成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性高考題型剖析

■甘肅省白銀市第一中學(xué) 胡貴平

定性和定量分析成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的重要內(nèi)容,也是高考的熱點(diǎn),現(xiàn)對(duì)高考中常見題型進(jìn)行剖析,歸納整理。

一、散點(diǎn)圖判斷相關(guān)關(guān)系

例1(2020年全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué))某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位:℃)的關(guān)系,在20 個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn),由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到如圖1的散點(diǎn)圖。

圖1

由此散點(diǎn)圖,在10℃至40℃之間,下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是( )。

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

解析:由散點(diǎn)圖分布可知,散點(diǎn)分布在一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像附近,因此,最適合作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型是y=a+blnx。故選D。

二、一元線性回歸方程模型

(1)求家庭的月儲(chǔ)蓄y關(guān)于月收入x的線性回歸方程y=bx+a;

(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);

(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄。

故所求回歸方程為y=0.3x-0.4。

(2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(b=0.3＞0),故x與y之間是正相關(guān)。

(3)將x=7代入回歸方程,可以預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄為y=0.3×7-0.4=1.7(千元)。

例3(2014年新課標(biāo)Ⅱ卷理數(shù)改編)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如表1所示。

表1

(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程;

(2)利用(1)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測(cè)該地區(qū)2023年農(nóng)村居民家庭人均純收入。

所以y關(guān)于t的回歸方程為y=0.5t+2.3。

(2)因?yàn)閎=0.5＞0,所以2007 年至2013年該區(qū)人均純收入穩(wěn)步增長(zhǎng),每年增加0.5千元。預(yù)計(jì)到2023年該區(qū)人均純收入y=0.5×17+2.3=10.8(千元)。因此,預(yù)計(jì)到2023年該區(qū)人均純收入約10.8千元。

三、一元線性回歸方程性質(zhì)

例4(2014年湖北文數(shù))根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)(表2)得到的回歸方程為=bx+a,則( )。

表2

A.a＞0,b＜0 B.a＞0,b＞0

C.a＜0,b＜0 D.a＜0,b＞0

解析:作出散點(diǎn)圖,如圖2所示。

圖2

故選A。

例5(2013年福建文數(shù))已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如表3所示。

表3

圖3

四、相關(guān)系數(shù)r

例6(2017全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷文數(shù))為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每隔30 min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm)。表4是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16 個(gè)零件的尺寸。

表4

(1)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相關(guān)系數(shù)r,并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|＜0.25,則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小)。

(i)從這一天抽檢的結(jié)果看,是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?

由于|r|＜0.25,因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小。