關(guān)注“構(gòu)造思想”在解題中的活用

張文景

江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué)

數(shù)學(xué)中的“構(gòu)造思想”，是指在觀察、分析的基礎(chǔ)上，靈活構(gòu)造適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，進(jìn)而找出解決問題的方法，其具有直觀性、靈活性、構(gòu)造性、可行性和思維的多樣性等特點(diǎn).在解題教學(xué)中，有意識地加強(qiáng)學(xué)生對“構(gòu)造思想”的理解與運(yùn)用，不僅有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，而且有利于拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力[1].

1 構(gòu)造等差數(shù)列，巧解題

評注：本題求解關(guān)鍵在于三點(diǎn).一是對數(shù)列遞推式“取倒數(shù)”變形；二是根據(jù)等差數(shù)列的定義，靈活構(gòu)造等差數(shù)列；三是靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，巧解題.

2 構(gòu)造等比數(shù)列，巧解題

例2已知數(shù)列{an}中，a1=1,an=2an-1+3(n≥2，且n∈N*)，求an.

于是，數(shù)列{an+3}是首項(xiàng)為4，且公比為2的等比數(shù)列.

所以，可得an+3=4·2n-1=2n+1.

故所求an=2n+1-3.

評注：上述求解的關(guān)鍵是先利用“同加”變形，構(gòu)造等比數(shù)列；再靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，巧解題.

3 構(gòu)造函數(shù)，巧解題

處理函數(shù)與不等式的交匯問題時，若題設(shè)中給出了與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式，則往往需要考慮導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，先靈活構(gòu)造新函數(shù)，再根據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性加以巧解.

例3已知f(x)為定義在(-∞,+∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)

A.f(2)>e2f(0),f(100)

B.f(2)e100f(0)

C.f(2)>e2f(0),f(100)>e100f(0)

D.f(2)

從而，可得f(2)>e2f(0),f(100)>e100f(0).

故答案選C.

評注：從目標(biāo)問題出發(fā)，通過觀察各選項(xiàng)所給不等式的外在結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，很容易想到構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解決問題.

4 構(gòu)造向量，巧解題

評注：上述解法中需關(guān)注兩點(diǎn)：一是如何根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，靈活構(gòu)造向量；二是利用向量不等式求解最值問題時，必須具體考查不等式取等號的條件是什么.

5 構(gòu)造直角三角形，巧解題

處理有關(guān)解三角形的問題時，我們往往關(guān)心的是正、余弦定理在解題中的靈活運(yùn)用.實(shí)際上，有不少這樣的解三角形問題，往往可通過構(gòu)造直角三角形巧妙獲解[2].

圖1

評注：①結(jié)合AB=AC或∠ADC=45°，本題應(yīng)作BC邊上的高；②本題如果不作輔助線，則應(yīng)綜合運(yùn)用正、余弦定理解題，整個過程相對較繁！

6 構(gòu)造直線和圓，巧解題

一般地，設(shè)d表示圓心到直線的距離，r表示圓的半徑，則直線與圓有公共點(diǎn)(即相切或相交)?d≤r.靈活運(yùn)用這一結(jié)論，可順利解決許多貌似與直線和圓無關(guān)的數(shù)學(xué)問題，往往巧妙之極，真的令人拍案叫絕！

例6(2014·浙江卷)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值是______．

評注：本題結(jié)合直線方程ax+by+c=0和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2的外在結(jié)構(gòu)特征，很容易想到利用已知方程的幾何意義，去構(gòu)造直線和圓，巧解題.

7 構(gòu)造特殊的幾何體，巧解題

由于長方體和正方體是特殊的立體圖形，它們均具有許多特殊的性質(zhì)，所以分析、解決有關(guān)三棱錐(即四面體)的問題時，往往可通過構(gòu)造長方體或正方體加以巧妙求解.

圖2

不難發(fā)現(xiàn)，關(guān)注“構(gòu)造思想”在解題中的靈活運(yùn)用，有利于等價(jià)轉(zhuǎn)化目標(biāo)問題，有利于變換角度看透問題的本質(zhì)，有利于培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象方面的核心素養(yǎng)[3]！