作業(yè)的“精練”變式設(shè)計(jì)
——以微專題“解三角形中范圍(最值)”作業(yè)設(shè)計(jì)為例

杜海洋 李 平

(成都經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校)

隨著新課改在全國(guó)范圍內(nèi)的全面實(shí)施,“高效課堂”成為時(shí)代主流.為了使教學(xué)效果達(dá)到高效,課堂上的“精講”、作業(yè)的“精練”成為教學(xué)的追求目標(biāo).為了反饋課堂教學(xué)效果,檢驗(yàn)的手段“課后作業(yè)”成為至關(guān)重要的一環(huán),其中課后作業(yè)質(zhì)量的高低,即作業(yè)“精練”的設(shè)計(jì)就凸顯其重要性.

變式不僅是指問題的變式,而是泛指知識(shí)形成過程中的問題設(shè)計(jì);基本概念辨析型變式;定理、公式的深化變式,多證變式及變式應(yīng)用;例題、習(xí)題的一題多解、一法多用、一題多變、多題歸一等,其中課后作業(yè)中如何設(shè)置變式“問題”才能達(dá)到最終檢測(cè)目的,即變化中的“不變性”,筆者認(rèn)為作業(yè)設(shè)計(jì)的變式及思維“梯度”是變式設(shè)計(jì)的關(guān)鍵.在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中,解三角形是一個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn),也是高考的一個(gè)高頻考點(diǎn).在解三角形的題型中,主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,而在解三角形中涉及求面積、周長(zhǎng)、角等最值和取值范圍是命題的熱點(diǎn),也是重點(diǎn)、難點(diǎn).筆者在高三復(fù)習(xí)時(shí)通過微專題對(duì)本專題即解三角形的范圍(最值)的方法進(jìn)行優(yōu)化歸納,并給出針對(duì)性鞏固練習(xí),以期求得熱點(diǎn)、難點(diǎn)的突破.下面筆者以微專題“解三角形中范圍(最值)”作業(yè)設(shè)計(jì)為例,以饗讀者!

【作業(yè)題根設(shè)計(jì)】

作業(yè)“首題”的選擇是作業(yè)設(shè)計(jì)的核心,因?yàn)樗鸬匠猩蠁⑾碌淖饔?要為本節(jié)作業(yè)內(nèi)容開篇起到“引領(lǐng)”作用,俗話說“一個(gè)典型的事例勝過千萬句空洞的說教”,一是要回歸基本知識(shí),二是要體現(xiàn)基本方法.

【題根變式設(shè)計(jì)】

變式設(shè)計(jì)一般遵循學(xué)生的最近發(fā)展,尤其是在“題根”的基礎(chǔ)上對(duì)其條件、結(jié)論、結(jié)構(gòu)、方法等進(jìn)行“變式”,筆者認(rèn)為變式試題的條件和結(jié)論盡可能做到“螺旋式上升”的策略,讓學(xué)生在前面的基礎(chǔ)上“跳一跳,摘得到”.

【題根】(高考真題理)△ABC在內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.

(Ⅰ)求B;

(Ⅱ)若b=2,求△ABC面積的最大值.

【變式1】在△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

(Ⅰ)求A;

(Ⅱ)若BC=3,求△ABC的周長(zhǎng)的最大值.

(Ⅰ)求B;

(Ⅱ)若△ABC為銳角三角形,且b=2,求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.

【變式3】將變式2的第(Ⅱ)問變?yōu)?Ⅱ)若△ABC為銳角三角形,且c=1,求△ABC面積的取值范圍.

即通性通法出場(chǎng),目的進(jìn)一步強(qiáng)化解三角形的核心方法為將目標(biāo)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為角的函數(shù).有了化角意識(shí)可讓學(xué)生利用此法去解變式1即變式1,方法2:邊化角消參化單變量.

(Ⅰ)求角B的大小;

(Ⅱ)求cosA+cosB+cosC的取值范圍.

【設(shè)計(jì)意圖】(Ⅰ)問根據(jù)已知條件,利用余弦定理經(jīng)過較復(fù)雜的代數(shù)恒等變形求得a2+c2-b2=ac,對(duì)運(yùn)算能力要求較高;利用正弦定理邊化角,運(yùn)算簡(jiǎn)潔,是解三角形常用的方法,確定為最優(yōu)解;(Ⅱ)問可運(yùn)用多種方法,利用余弦定理角化邊代入化簡(jiǎn),運(yùn)算較為麻煩,其次直接使用三角恒等變換,將化為角的三角函數(shù)進(jìn)行求值,簡(jiǎn)潔明快,確定為最優(yōu)解.此訓(xùn)練題設(shè)計(jì)目的是讓學(xué)生對(duì)比解法,識(shí)別題型,建立解題“模式”.

(Ⅰ)求A;

(Ⅱ)若b=1,求c的取值范圍.

【設(shè)計(jì)意圖】此題考查解三角形的綜合應(yīng)用,能夠根據(jù)題干給出的信息選用合適的余弦定理公式是解題的第一個(gè)關(guān)鍵;根據(jù)三角形內(nèi)角A+B+C=π的隱含條件,結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及正弦定理,將問題轉(zhuǎn)化為求解含∠A的表達(dá)式的最值問題是解題的第二個(gè)關(guān)鍵,注意角的限制范圍.

【設(shè)計(jì)意圖】在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí),通法為把所求目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的函數(shù)關(guān)系,或化歸為邊的關(guān)系.題中若出現(xiàn)邊的一次式一般利用正弦定理,出現(xiàn)邊的二次式一般為“代數(shù)化”埋下伏筆,即坐標(biāo)系的運(yùn)用,拓展學(xué)生思維.

【答案及解析】

【題根解析】(Ⅰ)解法一:

因?yàn)閍=bcosC+csinB,

所以由正弦定理得

sinA=sinBcosC+sinCsinB.①

在△ABC中,A=π-(B+C),

所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB.②

由①和②得sinBsinC=cosBsinC.

因?yàn)閟inC≠0,所以sinB=cosB.

解法二:因?yàn)閍=bcosC+csinB,

所以由余弦定理的推論得

即a2+c2-b2=2acsinB,

由已知及余弦定理得

當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),等號(hào)成立,

則△ABC面積的最大值為

【變式1】【解析】(Ⅰ)在△ABC中,設(shè)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.

由正弦定理得a2-b2-c2=bc,

由余弦定得的推論得

(Ⅱ)由余弦定理得

a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc=9,

即(b+c)2-bc=9.

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí),等號(hào)成立,

【變式2】【解析】(Ⅰ)由正弦定理得

根據(jù)題意知A+B+C=π,

(Ⅱ)解法一:正弦定理消參化單角函數(shù)

所以△ABC的周長(zhǎng)

L=a+b+c

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,

解法二:圖形分析法

易知當(dāng)B為優(yōu)弧AC的中點(diǎn)即B1處時(shí),

△ABC的周長(zhǎng)和面積最大,

設(shè)△ABC的周長(zhǎng)為L(zhǎng),此時(shí)L=2×3=6,

當(dāng)△BAC為直角三角形時(shí),

【變式3】【解析】(Ⅱ)解法一:因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形,

由三角形面積公式得

解法二:由余弦定理得b2=a2+1-a.

因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形,

將b2=a2+1-a代入a2+b2-1>0得2a2-a>0,

所以b2+c2-a2>0,

將b2=a2+1-a代入b2+1-a2>0得a<2,

【作業(yè)變式設(shè)計(jì)】

【要點(diǎn)反思】

1.知識(shí)點(diǎn):解三角形的相關(guān)知識(shí),涉及到正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理及推論的應(yīng)用、三角形周長(zhǎng)、面積等最值(范圍)的求解問題.

2.解題思路運(yùn)用:常規(guī)方法涉及方法1基本不等式、方法2邊化角,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)求最值問題,其本質(zhì)為轉(zhuǎn)化化歸消參策略.

3.整個(gè)作業(yè)變式設(shè)計(jì)在題型和方法上采用螺旋式上升的策略,步步設(shè)卡,而不是一下套用所謂的巧法或“秒殺”,整個(gè)過程學(xué)生思維得到鍛煉,弄清問題的來龍去脈,知識(shí)生成得到很好的訓(xùn)練.

【體會(huì)】

作業(yè)是檢查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能掌握程度的一種必不可少的有效手段.在作業(yè)設(shè)計(jì)中,要面向全體學(xué)生,尊重個(gè)體差異,樹立分層遞進(jìn)的教學(xué)觀.在作業(yè)設(shè)計(jì)時(shí),要根據(jù)學(xué)生的不同層次需求設(shè)計(jì)不同的練習(xí),才能使學(xué)生在學(xué)習(xí)中達(dá)到事半功倍的效果.數(shù)學(xué)教與學(xué)的活動(dòng)不僅是對(duì)原題解法上的探求,更是在原題的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)解法或認(rèn)知的延伸與拓展,挖掘出更深刻的本質(zhì)與結(jié)論.變式教學(xué)與作業(yè)設(shè)計(jì)則都要能凸顯概念的本質(zhì),突出問題特征,揭示知識(shí)的關(guān)聯(lián),讓課堂教學(xué)效果更加高效.

近年的高考試題堅(jiān)持“新題不難,難題不怪”的命題方向,強(qiáng)調(diào)“注意通性通法,淡化特殊技巧”,多數(shù)高考試題能在課本或往年高考真題中找到“原型”,不少高考題就是對(duì)課本原題或往年高考真題的變形、改造及綜合.尤其在高考復(fù)習(xí)備考中,節(jié)奏快、時(shí)間緊、容量多、內(nèi)容跨度大、抽象性強(qiáng),在這樣的環(huán)境下,教師更是迫切需要提高課堂效率,實(shí)現(xiàn)高效課堂,不是簡(jiǎn)單地增加“刷題”量,而是需要教師對(duì)典型例題精心準(zhǔn)備,充分挖掘,利用變式教學(xué)和課后作業(yè)精心設(shè)置的“精練”,讓學(xué)生更好地理解問題的實(shí)質(zhì),從而實(shí)現(xiàn)觸類旁通,舉一反三,達(dá)到事半功倍的效果.