斯公式求概率

例4設(shè)甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)爆發(fā)了某種流行病,三個(gè)地區(qū)感染此病的比例分別為?，F(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)任抽取一個(gè)人。(1)求此人感染此病的概率(結(jié)果保留三位小數(shù));

(2)若此人感染此病,求此人來(lái)自乙地區(qū)的概率(結(jié)果保留三位小數(shù))。

分析：(1)由全概率公式求解;(2)由貝葉斯公式求解

解：(1)設(shè)事件Ai表示“來(lái)自第i個(gè)地區(qū),i=1,2,3”;事件B表示“感染此病”。

(2)若樣本空間Ω中的事件A1,A2,…,An滿(mǎn)足:①任意兩個(gè)事件均互斥,即AiAj=?,i,j=1,2,…,n,i≠j;②A(yíng)1+A2+…+An=Ω;③0＜P(Ai)＜1,i=1,2,…,n。則對(duì)Ω中的任意概率非零的事件B,都有B=BA1+BA2+… +BAn,且P(Aj|B)=