重過程，促反思：“二元一次方程”的教學(xué)案例

江蘇省如皋初級(jí)中學(xué)

陸智紅

數(shù)學(xué)教學(xué)的過程教育是關(guān)注學(xué)生體會(huì)知識(shí)的發(fā)生過程，在探究學(xué)習(xí)的過程中積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)思考的方法，提升綜合素質(zhì).因此,數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注結(jié)果，更要兼顧過程.過程教育是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的動(dòng)力，通過過程學(xué)習(xí)才能形成全面的認(rèn)識(shí)，真正讓學(xué)習(xí)發(fā)生.在日常教學(xué)中普遍存在過程教育不夠充分，匆匆忙忙展示結(jié)果的現(xiàn)象，導(dǎo)致學(xué)生的認(rèn)識(shí)不全面，學(xué)生的知識(shí)遷移能力弱等問題.筆者在教學(xué)中也在不斷思考和實(shí)踐過程教育，經(jīng)過不斷的反思和實(shí)踐，初步形成了一點(diǎn)自己的認(rèn)識(shí).本文以“二元一次方程”為例，與大家分享本課的教學(xué)設(shè)計(jì)，供大家討論交流.

1 教學(xué)實(shí)錄

環(huán)節(jié)1：發(fā)現(xiàn)和提出問題的過程——明確研究對(duì)象.

師：我們學(xué)習(xí)過一元一次方程的應(yīng)用，同學(xué)們學(xué)會(huì)了在實(shí)際問題中應(yīng)用一元一次方程解決問題，那么我們還能從實(shí)際的生活問題中抽象出其他的應(yīng)用形式嗎？大家思考并討論下面的問題1.

問題1小明要到郵局寄信，一共需要3元8角的郵費(fèi)，小明現(xiàn)在有一些面額是6角和8角的郵票，請(qǐng)問他用這兩種郵票，一共需要多少張才能湊夠郵資？

師：首先這個(gè)問題我們需要解決幾個(gè)未知量？你能從中找到幾個(gè)等量關(guān)系？

生1：需要解決面額是6角和面額是8角的郵票張數(shù)這兩個(gè)未知量，其中有一個(gè)等量關(guān)系，面額為6角的郵票張數(shù)乘0.6與面額為8角的郵票張數(shù)乘0.8的和為3.8元.

師：很好，我們找到了等量關(guān)系，那么能否根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系列出我們所熟悉的一元一次方程呢？

生2：有兩個(gè)未知數(shù)，不能列出一元一次方程.

師：如果將面額為6角和面額為8角的郵票的張數(shù)分別設(shè)為x與y，那么可以列出一個(gè)什么樣的方程呢？

生3：0.6x+0.8y=3.8.

師：正確.這說明我們從這個(gè)生活問題中構(gòu)建了含有兩個(gè)未知數(shù)的方程.事實(shí)上，這樣的情景還有許多，如，根據(jù)課本的前言內(nèi)容能列出方程2x+1.2y=10.8；還有方程2a=3b+20也在很多生活場景中可以使用.

師：看來一元一次方程不能應(yīng)用的場景中，含有兩個(gè)未知數(shù)的方程也有非常廣泛的用途.那么就需要我們?nèi)パ芯窟@樣的方程有什么特征？在什么樣的場景下可以使用？該如何求解呢？這節(jié)課我們就要來研究這些問題(揭示問題).

環(huán)節(jié)2：認(rèn)識(shí)二元一次方程的特征活動(dòng)——形成二元一次方程的概念.

師：請(qǐng)問方程0.6x+0.8y=3.8有哪些特點(diǎn)？

生4：這個(gè)方程有兩個(gè)特點(diǎn).第一，有兩個(gè)未知數(shù)；第二，含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都為1.

生5：這個(gè)方程左右兩邊都是整式.

師：很好！那么方程2x+1.2y=10.8是否具備這樣的特點(diǎn)？還有方程2a=3b+20呢？

生6：它們都具備這幾個(gè)特點(diǎn).

師：好的，那么我們給這樣的方程下一個(gè)定義——含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都為1的方程叫做二元一次方程.就像0.6x+0.8y=3.8，2x+1.2y=10.8，2a=3b+20這些方程一樣.

師：很好！那么一元一次方程和二元一次方程的解有什么區(qū)別呢？

生9：一元一次方程只有一個(gè)未知數(shù)，所以解也是一個(gè)數(shù)；二元一次方程含有兩個(gè)未知數(shù)，所以解也是一對(duì)，而且不唯一.

師：觀察得很仔細(xì).方程的形式變了，方程的解以及個(gè)數(shù)自然也發(fā)生了變化.

環(huán)節(jié)3:探索解方程的過程——形成解二元一次方程的思想.

師：怎樣解二元一次方程0.6x+0.8y=3.8？如果把x當(dāng)成已知數(shù)，把該方程看作一元一次方程，可以求y這個(gè)未知數(shù)嗎？

生10：可以.

師：那反過來，把y當(dāng)成已知數(shù)，可以求解x這個(gè)未知數(shù)嗎？

生10：當(dāng)y是已知數(shù)時(shí)，這就變成了關(guān)于x的一元一次方程，所以可以求x的值.

師：很好.那么根據(jù)方程0.6x+0.8y=3.8，請(qǐng)嘗試完成以下習(xí)題.

(1)用含有x的代數(shù)式表示y；

(2)當(dāng)x分別為0，1，2，3，4，5，6時(shí)，請(qǐng)求出相應(yīng)y的值；

(3)寫出方程0.6x+0.8y=3.8的七個(gè)解.

學(xué)生思考答題.

師：哪位同學(xué)來回答第(1)問？

師：第(2)問哪位同學(xué)來接著回答？

師：好，第(3)問誰來？

師：好的，那么方程0.6x+0.8y=3.8一共有多少個(gè)解呢？

生14：有無數(shù)個(gè)解.

師：其中有幾個(gè)解是符合問題1的條件？

師：這樣，一開始的問題就解決了.一共需要面額為6角和8角的郵票分別為1張和4張，或者5張和1張.

在方程0.6x+0.8y=3.8中，能不能用含有y的代數(shù)式來表示x呢？應(yīng)該如何求解？

生16：計(jì)算的方法和剛才是一樣的.

師：那么我們回顧一下，解二元一次方程0.6x+0.8y=3.8一共有哪幾個(gè)步驟？

生17：先將要求的未知數(shù)用含有另一未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，接著由一個(gè)未知數(shù)的值求出另一個(gè)未知數(shù)相應(yīng)的值，最后寫出方程的解.

師：很好.那能不能歸納出一個(gè)普遍適用的解二元一次方程的步驟？

生18：一共三個(gè)步驟.第一步，表示出含有未知數(shù)的代數(shù)式；第二步，求出兩個(gè)未知數(shù)相對(duì)應(yīng)的值；第三步，寫出方程的解.

師：總結(jié)得很好.其實(shí)解方程時(shí)采用了化歸思想，也就是將二元一次方程化為一元一次方程，用三個(gè)字概括求解過程也就是解、代、寫.

環(huán)節(jié)4:參與反思提升的活動(dòng)——總結(jié)研究內(nèi)容和方法.

(1)教師通過思維導(dǎo)圖(如圖1)的方式將本課的研究方法進(jìn)行了圖示和總結(jié).

圖1

(2)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)交流，認(rèn)識(shí)到研究的方法和二元一次方程在實(shí)際生活中的運(yùn)用，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，積累利用方程解決問題的經(jīng)驗(yàn).

2 教學(xué)說明

本課中不僅帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)了二元一次方程的概念，還引導(dǎo)學(xué)生探究了解二元一次方程的方法，在學(xué)習(xí)過程中滲透了數(shù)學(xué)的化歸思想，使學(xué)生能將方程的知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問題中，建構(gòu)模型，解決具體問題.通過教師的引導(dǎo)和總結(jié)，學(xué)生總結(jié)出解二元一次方程的基本步驟，并反思內(nèi)化，提升了認(rèn)識(shí).整個(gè)學(xué)習(xí)過程充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，學(xué)生在自主探究中積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升了探究的能力.通過教學(xué)，實(shí)現(xiàn)了利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系的教學(xué)目標(biāo)，落實(shí)了學(xué)科的核心素養(yǎng).本課將重點(diǎn)放在列方程和解方程的過程中，以學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，鼓勵(lì)引導(dǎo)學(xué)生自主解決，提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)力.

以上教學(xué)充分體現(xiàn)了關(guān)注過程教育的重要性，讓學(xué)生充分體驗(yàn)知識(shí)的產(chǎn)生過程.同時(shí)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，讓學(xué)生感悟到二元一次方程在現(xiàn)實(shí)世界中的運(yùn)用，體會(huì)到二元一次方程解的不唯一性，由具體到抽象，實(shí)現(xiàn)了認(rèn)識(shí)的升華，體現(xiàn)了過程教育的價(jià)值.