“通性通法”是高考解題的康莊大道
——以2022年高考試題為例看構(gòu)造法解函數(shù)對稱與周期問題

沈 濤

(陜西省寶雞市石油中學)

2022年高考數(shù)學試卷的整體難度有所上升,從新課程標準里面以及高考改革的一些指導意見中,就能略見端倪,其中有這樣的一些整體的提煉,“堅持通性通法的考查”“不回避課堂教學熱點、重點知識、重點方法重點考查”“穩(wěn)中有變、立足基礎(chǔ)、突出能力、銳意求新”“多角度、多維度、多層次考查數(shù)學思維品質(zhì)”“考查學生的數(shù)學素養(yǎng)和學習潛能”,那么,在今后的教學中,如何應對高考目前的要求,是值得我們深思的事情,我覺得還是“以不變應萬變”為好,“不變”指的是數(shù)學本身的思維方法和基本的解題技能,這個是需要我們加強研究和學習,思維層次的提升和數(shù)學方法論指導的解題研究可以幫助我們更好地應對高考試題難度上升帶來的困難局面.

構(gòu)造法作為一種數(shù)學方法,不同于一般的邏輯方法,它屬于非常規(guī)思維,其本質(zhì)特征是“構(gòu)造”,用構(gòu)造法解題,并無一定的套路,表現(xiàn)出思維的試探性、不規(guī)則性和創(chuàng)造性.構(gòu)造法解題是一種創(chuàng)造性思維活動,其關(guān)鍵是借助對問題特征的敏銳觀察,展開豐富的聯(lián)想,實施正確的轉(zhuǎn)化.在解題中利用已知條件和數(shù)學知識,通過觀察、聯(lián)想,構(gòu)造出滿足條件的數(shù)學對象,或構(gòu)造出一種新的問題形式,使問題的結(jié)論得以肯定或否定,使問題轉(zhuǎn)化,有時更能使數(shù)學解題打破常規(guī),另辟蹊徑,巧妙地獲得解決.構(gòu)造法解題是數(shù)學核心素養(yǎng)的集中體現(xiàn).

有相當多的數(shù)學命題是具有一般性質(zhì)的數(shù)學問題的特殊體現(xiàn),我們構(gòu)造出這個一般性質(zhì),用來對問題進行判斷或推證,是一種富有創(chuàng)造性的解題方法,這種解題思路關(guān)鍵是構(gòu)造出符合題目要求的一般性規(guī)律性質(zhì).有時,我們也可以構(gòu)造一個滿足題目要求的特例,利用這個特例來解決問題.

以2022年高考數(shù)學新高考Ⅰ卷12題為例,解答這個題,有兩種構(gòu)造方法,一是構(gòu)造符合題目要求的一般性質(zhì),利用性質(zhì)解題;二是構(gòu)造滿足題目要求的特殊函數(shù)來解題.

1.根據(jù)此題目要求構(gòu)造出的一些函數(shù)性質(zhì)

性質(zhì)1:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱?f(x)=f(2a-x)?f(a-x)=f(a+x).

推論:f(x+a)是偶函數(shù)?f(x+a)=f(-x+a)?y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

性質(zhì)2:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱?f(a+x)+f(a-x)=2b?2b-f(x)=f(2a-x).

推論:f(x+a)是奇函數(shù)?f(-x+a)=-f(x+a),進而可得到y(tǒng)=f(x)的圖象關(guān)于(a,0)中心對稱.

性質(zhì)3:f(x)+f(x+a)=k(k為常數(shù)),y=f(x)的周期T=2a.

證明:構(gòu)造方程組,f(x)+f(x+a)=k,f(x+a)+f(x+2a)=k,兩式相減可得f(x+2a)=f(x),f(x)的周期T=2a.

性質(zhì)4:雙對稱出周期:若一個函數(shù)f(x)存在兩個對稱關(guān)系,則f(x)是一個周期函數(shù).

(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,0),及點(b,0)對稱,則函數(shù)f(x)是周期T=2|b-a|的周期函數(shù).

證明:f(x)=-f(2a-x),f(x)=-f(2b-x)?f(2a-x)=f(2b-x)?T=2|b-a|.

(2)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a及x=b對稱,則函數(shù)f(x)是周期T=2|b-a|的周期函數(shù).

證明:f(x)=f(2a-x),f(x)=f(2b-x)?f(2a-x)=f(2b-x)?T=2|b-a|.

(3)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱,且關(guān)于點(b,0)對稱,則函數(shù)f(x)是周期T=4|b-a|的周期函數(shù).

證明:f(x)=f(2a-x),f(x)=-f(2b-x)?f(2a-x)=-f(2b-x)?f(x)=f(4b-4a+x).

性質(zhì)5:已知函數(shù)f(x)及其導函數(shù)f′(x)的定義域為R.

(1)若f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱?f′(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱.

證明:若f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱,則f(a+x)=f(a-x),則f′(a+x)=-f′(a-x),所以f′(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱.

(2)若f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱?f′(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

證明:若f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱,則f(a+x)=2b-f(a-x),則f′(a+x)=f′(a-x),所以f′(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

推論1:若f(x)是奇函數(shù),則導函數(shù)f′(x)是偶函數(shù).

推論2:若f(x)是偶函數(shù),則導函數(shù)f′(x)是奇函數(shù).

性質(zhì)6:已知函數(shù)f(x)及其導函數(shù)f′(x)的定義域為R,若函數(shù)f(x)是周期為T的周期函數(shù),則其導函數(shù)f′(x)也是周期為T的周期函數(shù).

證明:若f(x+T)=f(x),則f′(x+T)=f′(x).

2.構(gòu)造方程組,將兩個抽象函數(shù)f(x),g(x)看成二元,消元分別得到f(x),g(x)各自的代數(shù)關(guān)系

( )

A.-21 B.-22

C.-23 D.-24

【解析】方法一:構(gòu)造方程組,結(jié)合性質(zhì),化同名函數(shù),尋找同名函數(shù)間的關(guān)系

①-②得f(x)+f(-2-x)=-2 ③,

由性質(zhì)2的推論知f(x)的圖象關(guān)于點(-1,-1)中心對稱.

所以g(2-x)=g(2+x),

兩式相減可得f(x)+f(x-2)=-2 ④,

由性質(zhì)3可知f(x)的周期T=4,

所以f(-x)=f(x),

所以f(x)為偶函數(shù),

（三）建立單親家庭學生檔案并進行個案追蹤。了解和掌握班級內(nèi)單親家庭子女人數(shù)，并熟悉掌握其家庭狀況、單親原因等，建立單親家庭學生檔案。學生工作者應加強對他們的學習、生活、心理、行為和家庭情況的了解、跟蹤，并詳加記錄。同時把每個單親家庭學生的教育責任到人，由班主任或任課教師或其他責任人負責其心理疏導、學習輔導、生活關(guān)照、行為矯正等，定期與家長聯(lián)系，掌握單親家庭學生在家中和社會上的情況。

此時也可由性質(zhì)4得f(x)的周期T=4,

由④知f(1)+f(1-2)=-2,

f(3)=f(-1)=f(1)=-1.

由f(0)+g(2)=5,得f(0)=1.

由f(0)+f(2)=-2,

得f(2)=-3,f(4)=f(0)=1,

方法二:構(gòu)造滿足題目要求的特殊函數(shù)

由方法一知f(x)的圖象關(guān)于點(-1,-1)中心對稱,

f(-x)=f(x),f(x)的周期T=4,

可得f(1)=-1,f(2)=-3,

f(3)=-1,f(4)=1,

方法三:根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解

若y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,

則g(2-x)=g(2+x),

因為f(x)+g(2-x)=5,

所以f(-x)+g(2+x)=5,

故f(-x)=f(x),

則f(x)為偶函數(shù).

由g(2)=4,f(0)+g(2)=5,

得f(0)=1.

由g(x)-f(x-4)=7,

得g(2-x)=f(-x-2)+7,

代入f(x)+g(2-x)=5,

得f(x)+f(-x-2)=-2,

則f(x)關(guān)于點(-1,-1)中心對稱,

所以f(1)=f(-1)=-1.

由f(x)+f(-x-2)=-2,f(-x)=f(x),

得f(x)+f(x+2)=-2,

所以f(x+2)+f(x+4)=-2,

故f(x+4)=f(x),f(x)的周期為4,

所以f(4)=f(0)=1.

由f(0)+f(2)=-2,

得f(2)=-3.

又f(3)=f(-1)=f(1)=-1,

( )

A.-3 B.-2

C.0 D.1

【解析】構(gòu)造方程組,將二元變量變?yōu)橐辉兞?解法較為簡單.

令y=1得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1),

則f(x+1)+f(x-1)=f(x),

則f(x+1)=f(x)-f(x-1),

兩式相加得f(x+3)=-f(x),

故f(x)的周期為6.

令x=1,y=0得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),

可得f(0)=2,

f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,

f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,

f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1,

f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1,

f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2,

3.構(gòu)造滿足題目條件的特例函數(shù),利用特例函數(shù)展開研究

( )

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

【解析】方法一:構(gòu)造滿足題目要求的函數(shù)

因為g(x)=f′(x),

且g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,

由性質(zhì)5可知f(x)的圖象關(guān)于點(2,b)中心對稱,

據(jù)此構(gòu)造函數(shù)f(x)=sinπx+b,x∈R,

則g(x)=f′(x)=πcosπx,

逐個檢驗選項,

可得B,C正確,故選BC.

由g(2+x)為偶函數(shù)可知g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,

因為g(x)=f′(x),

且g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,

由性質(zhì)5可知f(x)的圖象關(guān)于點(2,b)中心對稱,

綜上,函數(shù)f(x)與g(x)均是周期為2的周期函數(shù),

所以有f(0)=f(2)=b,

所以A錯誤;

f(-1)=f(1),f(4)=f(2),f(1)=f(2),

故f(-1)=f(4),

所以C正確;

所以B正確;

又g(1)+g(2)=0,

所以g(-1)+g(2)=0,

所以D錯誤,故選BC.

4.具有對稱中心的函數(shù)的極值點關(guān)于對稱中心對稱

【例4】(2022·全國新高考Ⅰ卷·10)已知函數(shù)f(x)=x3-x+1,則

( )

A.f(x)有兩個極值點

B.f(x)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心

D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線

【解析】因為f(x)=x3-x+1,

所以f′(x)=3x2-1,

所以f(x)有兩個極值點,

故A正確;

當x→-∞時,f(x)→-∞,

所以f(x)僅有一個零點,

故B錯誤;

又f(-x)=-x3+x+1,

則f(-x)+f(x)=2,

所以f(x)的圖象關(guān)于(0,1)中心對稱,

故C正確;

設切點P(x0,y0),

若y=2x是其切線,

該方程組無解,

故D錯誤,故選AC.

5.抽象函數(shù)由奇偶性構(gòu)造關(guān)系式

( )

【解析】因為f(x+1)是奇函數(shù),

由性質(zhì)2得f(-x+1)=-f(x+1).

由性質(zhì)2知f(x)的圖象關(guān)于(1,0)對稱,

又因為f(x+2)是偶函數(shù),

所以f(x+2)=f(-x+2),

f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,

由性質(zhì)4得函數(shù)f(x)的周期T=4|2-1|=4.

又f(1)=-f(1),

所以f(1)=0,f(0)=-f(2),f(3)=f(1),

即f(3)+f(0)=f(1)-f(2)=6,f(2)=-6,

解得a=-2,b=2,

所以f(x)=-2x2+2.

又函數(shù)f(x)的周期T=4,

6.綜述

在解決函數(shù)性質(zhì)類問題的時候,我們通?？梢越柚恍┒壗Y(jié)論,尋求解題的通性通法,進而達到簡便計算的效果.

探尋高考試題的解題思路、通法、規(guī)律是每一個高中數(shù)學教師必做的功課,但是絕大多數(shù)師生僅僅埋頭解題,陷于題海之中,往往因缺乏方法理論的學習研究而迷失正確的方向,為了改變這種狀況,我們應從數(shù)學方法理論與解題的結(jié)合上入手,試圖做到以數(shù)學方法理論指導解題探究,從而科學地提升解題能力,同時,通過解題研究更好地理解數(shù)學方法理論,兩者相得益彰.

解數(shù)學問題時,常規(guī)的思考方法是由條件到結(jié)論的定向思考,但有些問題按照這樣的思維方式來尋求解題途徑確實比較困難,甚至無從著手,在這種情況下,經(jīng)常要求我們改變思維方向,換一個角度思考,以找到一條繞過障礙的新途徑,構(gòu)造法就是這樣的手段之一.我們所說的利用函數(shù)思想、方程思想解題具體體現(xiàn)就是構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造方程,實際上就是構(gòu)造法的體現(xiàn).