創(chuàng)新解題方法 培養(yǎng)創(chuàng)新能力
——以一道比較大小的選擇壓軸題為例

操厚亮

湖北隨州二中

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出“四能”,即發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力的總目標(biāo).數(shù)學(xué)中的創(chuàng)新往往始于問題，發(fā)現(xiàn)問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)家們常說：發(fā)現(xiàn)問題往往比結(jié)論更重要.因此，教師應(yīng)適時(shí)、適度引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出一些數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而分析和解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和創(chuàng)新能力.

1 試題呈現(xiàn)

A.a

C.a

2 觀察發(fā)現(xiàn)問題，不斷創(chuàng)新解法，培養(yǎng)創(chuàng)新能力

2.1 觀察發(fā)現(xiàn)1

觀察四個(gè)數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)0.1這個(gè)數(shù)高頻出現(xiàn)，可以嘗試構(gòu)造函數(shù)，自變量x在包含0.1的一個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果這些函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)大小關(guān)系確定，那么在x=0.1處的函數(shù)值大小關(guān)系也確定.這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的一種共性與個(gè)性的關(guān)系，一般與特殊的數(shù)學(xué)思想方法.

解法一：構(gòu)造函數(shù)+放縮法.

故d(0.1)-b(0.1)>d(0)-b(0)=0,即d>b.

f′(x)=ex(cos2x-sin 2x)

=ex(-sin2x-sin 2x+1).

設(shè)g(x)=x-sinx,則g′(x)=1-cosx≥0,從而g(x)=x-sinx為增函數(shù).

所以x∈[0,0.1]時(shí)，g(x)≥g(0)=0,即x≥sinx.

故f′(x)≥ex(-x2-2x+1)=ex[-(x+1)2+2],當(dāng)x∈[0,0.1]時(shí)f′(x)>0,f(x)=excos2x-1為增函數(shù),有f(x)≥excos20-1=0,從而當(dāng)x∈[0,0.1]時(shí),y=b(x)-c(x)為增函數(shù).

故b(0.1)-c(0.1)>b(0)-c(0)=0,即b>c.

綜上，d>b>c>a.

2.2 觀察發(fā)現(xiàn)2

由解法一不難發(fā)現(xiàn)，上述構(gòu)造的這些函數(shù)是常見的函數(shù)，借助圖象，觀察圖象的上下關(guān)系進(jìn)而比較數(shù)值間的大小關(guān)系，優(yōu)化解法一則得下面的解法二.

解法二：圖象+構(gòu)造函數(shù)+放縮法.

圖1

設(shè)f(x)=sinx-(ex-1)cosx，則

f(0)=0，f′(x)=(ex-1)(sinx-cosx).

于是tanx

故a

2.3 觀察發(fā)現(xiàn)3

由解法二不難發(fā)現(xiàn)，這些構(gòu)造的函數(shù)圖象比較相似，接近冪函數(shù)在區(qū)間(0，1)上的圖象，由此聯(lián)想泰勒展公式的功能，可以借助泰勒展開式來估算.

評：本題還可以用[2,2]階帕德逼近來比較大小，但帕德逼近相對泰勒展開式來講是一種精度更高的分式函數(shù)逼近，此處略去.有興趣的讀者可自行研究.

2.4 觀察發(fā)現(xiàn)4

繼續(xù)觀察構(gòu)造的這些函數(shù)的圖象，不難發(fā)現(xiàn)，這些函數(shù)在0處的函數(shù)值均相同，不同的是其增長速度快慢有別.那么通過增長速度的快慢比較大小是一種創(chuàng)新的解法，到此完美突破難點(diǎn).

解法四：研究函數(shù)在x=0處的增長速度，通過增長速度快慢比大小.

設(shè)f(x)=ln(1+x)，則a=f(0.1).

設(shè)g(x)=ex-1，則b=g(0.1).

設(shè)h(x)=tanx，則c=h(0.1).

又f(0)=g(0)=h(0)=k(0),

所以d最大.

又f″(0)≤h″(0)≤g″(0)，所以a

綜上可知，d>b>c>a.

3 鞏固提高

A.a

C.c

A.a

C.c

C.x>yD.2ex>y

答案：(1)C； (2)B； (3)D.

4 結(jié)束語

眾所周知，比較大小的試題每年高考都有出現(xiàn)，尤其是近兩年，精度越來越高，難度越來越大，方法越來越靈活多樣.作差、作商、插值，以及簡單的構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性比較已經(jīng)不能解決變化著的新問題.如何快速突破此類問題刻不容緩，必備基本功除了不等式的性質(zhì)、基本不等式，還需要熟悉常見的不等式，如，糖水不等式、對數(shù)糖水不等式、泰勒展開式(函數(shù)不等式：切線放縮、曲線放縮等)，了解帕德逼近等知識.對本道題而言，容易想到的方法是構(gòu)造函數(shù)作差求最值比較大小，體現(xiàn)了一般到特殊的思想方法，對用導(dǎo)數(shù)的方法研究最值和計(jì)算求解能力要求較高，而用泰勒展開式和帕德逼近來估算的話，思維降維了，但站位較高，這些都是高等數(shù)學(xué)里的知識.但通過函數(shù)在某點(diǎn)處的增長速度來比較大小確實(shí)是一種創(chuàng)新解法，學(xué)生易接受.

在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)教學(xué)與學(xué)習(xí)的過程中，對一些難題，應(yīng)微專題分析，引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)問題，不斷創(chuàng)新解題方法，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的探究與創(chuàng)新精神.Z