探析排列組合常見(jiàn)的十六種解題方法

■福建省泉州市第七中學(xué) 彭耿鈴

高考排列組合試題能有效地考查同學(xué)們的閱讀判斷能力、轉(zhuǎn)化與化歸處理能力及應(yīng)用意識(shí)。這類試題新穎別致,聯(lián)系社會(huì)實(shí)際,貼近生活,反映了排列組合應(yīng)用領(lǐng)域的廣闊,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。本文特精選一些排列組合例題予以分類探析,旨在探究題型及解題方法,希望同學(xué)們能決勝于高考。

求解排列、組合問(wèn)題的常見(jiàn)方法有以下幾種 。

(1)限制條件排除法:先求出不考慮限制條件的個(gè)數(shù),然后排除不符合條件的個(gè)數(shù),相當(dāng)于減法原理;

(2)相鄰問(wèn)題捆綁法:在特定條件下,將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來(lái)考慮,待整個(gè)問(wèn)題排好之后再考慮它們“內(nèi)部”的排列數(shù),主要用于解決相鄰問(wèn)題;

(3)插空法:先把不受限制的元素排列好,然后把特定元素插在它們之間或兩端的空當(dāng)中;

(4)特殊元素、位置優(yōu)先安排法:對(duì)問(wèn)題中的特殊元素或位置優(yōu)先考慮排列,然后排列其他一般元素或位置;

(5)多元問(wèn)題分類法:將符合條件的排列分為幾類,根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理求出排列總數(shù);

(6)元素相同隔板法:若把n個(gè)不加區(qū)分的相同元素分成m組,可通過(guò)n個(gè)相同元素排成一排,在元素之間插入m-1 塊隔板來(lái)完成分組,此法適用于同元素分組問(wèn)題;

(7)“至多”、“至少”間接法:“至多”、“至少”的排列組合問(wèn)題,需分類討論且一般分類的情況較多,所以通常用間接法,即排除法,它適用于反面明確且易于計(jì)算的問(wèn)題;

(8)選排問(wèn)題先取再排法:選排問(wèn)題很容易出現(xiàn)重復(fù)或遺漏的錯(cuò)誤,因此常先取出元素(組合)再排列,即先取再排;

(9)定序問(wèn)題消序法:甲、乙、丙順序一定,采用消序法,即除法,用總排列數(shù)除以順序一定的排列數(shù);

(10)有序分配逐分法:有序分配是指把元素按要求分成若干組,常采用逐分的方法求解。

一、定位問(wèn)題優(yōu)先法(特殊元素和特殊位置優(yōu)先考慮)

例1由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)?

解析：由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置。

例26個(gè)人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有( )。

A.192種 B.216種

C.240種 D.288種

解析：若最左端排甲,其他位置共有=120(種)排法;若最左端排乙,最右端共有4種排法,其余4個(gè)位置有(種)排法。

所以共有120+4×24=216(種)排法,選B。

小結(jié)：位置分析法和元素分析法是解決排列組合問(wèn)題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其他元素。若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其他位置。若有多個(gè)約束條件,往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其他條件。

二、相鄰元素捆綁法

例37人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法?

解析：可先將甲乙兩個(gè)元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素,同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素,再與其他元素進(jìn)行排列,同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理可得,共有(種)不同的排法。

例4某人射擊了8 槍,命中4 槍,4槍命中且恰好有3 槍連在一起的情形共有____種。

解析：命中的3槍捆綁在一起,與命中的另一槍插入到未命中4槍形成的5個(gè)空位,共有(種)情況。

小結(jié)：要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題,可以用捆綁法來(lái)解決。即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素,再與其他元素一起進(jìn)行排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列。

三、不相鄰問(wèn)題插空法

例5某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目,2個(gè)小品類節(jié)目和1 個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是( )。

A.72 B.120 C.144 D.168

例66把椅子擺成一排,3人隨機(jī)就座,任何2人不相鄰的坐法種數(shù)為( )。

A.144 B.120 C.72 D.24

解析：先把3把椅子隔開(kāi)擺好,它們之間和兩端有4個(gè)位置,再把3人帶椅子插放在四個(gè)位置,共有(種)方法,故選D。

例7(2022年新高考Ⅱ卷) 有甲乙丙丁戊5 名同學(xué)站成一排參加文藝匯演,若甲不站在兩端,丙和丁相鄰的不同排列方式有( )種。

A.12 B.24 C.36 D.48

解析：因?yàn)楸∫谝黄?先把丙丁捆綁,看作一個(gè)元素,連同乙,戊看成三個(gè)元素排列,有種排列方式。為使甲不在兩端,必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入,有2 種插空方式。注意到丙丁兩人的順序可交換,有2種排列方式,故安排這5名同學(xué)共有(種)不同的排列方式,選B。

小結(jié)：元素相離問(wèn)題可先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì),再把不相鄰元素插入中間和兩端。

四、定序問(wèn)題除序(去重復(fù))、空位、插入法

例87人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定,共有多少種不同的排法?

解析：法一(除序法):

對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是

法二(空位法):

法三(插入法):

小結(jié)：定序問(wèn)題可以用除序法,還可轉(zhuǎn)化為空位法、插入法。

五、重排問(wèn)題求冪法

例9把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法?

解析：完成此事共分六步,把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有 7 種分法,把第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種分法,……,由分步計(jì)數(shù)原理知共有76種不同的分法。

小結(jié)：允許重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象,元素不受位置的約束,可以逐一安排各個(gè)元素的位置。一般地,n個(gè)不同的元素沒(méi)有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為mn。

六、環(huán)排問(wèn)題線排法

例108人圍桌而坐,共有多少種坐法?

解析：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于,坐成圓形沒(méi)有首尾之分,所以固定1人并從此位置把圓形展成直線,其余7 人共有(8-1)!=7!=5 040(種)排法。

小結(jié)：一般地,n個(gè)不同元素作圓形排列,共有(n-1)! 種排法。如果從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作圓形排列,共有

七、排列組合混合問(wèn)題先選后排法

例11有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少種不同的裝法?

解析：第一步從5 個(gè)球中選出2 個(gè)組成復(fù)合元素,共有(種)方法;再把4 個(gè)元素(包含一個(gè)復(fù)合元素)裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),有(種)方法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,裝球的方法共有(種)。

例12(2021年全國(guó)乙卷) 將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4 個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn),每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目至少分配1 名志愿者,則不同的分配方案共有( )。

A.60種 B.120種

C.240種 D.480種

解析：根據(jù)題意,有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者,其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者,可以先從5名志愿者中任選2人組成一個(gè)小組,有種選法;然后連同其余3人,看成4 個(gè)元素,4個(gè)項(xiàng)目看成4個(gè)不同的位置,4 個(gè)不同的元素在4個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)為根據(jù)乘法原理,完成這件事共有=240(種)不同的分配方案,選C。

例13(2020 年全國(guó)Ⅱ卷)4 名同學(xué)到3 個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng),每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū),每個(gè)小區(qū)至少安排1 名同學(xué),則不同的安排方法共有_____種。

解析：因?yàn)? 名同學(xué)到3 個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng),每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū),每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué),所以先取2 名同學(xué)看作一組,選法有種。現(xiàn)在可看成是3組同學(xué)分配到3個(gè)小區(qū),分法有種。根據(jù)分步乘法原理,可得不同的安排方法有=6×6=36(種)。

小結(jié)：解決排列組合混合問(wèn)題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想,此法與相鄰元素捆綁策略相似。

八、元素相同問(wèn)題隔板法

例14有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額,分給7個(gè)班,每班至少1人,有多少種分配方案?

解析：10 個(gè)名額沒(méi)有差別,把它們排成一排,相鄰名額之間形成9 個(gè)空隙。在9 個(gè)空隙中選6個(gè)位置插個(gè)隔板,可把名額分成7份,對(duì)應(yīng)地分給7個(gè)班級(jí),每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法,共有(種)分法。

小結(jié)：將n個(gè)相同的元素分成m份(n,m為正整數(shù)),每份至少一個(gè)元素,可以用m-1塊隔板,插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中,所有分法數(shù)為

九、正難則反總體淘汰法

例15從1,3,5,7,9這5個(gè)數(shù)中,每次取出2 個(gè)不同的數(shù)分別記為a,b,共可得到lga-lgb的不同值的個(gè)數(shù)是( )。

A.9 B.10 C.18 D.20

例16某學(xué)校安排甲、乙、丙、丁4位同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽,要求每位同學(xué)僅報(bào)一科,每科至少有一位同學(xué)參加,且甲、乙不能參加同一學(xué)科,則不同的安排方法有_____種。

解析：把4 位同學(xué)分成3 組,有(種)方法,然后進(jìn)行全排列,即有(種)方法,去掉甲、乙在一個(gè)組的情況,當(dāng)甲、乙在一個(gè)組時(shí),參加的方法有(種)。故符合題意的安排方法有36-6=30(種)。

小結(jié)：有些排列組合問(wèn)題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷,可以先求出它的反面,再?gòu)恼w中淘汰。

十、平均分組問(wèn)題除法

例17將5名同學(xué)分到甲、乙、丙3個(gè)小組,若甲小組至少2人,乙、丙組至少1人,則不同的分配方案種數(shù)為( )。

A.80 B.120 C.140 D.50

解析：先將5名同學(xué)分成3組,有兩種分配方案,一是3組人數(shù)分別為2,2,1,分組方法有(種),然后將有2人的兩組分給甲、乙或甲、丙,分配方法是(種);二是3 組人數(shù)分別為3,1,1,分組方法有(種),然后將有1人的兩組分給乙、丙兩組,分配方法有=20(種)。共有60+20=80(種)方案,選A。

小結(jié)：平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后一定要除以為平均分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。

十一、合理分類與分步法

例18甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,先贏3局者獲勝,決出勝負(fù)為止,則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有( )。

A.10種 B.15種

C.20種 D.30種

解析：由題意知比賽局?jǐn)?shù)至少為3局,至多為5局。當(dāng)局?jǐn)?shù)為3 局時(shí),情況為甲或乙連贏3 局,共2 種。當(dāng)局?jǐn)?shù)為4 局時(shí),若甲贏,則前3 局中甲贏2 局,最后一局甲贏,共有(種)情況。同理,若乙贏,也有3種情況,共有3+3=6(種)情況。當(dāng)局?jǐn)?shù)為5局時(shí),前4局,甲、乙各贏2局,最后1局勝出的人贏,共有12(種)情況。

綜上可知,共有2+6+12=20(種)情況。選C。

十二、構(gòu)造模型法

例19馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盞路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種。

解析：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型,在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3盞不亮的燈有=10(種)。

小結(jié)：一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型,如占位填空模型,排隊(duì)模型,裝盒模型等,可使問(wèn)題直觀解決。

十三、分解與合成法

例2030 030 能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除?

解析：先把30 030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30 030=2×3×5 × 7 ×11×13,依題意可知偶因數(shù)必先取2,再?gòu)钠溆?個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積,所有的偶因數(shù)有(個(gè))。

例21正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對(duì)異面直線?

解析：我們先從8 個(gè)頂點(diǎn)中任取4 個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四面體,共有(個(gè)),每個(gè)四面體有3對(duì)異面直線,正方體中的8 個(gè)頂點(diǎn)可連成3×58=174(對(duì))異面直線。

例22從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì),其中所成的角為60°的共有( )。

A.24對(duì) B.30對(duì)

C.48對(duì) D.60對(duì)

解析：(1)方法一:與正方體的一個(gè)面上的一條對(duì)角線成60°角的對(duì)角線有8條,故共有8對(duì),正方體的12條面對(duì)角線共有8×12=96(對(duì)),且每對(duì)均重復(fù)計(jì)算一次,故共有=48(對(duì))。選C。

小結(jié)：分解與合成策略是排列組合問(wèn)題的一種最基本的解題策略,把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成幾個(gè)小問(wèn)題逐一解決,然后依據(jù)問(wèn)題分解后的結(jié)構(gòu),用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問(wèn)題合成,從而得到問(wèn)題的答案,每個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題都要用到這種解題策略。

十四、復(fù)雜問(wèn)題化歸法

例2325人排成5×5 方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種?

解析：將這個(gè)問(wèn)題退化成9人排成3×3方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少種選法。這樣每行必有1人,從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉,如此繼續(xù)下去。從3×3方隊(duì)中選3人的方法有(種)。再?gòu)?×5方陣選出3×3方陣便可解決問(wèn)題。從5×5方隊(duì)中選取3行3列,有(種)選法,所以從5×5方陣選不在同一行也不在同一列的3人,有(種)選法。

例24用a代表紅球,b代表藍(lán)球,c代表黑球,由加法原理及乘法原理,從1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出若干個(gè)球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展開(kāi)式1+a+b+ab表示出來(lái),如:“1”表示一個(gè)球都不取、“a”表示取出一個(gè)紅球,而“ab”表示把紅球和藍(lán)球都取出來(lái)。以此類推,下列各式中,其展開(kāi)式可用來(lái)表示從5 個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球、5 個(gè)無(wú)區(qū)別的藍(lán)球、5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球,且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是( )。

A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)·(1+c)5

B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5

C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)·(1+c5)

D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)

解析：分三步:第一步,5 個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球可能取出0個(gè),1個(gè),…,5個(gè),則有(1+a+a2+a3+a4+a5)種不同的取法;

第二步,5 個(gè)無(wú)區(qū)別的藍(lán)球都取出或都不取出,則有(1+b5)種不同的取法;

第三步,5 個(gè)有區(qū)別的黑球看作5 個(gè)不同色,從5 個(gè)不同色的黑球任取0 個(gè),1個(gè),…,5個(gè),有(1+c)5種不同的取法。

所以所求的取法種數(shù)為(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5,選A。

小結(jié)：處理復(fù)雜的排列組合問(wèn)題時(shí)可以把一個(gè)問(wèn)題退化成一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題,通過(guò)先解決這個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題,從而下一步解決原來(lái)的問(wèn)題。

十五、數(shù)字排序問(wèn)題查字典法

例25用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40 000大的偶數(shù)共有( )。

A.144個(gè) B.120個(gè)

C.96個(gè) D.72個(gè)

解析：首位填4 時(shí),比40 000 大的偶數(shù)有2×4×3×2=48(個(gè));首位填5 時(shí),比40 000大的偶數(shù)有3×4×3×2=72(個(gè))。故共有48+72=120(個(gè))數(shù)滿足題意,選B。

小結(jié)：數(shù)字排序問(wèn)題可用查字典法,查字典的法應(yīng)從高位向低位查,依次求出其符合要求的個(gè)數(shù),根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理求出其總數(shù)。

十六、住店法

例267 名學(xué)生爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍,每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得,獲得冠軍的可能的種數(shù)為_(kāi)____。

解析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍,故學(xué)生可重復(fù)排列,將7名學(xué)生看作7家“店”,五項(xiàng)冠軍看作5名“客”,每個(gè)“客”有7種住宿法,由乘法原理知有75種可能。

小結(jié)：解決“允許重復(fù)排列問(wèn)題”要注意區(qū)分兩類元素:一類元素可以重復(fù),另一類不能重復(fù),把不能重復(fù)的元素看作“客”,能重復(fù)的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解。

排列組合歷來(lái)是高中學(xué)習(xí)中的難點(diǎn),同學(xué)們只要對(duì)基本的解題策略熟練掌握,就可以選取不同的技巧來(lái)解決問(wèn)題。對(duì)于一些比較復(fù)雜的問(wèn)題,我們可以將幾種策略結(jié)合起來(lái)應(yīng)用,把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。請(qǐng)同學(xué)們對(duì)以上排列組合的幾種常見(jiàn)的解題策略加以復(fù)習(xí)鞏固,能舉一反三,觸類旁通,進(jìn)而為后續(xù)的概率學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。