構(gòu)建數(shù)學(xué)生長平臺(tái) 讓生長數(shù)學(xué)水到渠成

江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校

杜成智 劉黎銘

近期閱讀了卜以樓老師的《生長數(shù)學(xué)：卜以樓初中數(shù)學(xué)教學(xué)主張》以及刊登在2021年第2期《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》上潘紅玉編委對(duì)卜以樓老師的專訪文章《生長數(shù)學(xué)：新時(shí)代數(shù)學(xué)教育的行為自覺——訪本刊編委卜以樓老師》，感觸頗深.

《生長數(shù)學(xué)》是卜以樓老師幾十年教育思想的集大成，書中提出生長數(shù)學(xué)是對(duì)教育本質(zhì)的回歸，生長數(shù)學(xué)凸顯教育價(jià)值、聚焦核心素養(yǎng)、營造思維必然、創(chuàng)設(shè)意識(shí)喚醒、培育學(xué)習(xí)“靜”界.筆者在一線教學(xué)中，深深體會(huì)到生長數(shù)學(xué)就是讓數(shù)學(xué)生長化、可視化、藝術(shù)化，讓數(shù)學(xué)知識(shí)“看得見”，“數(shù)學(xué)活動(dòng)”摸得著，“數(shù)學(xué)思維”帶得走，讓學(xué)生回歸數(shù)學(xué)核心、數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)素養(yǎng).

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)以學(xué)生為主體，因勢利導(dǎo)，順勢而為，構(gòu)建數(shù)學(xué)生長平臺(tái)，讓學(xué)生走進(jìn)生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)世界，在生動(dòng)的教育情境中生成知識(shí)技能，讓生長數(shù)學(xué)水到渠成.

1 依托課本習(xí)題，構(gòu)建生長平臺(tái)

教材中的例、習(xí)題是經(jīng)過編者反復(fù)篩選、精心設(shè)計(jì)而來，有些題目看似淺顯，實(shí)則蘊(yùn)含豐富，只要運(yùn)用得當(dāng)，深入淺出，引導(dǎo)學(xué)生從舉一反一到舉一反三，內(nèi)化思想，可以起到以一當(dāng)百的效果.

圖1

例1(蘇科版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第57頁第5題)已知：如圖1，AB=AC,DB=DC,點(diǎn)E在AD上.求證：EB=EC.

在學(xué)習(xí)了線段垂直平分線后，給出了上面的題目.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，教師巡視，巡視中發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生都會(huì)證明，使用的方法是——根據(jù)AB=AC，DB=DC，AD=AD，先證△ABD≌△ACD(SSS)，得到∠BAD=∠CAD,再證△ABE≌△ACE(SAS)，就可得到EB=EC.教師把學(xué)生的這種方法投影展示出來進(jìn)行分析，并讓學(xué)生討論這種方法好不好.學(xué)生議論紛紛，大部分都認(rèn)可這種方法，覺得蠻好的.(因?yàn)樗麄円彩沁@樣做的.)

但也有部分學(xué)生提出了異議，教師請(qǐng)其中一位學(xué)生給予說明.這位學(xué)生認(rèn)為上面的方法太麻煩了，完全可以不用證全等.不少學(xué)生覺得不可思議，而該生給出了如下證明.

圖2

證明：如圖2，連接BC,因?yàn)锳B=AC，所以點(diǎn)A在BC的垂直平分線上.同理，點(diǎn)D在BC的垂直平分線上.

故AD是BC的垂直平分線.

又因?yàn)辄c(diǎn)E在AD上，所以EB=EC.

教師詢問學(xué)生，這種證明方法行不行？并讓學(xué)生討論上述證法的依據(jù)是什么.

不少學(xué)生覺得很驚奇，這個(gè)方法好簡單，但就是有點(diǎn)不太理解.教師讓那位學(xué)生講解他的思路，并解釋是怎么想到的.該生說：主要是在學(xué)了“線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上”這兩個(gè)定理后想到的，本題只要證明了點(diǎn)E在線段BC的垂直平分線上，就可以得到EB=EC.這為證明兩條線段相等提供了新的方法，以后只要符合這種條件的就不需要再證全等了[1].

聽了他的講解，大家都認(rèn)為第二種方法很妙，不由得為他鼓起掌來.該生也融入了其中，興奮地又說道，可以把這道題目中的已知和結(jié)論分別編號(hào)為：①AB=AC；②DB=DC,點(diǎn)E在AD上；③EB=EC.如果把結(jié)論③與條件①②中的任意一個(gè)互換，仍然可以運(yùn)用同樣的方法解決.學(xué)生都躍躍欲試.

比如，已知：如圖2，③EB=EC,②DB=DC,點(diǎn)E在AD上.求證：①AB=AC.

學(xué)生思考后，選擇一名之前運(yùn)用全等證明的學(xué)生口答.

證明：因?yàn)镋B=EC，所以點(diǎn)E在BC的垂直平分線上.同理，點(diǎn)D在BC的垂直平分線上.

故DE是BC的垂直平分線.

又因?yàn)辄c(diǎn)A在DE上，所以AB=AC.

全班報(bào)以熱烈的掌聲.

評(píng)析：在例題的選擇上，首先要營造聯(lián)想的自然性，問題的起點(diǎn)要低，要讓大部分學(xué)生“想得到”.例1是在學(xué)習(xí)“全等”與“線段的垂直平分線”后設(shè)置的一道題目，容易入手，但真正能運(yùn)用線段垂直平分線的相關(guān)定理解題的學(xué)生是少數(shù).此時(shí)可以因勢利導(dǎo)，采用“兵教兵”“兵助兵”的方法達(dá)到“想得妙”“想得透”,從而達(dá)到數(shù)學(xué)的共同生長.

2 精設(shè)有效提問，構(gòu)建生長平臺(tái)

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，針對(duì)學(xué)生探索環(huán)節(jié)的問題設(shè)計(jì)必不可少，它可以引領(lǐng)學(xué)生及時(shí)思考和探究.因此，依據(jù)教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)，精設(shè)有效問題，加強(qiáng)變式訓(xùn)練，讓學(xué)生在探索和分析的過程中，逐步提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)[2].

在教學(xué)“勾股定理的應(yīng)用(2)”這一內(nèi)容時(shí)，可以設(shè)計(jì)以下環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究.

例2如圖3，已知△ABC為等邊三角形，其邊長為6，求△ABC的面積.

圖3

圖4

此例作邊BC的高AD便可解決.為了達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生遷移運(yùn)用知識(shí)的目的，筆者設(shè)計(jì)了以下變式訓(xùn)練.

變式1如圖4，已知△ABC中，AB=AC=17，BC=16，求△ABC的面積.

通過變換題設(shè)將等邊三角形轉(zhuǎn)換為等腰三角形，實(shí)現(xiàn)了特殊到一般的過渡，由于變式1與例2解法相似，學(xué)生解起來也不太費(fèi)勁.在引領(lǐng)學(xué)生小結(jié)歸納時(shí)，可以借助以下“問題串”來激活學(xué)生的思維.

問題1請(qǐng)分析例2和變式1的共同點(diǎn)，在解題的過程中都運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？

(這兩個(gè)問題都是通過作一條邊的高來求解的，也同時(shí)運(yùn)用了等腰三角形的“三線合一”定理以及勾股定理解決問題.)

問題2從解題策略分析可得“求等邊三角形的面積僅需找出三角形的邊長”，那么求等腰三角形的面積時(shí)，需要知道哪些條件呢？

問題3還可以通過哪些條件去求三角形的面積？

問題4如果將變式1題設(shè)中的“AB=AC=17，BC=16”變?yōu)椤啊鰽BC的周長為50，AB=AC，且其底邊的高為15”，能否求出該等腰三角形的面積？

圖5

變式2如圖5，已知△ABC中，AD⊥BC，AB=15，AD=12，AC=13，求△ABC的周長及面積.

變式3如圖5，已知△ABC中，AB=15，AD=12，BD=9,AC=13，求△ABC的周長及面積.

變式4分別以△ABC的三條邊AB，AC，BC為直徑向外作半圓，它們的面積分別為S1，S2和S3，且S1=S2+S3，試判斷△ABC的形狀.

評(píng)析：以上一系列變式訓(xùn)練，由易到難，從特殊到一般，通過改變條件或結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的深層次探究意識(shí)和自主探究精神，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用勾股定理找到解決問題的路徑；同時(shí)借助階梯式問題設(shè)計(jì)，進(jìn)一步提升學(xué)生的應(yīng)用能力和巧借“數(shù)形結(jié)合”與“轉(zhuǎn)化”思維解決問題的能力；借助解決一道題延伸到一類題的解題策略，拓展學(xué)生解決問題的思路，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)，凸顯“以少勝多”的優(yōu)勢，達(dá)到融會(huì)貫通的效果[3].

總之，教學(xué)的目的是為了學(xué)生的不斷成長，以學(xué)生的終身發(fā)展為導(dǎo)向.在教學(xué)中構(gòu)建前后一致、邏輯連貫、一以貫之的生長平臺(tái)，讓學(xué)生通過自身的努力探究，掌握數(shù)學(xué)核心知識(shí)，讓整個(gè)學(xué)習(xí)過程變得更有韻味.學(xué)生在這樣的活動(dòng)中逐步學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)、學(xué)會(huì)發(fā)明，最終得以發(fā)展，讓數(shù)學(xué)生長水到渠成.