一類(lèi)非線性復(fù)微分差分方程超越整函數(shù)解的性質(zhì)

廖志華，付雨欣，蔣業(yè)陽(yáng)

（江西科技師范大學(xué)大數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，江西 南昌 330038）

1 前言

復(fù)分析是一個(gè)有著眾多分支的研究領(lǐng)域，對(duì)復(fù)微分差分方程解的研究是復(fù)分析中的一個(gè)重要的課題[1]。上世紀(jì)20 年代，芬蘭數(shù)學(xué)家R.Nevanlinna從Possion-Jessen 公式出發(fā)，通過(guò)研究復(fù)平面上亞純函數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)的多少和模增長(zhǎng)快慢等問(wèn)題，引進(jìn)了均值函數(shù)、計(jì)數(shù)函數(shù)和特征函數(shù)，得到了兩個(gè)重要的基本定理，并由此建立了Nevanlinna 值分布理論[2，3]。

近二十年來(lái)，隨著Nevanlinna 值分布理論差分模擬的建立，特別是Halburd-Korhonen[4]以及Chiang-Feng[5]等關(guān)于對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)引理差分模擬以及差分計(jì)數(shù)函數(shù)和差分特征函數(shù)相關(guān)結(jié)論的建立，復(fù)差分方程亞純解的研究取得了非常多的成果，并進(jìn)一步拓展到了復(fù)微分差分方程亞純解的研究領(lǐng)域[6-14]。

本文中的m（r，f）、N（r，f）、N（r，1/f）、T（r，f）分別表示亞純函數(shù)f 的均值函數(shù)、極點(diǎn)計(jì)數(shù)函數(shù)、零點(diǎn)計(jì)數(shù)函數(shù)和特征函數(shù)[2，3]。σ（f）、λ（f）、λ（1/f）、σ2（f）分別是f 的增長(zhǎng)級(jí)、零點(diǎn)收斂指數(shù)、極點(diǎn)收斂指數(shù)和超級(jí)[1]。S（r，f）是滿(mǎn)足S（r，f）＝O（log r（T（r，f）））的一個(gè)變量，至多除去一個(gè)有窮對(duì)數(shù)測(cè)度集。若一個(gè)亞純函數(shù)g 滿(mǎn)足T（r，g）=S（r，f），則稱(chēng)g 是f 的小函數(shù)[3]。

有窮級(jí)指數(shù)型多項(xiàng)式函數(shù)被定義為：

其中Pj、αj（j=1，2，…，k）是關(guān)于z 的多項(xiàng)式。另外，簡(jiǎn)單指數(shù)型多項(xiàng)式被定義為：

2010 年，Laine 和Yang[13]研究了非線性復(fù)域微分差分方程fn+L（z，f）=h（z）的有窮級(jí)整函數(shù)解，其中n≥2，h（z）是一個(gè)不恒等于零的亞純函數(shù)。L（z，f）是一個(gè)關(guān)于f 的線性微分差分多項(xiàng)式，其系數(shù)是關(guān)于f的小函數(shù)。特別地，如果L（z，f）退化成q（z）f（z+1），則非線性復(fù)域差分方程f（z）2+q（z）f（z+1）=P（z）將不存在有窮級(jí)超越整函數(shù)解，其中q（z）和P（z）是一般多項(xiàng)式。2012 年，Wen 等[14]將q（z）換成q（z）eQ（z），即考慮方程fn（z）+q（z）eQ（z）f（z+c）=P（z），其中P（z），q（z）是多項(xiàng)式且q（z）?0，并且Q（z）是一個(gè)非常數(shù)多項(xiàng)式。他們證明了該方程的超級(jí)σ2（f）＜1 的亞純函數(shù)解都是整函數(shù)，并且得到了定理1.A：

定理1.A[14]若q（z）、P（z）、Q（z）是多項(xiàng)式，且Q（z）不是一個(gè)常數(shù)，q（z）?0，以及n≥2，那么對(duì)于方程fn（z）+q（z）eQ（z）f（z+c）=P（z）的每個(gè)有窮級(jí)整函數(shù)解滿(mǎn)足：

（i）每個(gè)解f 滿(mǎn)足σ（f）=deg（Q（z）），并且是正規(guī)型；

（ii）每個(gè)解f 滿(mǎn)足λ（f）=σ（f）當(dāng)且僅當(dāng)P（z）?0；

（iii）每個(gè)解f 屬于Γ0當(dāng)且僅當(dāng)P（z）≡0；特別地，這是n≥3 的情形；

（iv）如果一個(gè)解f∈Γ0，并且g 是該方程的任意一個(gè)有窮級(jí)的超越整函數(shù)解，那么f=ηg，其中ηn-1=1；

（v）如果f 是一個(gè)形如（1.1）的指數(shù)型多項(xiàng)式解，那么f∈Γ1。進(jìn)一步，如果f∈Γ1Γ0，那么σ（f）=1。

2016 年，劉凱[9]進(jìn)一步考慮了下列非線性復(fù)微分差分方程

的超越整函數(shù)解，得出了與定理1.A 類(lèi)似的結(jié)果。

很自然地，若將方程（1.2）中的單項(xiàng)f（k）（z+c）推廣為多項(xiàng)和時(shí)，新方程的超越整函數(shù)解f 的性質(zhì)又將如何？事實(shí)上，本文研究了

得到了下面的結(jié)論：

定理1 在方程（1.3）中，若q（z）?0，Q（z）、ai（z）、P（z）是多項(xiàng)式，其中Q（z）不是常數(shù)，k≥1 以及n≥2，那么方程（1.3）的有窮級(jí)超越整函數(shù)解f 滿(mǎn)足：

（i）σ（f）=deg（Q（z）），并且它是正規(guī)型；

（ii）λ（f）=σ（f）當(dāng)且僅當(dāng)P（z）?0。

可以得到下面的結(jié)論。

定理2 在方程（1.4）中，若q（z）、P（z）、ai（z）是多項(xiàng)式，Q（z）是一個(gè)非常數(shù)多項(xiàng)式，q（z）?0，k≥1 以及n≥2，則方程（1.4）的超越整函數(shù)解f 滿(mǎn)足：

（ii）如果解f、g∈Γ0，且ai（z）退化成常數(shù)ai，那么f=ηg，其中ηn-1=1。

2 主要引理

引理1[3]設(shè)f（z）為超越亞純函數(shù)，則

引理2[3]設(shè)f（z）是非常數(shù)亞純函數(shù)，aj（1≤j≤q）是q 個(gè)互相判別的復(fù)數(shù)，則

引理3[2]（Hadamard 分解定理）設(shè)f（z）為非常數(shù)有窮級(jí)亞純函數(shù)，在z=0 附近滿(mǎn)足

引理4[5]設(shè)f（z）是有窮級(jí)的非常數(shù)亞純函數(shù)，c∈C 且δ＜1，則對(duì)一切r 有

至多除去一個(gè)具有有窮對(duì)數(shù)測(cè)度例外集E2。

再由引理1 可得，

對(duì)于任意有窮級(jí)的亞純函數(shù)f 都成立，其中η是一個(gè)非零復(fù)數(shù)，至多除去一個(gè)具有有窮對(duì)數(shù)測(cè)度例外集E2。

引理5[5]設(shè)f（z）是非常數(shù)有窮級(jí)亞純函數(shù)，且η≠0 那么對(duì)任意r 有

3 定理的證明

3.1 定理1 的證明

（i）假設(shè)f 是方程（1.3）的一個(gè)有窮級(jí)超越整函數(shù)解，所以N（r，f）=0。由（1.3）及其變形，結(jié)合引理1、引理4 和引理5，可得（3.1）和（3.2）。

因此當(dāng)n≥2 時(shí)，結(jié)合（3.1）和（3.2）可得σ（f）=deg Q。

（ii）“?”如果P（z）?0，運(yùn)用引理2、引理4 和引理5，結(jié)合f 是一個(gè)超越整函數(shù)，可以得到

因此當(dāng)n≥2 時(shí)，λ（f）≥σ（f）。又因?yàn)棣耍╢）≤σ（f），可得λ（f）＝σ（f）。

“?”如果λ（f）≤σ（f），要證P（z）?0。用反證法，先假設(shè)P（z）≡0。因?yàn)閒?0，所以得到

對(duì)于n≥2，方程（1.3）意味著

結(jié)合（3.5）和（3.6），可以得到N（r，1/f（z））≤S（r，f（z））。因此λ（f）＜σ（f），這與λ（f）=σ（f）矛盾，因此P（z）?0。

3.2 定理2 的證明

（i）與定理1（ii）的證明過(guò)程類(lèi)似地，容易證到：當(dāng)且僅當(dāng)P（z）≡0 時(shí)，方程（1.4）的每個(gè)超越整函數(shù)解f 滿(mǎn)足λ（f）＜σ（f）。

如果P（z）≡0，那么λ（f）＜σ（f）。根據(jù)引理3，不妨設(shè)f（z）=A（z）eα（z），其中α（z）是一個(gè)非常數(shù)多 項(xiàng)式，A（z）是超越整函數(shù)或者是一般多項(xiàng)式。

若A（z）是一個(gè)超越整函數(shù)，設(shè)A（z）=zmH（z），其中H（z）是f（z）的非零零點(diǎn)構(gòu)成的典型乘積（m 是f在原點(diǎn)處取零點(diǎn)的重?cái)?shù)），易得N（r，A（z））=0，根據(jù)引理3，可得

將f（z）=A（z）eα（z）代入到方程（1.4）中，可以得到

其中Li（z，A）是一個(gè)關(guān)于A（z+c）及其導(dǎo)數(shù)以及α（z+c）的導(dǎo)數(shù)的微分差分多項(xiàng)式，由引理4，可以得到

由方程（3.8），因?yàn)锳（z）?0，所以

由方程（3.10），可以得到

因此由（3.11）和（3.12）可以得到

所以λ（A）＜σ（A），這與（3.7）中λ（A）＝σ（A）矛盾。因此我們可以斷定A（z）是一個(gè)多項(xiàng)式，所以f∈

特別地，如果n≥3 且P（z）?0，根據(jù)引理2，引理4 和方程（1.4）得

（ii）根據(jù)上述（i）的結(jié)果，如果f、g∈Γ0，那么P（z）≡0、A（z）≡1。根據(jù)方程（1.4）及ai（z）退化成一個(gè)常數(shù)ai，則q（z）也退化成一個(gè)常數(shù)q。由Li（z，A）的表達(dá)式以及α（z）是一個(gè)多項(xiàng)式的事實(shí)，容易得到α′（z）也是一個(gè)常數(shù)，即α（z）是一次多項(xiàng)式。

兩式相除得，

所以

4 結(jié)論

本文運(yùn)用Nevanlinna 值分布理論及其差分模擬和Hadamard 分解定理研究了一類(lèi)非線性復(fù)微分差分方程（1.3）的超越整函數(shù)解的增長(zhǎng)級(jí)以及零點(diǎn)收斂指數(shù)和增長(zhǎng)級(jí)相等的等價(jià)條件。同時(shí)，研究表明方程（1.4）的指數(shù)多項(xiàng)式解滿(mǎn)足f∈時(shí)的等價(jià)條件，以及當(dāng)f∈Γ0時(shí)，這樣的解只相差常數(shù)倍。