2022年高考甲卷理數(shù)20題的探究及背景分析

王東海

(安徽省合肥市肥東縣城關(guān)中學(xué))

1 真題呈現(xiàn)

設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)D(p,0),過(guò)F的直線交C于M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí),|MF|=3.

(Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當(dāng)α-β取得最大值時(shí),求直線AB的方程.

【分析】此題第(Ⅱ)小題涉及直線MN,AB的傾斜角,首先應(yīng)與直線的斜率聯(lián)系起來(lái),得出MN,AB的斜率的倍數(shù)關(guān)系,再考慮使用α-β的正切公式,即可求出tan(α-β)的最大值.除了這種代數(shù)法以外,我們還可嘗試使用幾何法去加以解決.

2 解法探究

【探究思路1】(Ⅰ)C的方程為y2=4x.

(Ⅱ)根據(jù)題意找到直線MN和AB的斜率的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

解法1(線參法):(Ⅱ)易得直線MN,AB的斜率存在.

如圖,設(shè)kMN=k1=tanα,kAB=k2=tanβ,

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)(y1>0,y2<0),

A(x3,y3),B(x4,y4)(y3<0,y4>0),

設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)T(m,0),

直線MN:y=k1(x-1),

設(shè)直線AB:y=k2(x-m),

則x3x4=m2,

則x2x4=4,

故k1=2k2,

而k2<0顯然不符合題意,

所以m=4,

【探求思路2】解法1運(yùn)算量較大,能否不設(shè)直線方程,而用點(diǎn)去表示直線從而求解此題呢?

解法2(點(diǎn)參法):令M(x1,y1),N(x2,y2),

A(x3,y3),B(x4,y4),

化簡(jiǎn)得4x-(y1+y2)y+y1y2=0,

因?yàn)橹本€MN過(guò)點(diǎn)(1,0),

代入得y1y2=-4.

同理MA:4x-(y1+y3)y+y1y3=0,

NB:4x-(y2+y4)y+y2y4=0.

將所過(guò)定點(diǎn)D(2,0)代入,

得y1y3=-8,y2y4=-8,

=2(y1+y2),

代入直線AB:4x-(y3+y4)y+y3y4=0,

【探究思路3】觀察到本題出現(xiàn)了直線的傾斜角,我們聯(lián)想到直線的參數(shù)方程,從而考慮用角作為參數(shù)來(lái)處理該題.

代入拋物線C得(tsinα)2=4(1+tcosα),

即sin2α·t2-4cosα·t-4=0,

設(shè)M,N兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,

將其與拋物線C:y2=4x聯(lián)立,

則t1sinx·t2sinx=-4,

下同解法1.

【探求思路4】觀察圖中出現(xiàn)的4條直線中,其中3條經(jīng)過(guò)定點(diǎn),因此可以考慮設(shè)過(guò)T(m,0)的直線系方程,避免多次聯(lián)立.

解法4(直線系法):由題意得kMN=tanα,kAB=tanβ,

設(shè)過(guò)點(diǎn)T(m,0)的直線系方程為y=k(x-m).

設(shè)直線系方程與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2),

當(dāng)m=2時(shí),yMyA=-8,yNyB=-8,

故yAyB=-16.

下同解法1.

【探求思路5】該題除去坐標(biāo)法外,還可考慮幾何法處理,從幾何圖形觀察知,拋物線內(nèi)接四邊形像一個(gè)蝴蝶形狀,可考慮用蝴蝶定理加以解決.

【引理1】如圖,設(shè)D為圓內(nèi)弦PQ的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作弦MA,NB,設(shè)MN,AB分別交弦PQ所在直線于點(diǎn)X,Y,則D是XY的中點(diǎn).另圓可以改為任意圓錐曲線,結(jié)論亦成立.

解法5(幾何法):如圖,過(guò)點(diǎn)D作直線DQ垂直x軸,交MN于點(diǎn)X,交AB于點(diǎn)Y,交拋物線于P,Q兩點(diǎn),設(shè)直線AB交x軸于點(diǎn)T.

因?yàn)镻D=QD,由蝴蝶定理可知XD=YD.

要使α-β最大,則β為銳角,

下證AB過(guò)定點(diǎn)T的坐標(biāo).

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),

由解法1知,y3=2y2,y4=2y1,y1y2=-4,

即AB過(guò)定點(diǎn)T(4,0),

故DT=4-2=2,

從而tanα=2tanβ.

下同解法1.

【探求思路6】觀察到若延長(zhǎng)直線MN,AB,注意其交點(diǎn),能否用交點(diǎn)的軌跡去處理?

解法6(軌跡法):設(shè)MN,AB交于點(diǎn)J(x,y),

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),

由解法2知,

直線MN:4x-(y1+y2)y+y1y2=0 ①,

直線AB:4x-(y3+y4)y+y3y4=0,

即4x-2(y1+y2)y+4y1y2=0 ②,

①×2-②,得4x+2y1y2-4y1y2=0,

所以4x=2y1y2=-8,即x=-2,

故交點(diǎn)J的軌跡是直線x=-2.

又由解法5知點(diǎn)T(4,0),

令J(-2,y0),

故kMN=2kAB.下同解法1.

3 背景分析

通過(guò)對(duì)這道考題的解答,并觀察此題,發(fā)現(xiàn)圖形呈蝙蝠狀,故稱其為蝙蝠模型.如解法6中的圖,再仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)四邊形MNAB是拋物線的內(nèi)接四邊形,那么由極點(diǎn)極線的知識(shí)可知,直線MN和直線AB的交點(diǎn)J必在點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的極線上,同理另一組對(duì)邊AN和BM延長(zhǎng)線的交點(diǎn)I也在極線上,而點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的極線方程為0·y=2(2+x),即x=-2,極線與x軸交于點(diǎn)H.

也就是說(shuō),這道解析幾何高考題是極點(diǎn)極線的調(diào)和點(diǎn)列這一性質(zhì)的巧妙應(yīng)用,具有一定的區(qū)分度.如果在考前能夠提前掌握它,則在考試中可以很快為我們指明解題思路,提高我們的解題效率和準(zhǔn)確率.另外2021年全國(guó)乙卷數(shù)理第21題求三角形面積,2020年全國(guó)Ⅰ卷數(shù)理第21題證明直線過(guò)定點(diǎn)都是以極點(diǎn)極線為背景進(jìn)行命制的.因此啟發(fā)教師對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生可以在平時(shí)教學(xué)中多滲透一些這方面的知識(shí),有助于提高他們的探究能力和思維的深刻性.

4 拓展探究

細(xì)品解題過(guò)程,筆者發(fā)現(xiàn)第(Ⅱ)問(wèn)的解答耐人尋味,值得探究.于是筆者思考,對(duì)于一般性的拋物線,當(dāng)將點(diǎn)D的坐標(biāo)一般化時(shí),會(huì)推導(dǎo)出什么結(jié)論呢?若將焦點(diǎn)F變成x軸上其他定點(diǎn)呢?如果背景的圓錐曲線換成橢圓、雙曲線,是否仍有類似的結(jié)論呢?基于以上思考,筆者探究得到如下結(jié)論:

證明:設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)(y1>0,y2<0),

A(x3,y3),B(x4,y4)(y3<0,y4>0),

由拋物線的性質(zhì)知x1·x2=n2,

x1·x3=m2,x4·x2=m2,

結(jié)論1是結(jié)論2的特殊情況,證明方法類似,這里略去.

【引理2】若過(guò)點(diǎn)S(n,0)的直線與拋物線y2=2px(p>0)交于點(diǎn)M,N,點(diǎn)D(m,0),直線MD,ND分別交拋物線于另一點(diǎn)A,B.又AB交x軸于點(diǎn)T,且點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的極線l交x軸于點(diǎn)H,則H,S,D,T四點(diǎn)成調(diào)和點(diǎn)列,即HS·DT=HT·SD(如圖).

證明:因?yàn)辄c(diǎn)D(m,0)對(duì)應(yīng)的極線方程為0·y=p(m+x),即為x=-m,故點(diǎn)H(-m,0).

故HS·DT=HT·SD.

【引理3】若過(guò)點(diǎn)S(n,0)的直線與圓錐曲線交于點(diǎn)M,N,點(diǎn)D(m,0),直線MD,ND分別交圓錐曲線于點(diǎn)A,B.又AB交x軸于點(diǎn)T,且點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的極線l交x軸于點(diǎn)H,則H,S,D,T四點(diǎn)成調(diào)和點(diǎn)列,即HS·DT=HT·SD.證明方法類似引理2,略.

由引理3知H,S,D,T四點(diǎn)成調(diào)和點(diǎn)列,

即HS·DT=HT·SD.

設(shè)T(x,0),

因?yàn)橹本€MN,AB交極線于點(diǎn)J,

當(dāng)定點(diǎn)不在x軸上,而是拋物線內(nèi)其他定點(diǎn)時(shí),是否仍有點(diǎn)T和kAB和kMN比值為定值呢?感興趣的讀者可以進(jìn)一步進(jìn)行研究.

5 變式探討

我們根據(jù)上面的拓展推廣,還可以命制以下變式題型:

【變式1】已知拋物線y2=4x,x軸上有定點(diǎn)S(2,0),D(4,0),過(guò)定點(diǎn)S作直線MN交拋物線于M,N兩點(diǎn),連接MD,ND交拋物線于A,B兩點(diǎn),又設(shè)MN,AB的傾斜角分別為α,β,當(dāng)α-β取得最大值時(shí),求直線AB的方程.

【變式2】已知拋物線y2=4x,拋物線內(nèi)有定點(diǎn)S(2,2),D(4,2),過(guò)定點(diǎn)S作直線MN交拋物線于M,N兩點(diǎn),連接MD,ND交拋物線于A,B兩點(diǎn),又設(shè)MN,AB的傾斜角分別為α,β,當(dāng)α-β取得最大值時(shí),求直線AB的方程.

【變式5】已知圓x2+y2=25,圓內(nèi)有定點(diǎn)S(2,2),D(4,2),過(guò)定點(diǎn)S作直線MN交圓于M,N兩點(diǎn),連接MD,ND交圓于A,B兩點(diǎn),又設(shè)MN,AB的傾斜角分別為α,β,當(dāng)α-β取得最大值時(shí),求直線AB的方程.我們還可以在雙曲線中進(jìn)行變式題的命制,限于篇幅,這里不再贅述.

6 結(jié)束語(yǔ)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,時(shí)常會(huì)遇到各種各樣的問(wèn)題,這時(shí)我們不能滿足于將問(wèn)題解決了就萬(wàn)事大吉,而是要進(jìn)一步進(jìn)行探究,既可以進(jìn)行解法探究,也進(jìn)行拓展研究和變式研究.在教學(xué)中,要為學(xué)生提供探究的機(jī)會(huì),讓學(xué)生在探究中體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂(lè),讓探究成為一種習(xí)慣.