局部強(qiáng)緊空間的若干性質(zhì)

鄧夢(mèng)其，蔡 琳，李美琪，張文鋒

（江西科技師范大學(xué)大數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，江西 南昌 330038）

1 前言

作為連續(xù)domain[1]和廣義連續(xù)格[2]的共同推廣，Gierz、Lawson 和Stralka[3]引入了擬連續(xù)domain 的概念，并證明了具有Scott 拓?fù)涞臄M連續(xù)domain 正是分配超連續(xù)格的譜。擬連續(xù)domain 具有許多類似于domain 的性質(zhì)。目前，這方面的研究已經(jīng)取得了許多顯著的成果[4-10]。擬連續(xù)domain 通常是按序理論方式定義的，但它們也存在拓?fù)涫矫枋觯ū热缇植繌?qiáng)緊空間[10]）。局部強(qiáng)緊空間由于其在拓?fù)鋵W(xué)、范疇論、序論和計(jì)算機(jī)科學(xué)方面的應(yīng)用已被人們廣泛研究[10-12]。

在一般拓?fù)淇臻g中，兩個(gè)緊集的交不一定是緊的。Lawson[13]引入了性質(zhì)M，證明了對(duì)于連續(xù)domain P，任意兩個(gè)Scott 緊上集的交仍是Scott 緊的當(dāng)且僅當(dāng)P 關(guān)于某一（任一）基滿足性質(zhì)M。其后，張文鋒和徐曉泉[14]引入了性質(zhì)MF，證明了對(duì)擬連續(xù)domain P，任意兩個(gè)Scott 緊上集的交是Scott 緊的當(dāng)且僅當(dāng)P 關(guān)于某一（任一）基具有性質(zhì)MF。本文將繼續(xù)討論局部強(qiáng)緊空間的一些性質(zhì)，并進(jìn)一步研究局部強(qiáng)緊空間上的緊性問題，同時(shí)給出了局部強(qiáng)緊空間上任意兩個(gè)緊上集的交仍是緊的一個(gè)等價(jià)刻畫，推廣了擬連續(xù)domain 上的相關(guān)結(jié)果。

2 預(yù)備知識(shí)

設(shè)P 為一偏序集，令P（＜ω）＝{F?P ：F 是有限的}，F(xiàn)in P ＝{↑A ：A∈P（＜ω）}。對(duì)?x∈P，A?P，令↑x ＝{y∈P ：x ≤y}及↑A ＝∪a∈A↑a 。A 稱為P中的上集，若A ＝↑A。對(duì)偶地可以定義↓x 和↓A。D?P 稱為定向集，若D 是非空的，且對(duì)?d1，d2∈D，?d3∈D 使得d1，d2≤d3。P 稱為定向完備偏序集（簡(jiǎn)記為dcpo），若對(duì)任意定向集D?P，∨D 存在。

設(shè)P 是偏序集，P 上的全體上集構(gòu)成的拓?fù)浞Q為Alexandroff 拓?fù)?，記作α（P）。U?P 稱為Scott 開集，若U 滿足：（1）U ＝↑U；（2）對(duì)任意定向子集D?P，當(dāng)∨D 存在且∨D∈U 時(shí)，有DU ≠?。P 上的全體Scott 開集構(gòu)成的拓?fù)浞Q為Scott 拓?fù)?，記作σ（P）。以{P ↓x ：x∈P}為子基生成的拓?fù)浞Q為上拓?fù)?，記為ν（P）。P 上一拓?fù)洇?稱為序相容的，若ν（P）?τ?α（P）。

設(shè)（X，τ）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A?X。符號(hào)clτA 和intτA 分別表示A 關(guān)于τ 的閉包和內(nèi)部。A 稱為空間（X，τ）的緊子集，若A 的每個(gè)開覆蓋有有限子覆蓋。

對(duì)任意T0空間（X，τ），X 上的特殊化序“≤”定義如下：x ≤y ?x∈clτ{y}。若X 是T0的，則≤是X上的一個(gè)偏序。本文中關(guān)于T0空間的所有序理論的陳述和概念（包括上集和下集等）都是指特殊化序。

定義2.1[10]一個(gè)T0空間（X，τ）稱為局部強(qiáng)緊空間，若?x∈U∈τ，?F∈X（＜ω）使得x∈intτ↑F?↑F?U。

定義2.2[1]設(shè)X 為一個(gè)dcpo。

（1）一非空集族Φ?2X稱為定向的，若?H，K∈Φ，?G∈Φ 使得G?↑H↑K。

（2）?A?X 及?x∈X，稱A way below x，記為A?x，若對(duì)任意定向集D?X，x ≤∨D?D↑A≠?。

（3）X 稱為擬連續(xù)domain，若?x∈X，集族{↑F∈Fin X ：F?x}是定向的且↑x ＝∩{↑F∈Fin X：F?x}。

定理2.1[1]一個(gè)dcpo X 為擬連續(xù)domain??x∈X 及U∈σ（X），x∈U??F∈X（＜ω）使得x∈intσ（X）↑F?↑F?U。

推論2.1 一個(gè)dcpo（X，σ（X））是局部強(qiáng)緊空間?X 為擬連續(xù)domain。

定理2.2 表明，dcpo P 上的Scott 拓?fù)洇遥≒）具有Rudin 性質(zhì)。

3 主要結(jié)果

引理3.1 設(shè)（X，τ）為T0空間。考慮以下條件：

（1）（X，τ）是局部強(qiáng)緊的；

（2）對(duì)（X，τ）中的任一緊集K 及U∈τ，若K?U，則?F∈X（＜ω）使得K?intτ↑F?↑F?U；

則（1）?（2）?（3）。若（X，τ）具有Rudin 性質(zhì)，則（3）?（1）。

證（1）?（2）：由[Proposition 3.1，10]。

推論3.1 設(shè)（X，τ）是局部強(qiáng)緊空間且K?X。則以下兩條件等價(jià)：

（1）K 在（X，τ）中是緊的。

（2）?F∈X（＜ω）使得K ＝↑F。

下面給出本文的主要結(jié)果。

定理3.1 設(shè)（X，τ）是局部強(qiáng)緊的?？紤]以下條件：

（1）任意兩個(gè)緊上集的交仍是緊的。

（3）對(duì)任意兩個(gè)緊上集A，B，存在一個(gè)定向族Φ?Fin X 使得A B＝∩Φ。

則（1）?（2）?（3）。若（X，τ）具有Rudin 性質(zhì)，則（3）?（1）。

證（1）?（2）：由引理3.1。

由定理2.2 及定理3.1，得到下述推論：

推論3.2 設(shè)τ 是dcpo P 上序相容拓?fù)淝姚?σ（P）。若（P，τ）是局部強(qiáng)緊空間，則下列兩條件等價(jià)：

（1）任意兩個(gè)緊上集的交仍是緊的。

推論3.3[14]設(shè)P 為擬連續(xù)domain。則以下兩條件等價(jià)：

（1）任意兩個(gè)Scott 緊上集的交仍是Scott 緊的。

4 結(jié)論

局部強(qiáng)緊空間是擬連續(xù)domain 的一種重要推廣，本文討論了局部強(qiáng)緊空間的一些性質(zhì)，特別研究了局部強(qiáng)緊空間上任意兩個(gè)緊上集的交在什么條件下仍是緊的緊性問題。給出了其上任意兩個(gè)緊上集的交仍是緊的一個(gè)等價(jià)刻畫，推廣了擬連續(xù)domain 上的相關(guān)結(jié)果。