聚焦新高考“創(chuàng)新性”研究
——第二屆命題征集活動函數(shù)專題優(yōu)質(zhì)創(chuàng)新試題選登

(作者單位 姓名：廣西省南寧市第八中學(xué) 謝松興)

(作者單位 姓名：廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)汕尾學(xué)校 袁平紅)

(作者單位 姓名：江西省瑞金第一中學(xué) 謝小平)

(作者單位 姓名：河南省范縣第一中學(xué) 石同民)

(作者單位 姓名：廣州市南沙第一中學(xué) 周艷祖)

【原創(chuàng)創(chuàng)新試題組】

( )

【原創(chuàng)3】若對任意的0ex2+1lnx1-ex1+1lnx2成立,則實數(shù)a的最大值為________.

(Ⅰ)求角A的大小;

【答案詳解及創(chuàng)新分析】

【試題1】【解題思路】

所以lna-lnb+b>a,

即b-lnb>a-lna.

令f(x)=x-lnx,x∈(0,+∞),

當(dāng)x∈(1,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x∈(0,1)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)x=1時,f(x)有極小值,

且極小值為f(1)=1,

作出f(x)=x-lnx的大致圖象如圖所示.

因為b-lnb>a-lna,所以f(b)>f(a),

對于A選項,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

當(dāng)1>a>b>0時,

故A正確;

對于B,C選項,因為f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,

故B正確,C錯誤;

對于D選項,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

在(1,+∞)上單調(diào)遞增,對于0

總能找到b>1使f(b)>f(a)成立,

故D正確.

綜上,故選ABD.

【創(chuàng)新點分析】本題為多選題,是新高考改革新題型,考查“舉例問題”:比較三個式子的大小.數(shù)學(xué)學(xué)科的“舉例問題”設(shè)問形式靈活,要求考生根據(jù)題目給出的要求、性質(zhì)和定理等條件,從題干中獲取信息,整理信息,寫出符合題干要求的結(jié)論或具體實例,從而增加了試題的開放度.

從知識背景角度上看,本題綜合考查對數(shù)的圖象及其運算性質(zhì),利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,解題的關(guān)鍵點是通過已知條件,構(gòu)造函數(shù)f(x)=x-lnx,利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合不等式的性質(zhì)比較三個式子的大小,考查考生化歸與轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

(作者單位 姓名：廣西省南寧市第八中學(xué) 謝松興)

【試題2】【解題思路】

若設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),

由f(x)的最大值為2得A=±2,

所以滿足條件的函數(shù)解析式可以為

若設(shè)函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ),

所以滿足條件的函數(shù)解析式可以為

若設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+b

或f(x)=Acos(ωx+φ)+b,

在前兩種函數(shù)的基礎(chǔ)上調(diào)整系數(shù)A,b的大小,

使得最大值為2,比如A=±1,b=1或A=±4,b=-2,答案不唯一.

【創(chuàng)新點分析】本題屬于創(chuàng)新題型,在填空題位置設(shè)置開放性問題,答案不唯一.本題以三角函數(shù)的性質(zhì)為背景,反向考查三角函數(shù)的性質(zhì).傳統(tǒng)考查性質(zhì)的形式是給出函數(shù)的解析式,考查函數(shù)的性質(zhì),多以解答題形式設(shè)置,或者給出三角函數(shù)的圖象求解析式.本題與給出函數(shù)圖象求解析式有點類似,但是是以填空題的形式來呈現(xiàn),需要考生對三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)熟練掌握,同時考查問題的思維方式跟之前也有所不同,即綜合函數(shù)的性質(zhì)得解析式.

(作者單位 姓名：廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)汕尾學(xué)校 袁平紅)

【試題3】【解題思路】

由x1ex2-x2ex1>ex2+1lnx1-ex1+1lnx2,

得x1ex2-ex2+1lnx1>x2ex1-ex1+1lnx2,

即ex2(x1-elnx1)>ex1(x2-elnx2),

所以當(dāng)x∈(0,e)時,g(x)<0,即f′(x)<0,

即f(x)在(0,e)上單調(diào)遞減,

故實數(shù)a的最大值為e.

【創(chuàng)新點分析】題干設(shè)置簡潔精練,設(shè)問新穎.因為函數(shù)的單調(diào)性考查一般是給出的函數(shù)解析式中含參,求參數(shù)的取值范圍,而解答本題首先要找到本題考查的本質(zhì),即已知函數(shù)的單調(diào)性,再用子集觀點求參數(shù)的取值范圍.找本質(zhì)的關(guān)鍵是對題設(shè)的不等式進行變形實現(xiàn)同構(gòu),再構(gòu)造函數(shù)(當(dāng)下熱點),考查考生的函數(shù)與方程的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想,同時也很好地考查考生邏輯思維的縝密性,充分體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用.

(作者單位 姓名：江西省瑞金第一中學(xué) 謝小平)

【試題4】【解題思路】

因為acosB-bcosC=(c-a)cosB,

所以2acosB=bcosC+ccosB.

由正弦定理得

2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C),

因為sin(B+C)=sinA>0,

在△ABD中,由余弦定理得,

AB2+BD2-2AB·BD·cosB=AD2,

整理得4c2+a2-2ac=4.

解得a=2,c=1.

若選②,在△ABC中,

由余弦定理,得a2+c2-2accosB=b2,

即a2+c2-ac=3,

解得a=2,c=1.

【創(chuàng)新點分析】隨著舊高考向新高考過渡,新高考出現(xiàn)的新題型也會在舊高考中有所體現(xiàn),例如結(jié)構(gòu)不良問題,作為一種開放性試題,考查考生的分析理解能力和優(yōu)化選擇意識,是一種能夠很好地考查考生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的新題型.

(作者單位 姓名：河南省范縣第一中學(xué) 石同民)

【試題5】【解題思路】

∵B∈(0,π),∴sinB≠0,

(Ⅱ)解法一:反復(fù)運用余弦定理

設(shè)BD=x,AB=y,∠ABD=θ,則CB=2x.

在△ABC中,由余弦定理得,

AC2=CB2+AB2-2CB·AB·cos∠ABC,

即12=4x2+y2-2×2x·y·cos(π-θ), ①

CB2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB,

在△ABD中,由余弦定理得,

AD2=BD2+AB2-2BD·AB·cos∠ABD,

即3=x2+y2-2xycosθ.③

由③×2+①可得6x2+3y2=18,

將②代入上式可得y=2,x=1,

解法二:正弦定理+余弦定理

設(shè)BD=x,∠ABD=θ,

則CB=2x,∠ABC=π-θ.

在△ABC中,

在△ABD中,

在△ACD中,由余弦定理得,

CD2=AD2+AC2-2AD·AC·cos∠CAD,

∴CD=3,即x=1,

在△ABC中,

BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB,

解得AB=2或4(舍),

解法三:用向量方法解決三角問題

【創(chuàng)新點分析】第(Ⅰ)問中的條件以半開放式的形式呈現(xiàn),結(jié)合正弦定理與余弦定理,在三角形的邊角之間互化,考查考生解三角形中的必備知識與關(guān)鍵能力;第(Ⅱ)問要求考生敏銳捕捉條件中的重要信息,精準(zhǔn)作出圖形,創(chuàng)新條件的呈現(xiàn)方式,在解答的過程中,可以利用傳統(tǒng)的正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式來完成,也可以利用向量方法來解決,向量法解題在運算量方面更具優(yōu)越性,創(chuàng)新已知條件,從不同角度來分析題目,豐富了解題方法,也體現(xiàn)新高考的變化及趨勢.

(作者單位 姓名：廣州市南沙第一中學(xué) 周艷祖)