基于GeoGebra軟件構(gòu)建《高等數(shù)學(xué)》曲面動態(tài)化圖形資源

邢維 裴紅梅

摘 要：GeoGebra是一款新興的功能強(qiáng)大的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，它可以直觀、形象、動態(tài)、交互地演示數(shù)學(xué)中的知識.《高等數(shù)學(xué)》曲面的教學(xué)過程中一般采用的是傳統(tǒng)的灌輸式方法，忽視曲面動態(tài)演示，學(xué)生會覺得曲面的知識枯燥乏味，不容易理解.使用GeoGebra軟件針對曲面這一節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行動態(tài)資源建設(shè)，展示旋轉(zhuǎn)曲面、柱面的形成過程，以及常見的二次曲面的截痕，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.

關(guān)鍵詞：曲面；GeoGebra；動態(tài)演示

1 GeoGebra軟件介紹

GeoGebra是2002年由美國佛羅里達(dá)州亞特蘭大大學(xué)教授Markus Hohenwarter研發(fā)的一款數(shù)學(xué)軟件.它在全球190多個國家中有著廣泛的應(yīng)用，被30多個國家寫入中小學(xué)的教科書.GeoGebra是由兩個英文單詞“Geometry”和“Algebra”組合成的，是一款兼具“幾何”和“代數(shù)”這兩個功能的軟件.它的優(yōu)點(diǎn)如下：

（1） GeoGebra是一款具有中文簡體版本的免費(fèi)軟件，操作簡單，不需要使用者擁有任何編程水平，也不需要學(xué)習(xí)專門的課程，自己領(lǐng)悟即可.

（2） GeoGebra不僅具有代數(shù)和幾何功能，還擁有表格、3D計算、概率統(tǒng)計、微積分等功能.GeoGebra是一款功能齊全的動態(tài)教學(xué)軟件，可以導(dǎo)出GIF圖像，不需使用視頻播放器就可以在PC端使用，方便教學(xué).

（3） GeoGebra具備三維功能，作出的圖形不僅直觀形象并且交互性強(qiáng).

2 《高等數(shù)學(xué)》曲面的地位與教學(xué)現(xiàn)狀分析

2.1 曲面在《高等數(shù)學(xué)》中的地位

曲面是《高等數(shù)學(xué)》的主要內(nèi)容之一，有著非常重要的地位.曲面的價值有下列幾點(diǎn)：

（1） 促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合的思想，將學(xué)過的多元函數(shù)和向量等知識聯(lián)系起來，形成系統(tǒng)的知識體系.

（2） 曲面在《高等數(shù)學(xué)》中，有著非常重要的作用，曲面的學(xué)習(xí)為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)多元函數(shù)的微分和積分提供基礎(chǔ)知識，使學(xué)生更好地計算多元函數(shù)微積分問題.

2.2 曲面的教學(xué)現(xiàn)狀

（1） 在目前的教學(xué)模式中，教師的教學(xué)方法采用的仍然是傳統(tǒng)的灌輸式為主的教學(xué)方法，不重視演示過程，忽視了學(xué)生對曲面思維能力的培養(yǎng).

（2） 在課堂教學(xué)中，學(xué)生忽視曲面動態(tài)演示，覺得曲面的知識枯燥乏味，不容易理解，接受起來困難.

因此，不難發(fā)現(xiàn)曲面教學(xué)中存在的問題是教師雖然對知識體系理解深刻，但是信息技術(shù)水平有限，導(dǎo)致在課堂教學(xué)中一般采用傳統(tǒng)的教學(xué)方式，以灌輸為主，從而讓學(xué)生感到曲面的知識單調(diào)難以理解.

3 GeoGebra軟件構(gòu)建曲面動態(tài)化圖形

曲面的知識是《高等數(shù)學(xué)》空間解析幾何的重要組成部分.將幾何圖形用代數(shù)語言描述，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行運(yùn)算，得到結(jié)果，再將代數(shù)結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論，這就是曲面的核心思想，即數(shù)形結(jié)合的思想.

教師在講授曲面的過程中，注重公式方程的記憶，卻忽略了知識的生成，使學(xué)生對曲面的定義的理解不夠透徹，有畏難情緒.

下面設(shè)計基于GeoGebra環(huán)境下的曲面的動態(tài)化圖形.

3.1 旋轉(zhuǎn)曲面

定義1：平面上的一條曲線繞該平面上的某一直線旋轉(zhuǎn)一周后生成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，該曲線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線，直線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸.

設(shè)曲線C為坐標(biāo)面yOz上的一曲線，其方程為

f（y，z）=0，

該曲線繞坐標(biāo)軸z軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一以z軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面，其方程為

f（±x2+y2，z）=0.

下面用GeoGebra展示旋轉(zhuǎn)曲面的生成過程.

首先選擇一條合適的曲線，其參數(shù)方程表達(dá)式為

x=0y=t24+1z=t， -2.5≤t≤2.5，

要使用基本語法：曲線（＜表達(dá)式＞，＜表達(dá)式＞，＜表達(dá)式＞，＜參變量t＞，＜起始值＞，＜終止值＞）.在曲線上任意取一個點(diǎn)，使用基本語法：描點(diǎn)（＜對象＞）.這樣的點(diǎn)可以在幾何對象上任意移動.創(chuàng)建滑動條，使用基本語法：角度，區(qū)間最小0°，最大360°，增量1°.打開3D繪圖區(qū)，在輸入框依次輸入上述指令.

繪制曲線上的點(diǎn)繞z軸旋轉(zhuǎn)一周之后的軌跡，用滑動條控制動態(tài)旋轉(zhuǎn)過程.使用基本語法：曲面（＜曲線＞，＜度|弧度＞，＜直線＞）.這就完成了曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)曲面的動態(tài)過程.

控制滑動條，利用GeoGebra動態(tài)展示旋轉(zhuǎn)曲面的生成過程，通過動態(tài)演示體現(xiàn)曲線上任一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)軌跡和曲線的旋轉(zhuǎn)軌跡之間的關(guān)聯(lián)性，有助于學(xué)生形成完整的知識體系.

3.2 柱面

定義2：一條直線L沿著曲線C平行移動后形成的軌跡稱為柱面，該曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線，直線L稱為柱面的母線.

下面以拋物柱面為例，通過GeoGebra動態(tài)展示拋物柱面的生成過程，有助于學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的形成.

設(shè)置點(diǎn)C為焦點(diǎn)，直線f為準(zhǔn)線，構(gòu)造一條拋物c.使用基本語法：描點(diǎn)（＜數(shù)值列表＞），拋物線（＜點(diǎn)＞，＜直線＞）.滑動條基本語法：數(shù)值，區(qū)間最小0，最大1，增量0.1.沿著z軸平移拋物線形成拋物柱面，使用基本語法：平移（＜對象＞，＜向量＞），通過控制滑動條，動態(tài)演示拋物線c沿z軸平移生成拋物柱面的過程.

3.3 二次曲面

F（x，y，z）=0三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.通常采用截痕法來研究二次曲面的形狀.

下面以橢圓拋物面為例，通過GeoGebra動態(tài)展示用截痕法確定其形狀.

橢圓拋物面方程為x2a2+y2b2=z.

GeoGebra繪制橢圓拋物面基本語法：x^2/（a^2）+y^2/（b^2）=z.創(chuàng)建滑動條a和b，基本語法：數(shù)值，區(qū)間最小-5，區(qū)間最大5，增量0.1，滑動條a和b控制橢圓拋物面的“胖瘦”.

通過GeoGebra軟件動態(tài)演示平面x=m與橢圓拋物面的截痕.基本語法：0*y+x+0*z=m，創(chuàng)建滑動條m，基本語法：數(shù)值，區(qū)間最小-2，區(qū)間最大2，增量0.1.通過控制滑動條m，動態(tài)演示平面x=m與橢圓拋物面的截痕為拋物線.

通過GeoGebra軟件動態(tài)演示平面y=n與橢圓拋物面的截痕.基本語法：y+0*x+0*z=n，創(chuàng)建滑動條n，基本語法：數(shù)值，區(qū)間最小-2，區(qū)間最大2，增量0.1.通過控制滑動條n，動態(tài)演示平面y=n與橢圓拋物面的截痕為拋物線.

通過GeoGebra軟件動態(tài)演示平面z=p與橢圓拋物面的截痕.基本語法：0*y+0*x+z=p，創(chuàng)建滑動條p，基本語法：數(shù)值，區(qū)間最小0，區(qū)間最大2，增量0.1.通過控制滑動條p，動態(tài)演示平面z=p與橢圓拋物面的截痕為橢圓.

通過GeoGebra軟件的動態(tài)演示，可以更好地幫助學(xué)生理解橢圓拋物面的概念.

在傳統(tǒng)的曲面教學(xué)過程中，教師只是將知識灌輸給學(xué)生，學(xué)生總是被動地接受知識，這樣不能夠幫助學(xué)生主動的構(gòu)建知識.然而利用GeoGebra軟件輔助曲面的教學(xué)，不僅為學(xué)生提供了一個良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，同時也促進(jìn)了學(xué)生對曲面知識的主動構(gòu)建，使學(xué)生更好地認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì).

4 總結(jié)

利用GeoGebra軟件輔助曲面教學(xué)可視化效果更好，不僅將概念的形成過程可視化，讓學(xué)生更好地吸收，同時讓學(xué)生參與到知識的探索中，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新思維，增加了課堂的趣味性和學(xué)生的活躍性.

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