“八會(huì)”奠基礎(chǔ)，能力全提升

顧彥

摘 要：二項(xiàng)式定理在近年高考數(shù)學(xué)試卷中經(jīng)常出現(xiàn)，在面對(duì)創(chuàng)新性強(qiáng)，運(yùn)算量大的問題時(shí)，要注意系統(tǒng)掌握破解二項(xiàng)式定理的技巧方法，結(jié)合條件加以正確處理.本文結(jié)合實(shí)例，就二項(xiàng)式定理的“八會(huì)”技巧方法加以剖析，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：二項(xiàng)式定理；公式；技巧；賦值；分類討論

二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)中較為獨(dú)特的一部分知識(shí)，也是高考數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要考點(diǎn)，教材只是簡單地講述該定理的推導(dǎo)、性質(zhì)及應(yīng)用等，往往導(dǎo)致教師與學(xué)生產(chǎn)生簡單化傾向，只是停留在熟記公式、會(huì)代公式等初步階段.認(rèn)真分析教材和習(xí)題，就能發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理的相關(guān)內(nèi)容豐富地展示了待定系數(shù)法、構(gòu)造法、特殊值法和逆向思維等中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想與方法，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法、提高思維能力的好機(jī)遇.結(jié)合實(shí)例，從二項(xiàng)式定理學(xué)習(xí)的“八會(huì)”入手，充分學(xué)好二項(xiàng)式定理.

1 會(huì)正用公式

公式的正向應(yīng)用，從左到右，實(shí)現(xiàn)公式自身的一個(gè)合理思維過程.

正用公式，就是直接正向套用二項(xiàng)式定理的公式，或利用二項(xiàng)式定理直接展開，或利用展開式的通項(xiàng)公式加以運(yùn)算與應(yīng)用等.

例1 （2021年高考數(shù)學(xué)天津卷·11）2x3+1x6的展開式中，x6的系數(shù)是_____________.

分析：根據(jù)條件，利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式加以展開與化簡，令其中自變量x的指數(shù)為6，構(gòu)建關(guān)系式進(jìn)而確定參數(shù)r的值，代入化簡后的展開式的通項(xiàng)公式即可確定所求項(xiàng)的系數(shù).

解析：由展開式的通項(xiàng)公式Tr+1=Cr6·（2x3）6-r·1xr=Cr6·26-r·x18-4r，

令18-4r=6，解得r=3，因此x6的系數(shù)是C36·23=160，故填答案160.

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握二項(xiàng)式定理的展開式或展開式的通項(xiàng)公式，為正用公式提供最為堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).正用二項(xiàng)式定理的公式，也是最基本、最簡單的應(yīng)用方式之一，要做到正確、靈活、熟練.

2 會(huì)逆用公式

公式的逆向應(yīng)用，從右到左，從另一個(gè)視角實(shí)現(xiàn)公式自身的一個(gè)合理思維過程.

逆用公式，即逆向套用二項(xiàng)式定理的公式，在展開式的化簡、求值、整除等一些方面的應(yīng)用中經(jīng)常涉及.熟練掌握二項(xiàng)式定理，并合理把握展開式中的元素關(guān)系，為逆用公式的逆向思維提供廣闊的空間.

例2 設(shè)n∈N*，則C0n·1n·80+C1n·1n-1·81+C2n·1n-2·82+C3n·1n-3·83+…+Cn-1n·11·8n-1+Cnn·10·8n除以9的余數(shù)為（? ）.

A. 0

B. 8

C. 7

D. 2

分析：根據(jù)題設(shè)條件，充分把握條件中展開式的結(jié)構(gòu)特征與變化規(guī)律，借助二項(xiàng)式定理，通過逆用二項(xiàng)式定理的公式加以轉(zhuǎn)化與化簡，進(jìn)而得以簡單快捷判斷相應(yīng)的整除性質(zhì)與應(yīng)用問題.

解析：由于C0n·1n·80+C1n·1n-1·81+C2n·1n-2·82+C3n·1n-3·83+…+Cn-1n·11·8n-1+Cnn·10·8n=（1+8）n=9n，

所以上式除以9的余數(shù)為0，故選A.

點(diǎn)評(píng)：逆用公式是在正用公式的基礎(chǔ)上進(jìn)一步加以提升與深入的，要求具備更加靈活多變的觀察力與把握力.逆用公式是逆向思維的訓(xùn)練與展示，能充分加深學(xué)生對(duì)二項(xiàng)式定理的理解和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力與綜合應(yīng)用能力.

3 會(huì)變用公式

公式的變形是借助公式自身的特點(diǎn)，合理巧妙恒等變化，用于處理一些特殊情況下的數(shù)學(xué)問題.

在解決一些復(fù)雜的創(chuàng)新綜合應(yīng)用問題時(shí)，有不少問題需要將數(shù)或式進(jìn)行合理變形后，通過變用公式，再運(yùn)用二項(xiàng)式定理加以綜合與處理.變用公式經(jīng)常涉及配湊法、整體思維法、拆分法等技巧的應(yīng)用.

例3 已知（x+1）4+（x-2）8=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a8（x-1）8，則a3=（? ）.

A. 64

B. 48

C. -48

D. -64

分析：根據(jù)題設(shè)條件，通過條件中的等式左邊與右邊展開式的特征與關(guān)系，以x-1為整體確定對(duì)應(yīng)的元素，進(jìn)而將等式左邊中的二項(xiàng)式進(jìn)行合理配湊，構(gòu)建涉及元素x-1的展開式，進(jìn)而加以分析與處理.

解析：由（x+1）4+（x-2）8=［（x-1）+2］4+［（x-1）-1］8=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a8（x-1）8，

可得a3·（x-1）3=C14·（x-1）3·2+C58·（x-1）3·（-1）5，

所以a3=8-C58=-48，故選C.

點(diǎn)評(píng)：抓住題設(shè)條件中不同關(guān)系式之間的特征與關(guān)系，加以合理配湊、整體思維、拆分等處理，進(jìn)而變用公式，達(dá)到靈活巧妙應(yīng)用二項(xiàng)式定理的目的.變用公式，對(duì)于學(xué)生的問題分析能力、觀察能力等都有較高的要求，還要求熟練掌握一些基本的變形技巧.

4 會(huì)特殊賦值

二項(xiàng)式定理中的二項(xiàng)展開式，是同類問題中的一個(gè)基本形式，在具體解決問題中，經(jīng)?？梢越Y(jié)合題目條件加以特殊化處理，這也是一般性思維與特殊性思維之間的聯(lián)系.

特殊賦值是通過自變量x取特殊值（經(jīng)常是0，1，-1等）代入二項(xiàng)式，進(jìn)而加以進(jìn)一步分析與求解，經(jīng)常會(huì)有多次特殊賦值的情況發(fā)生.二項(xiàng)式定理的特殊形式，是在特定參數(shù)取值情況下對(duì)應(yīng)成立的一個(gè)等式，也是從一般到特殊的數(shù)學(xué)思維方法訓(xùn)練與考查的一個(gè)絕好場景.

例4 （2022年高考數(shù)學(xué)北京卷·8）若（2x-1）4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，則a0+a2+a4=（? ）.

A. 40

B. 41

C. -40

D. -41

分析：根據(jù)二項(xiàng)展開式的特征，分別令x=1，x=-1，代入二項(xiàng)式得到兩個(gè)相應(yīng)的等式，結(jié)合所求的結(jié)論，再把兩個(gè)等式對(duì)應(yīng)相加并整理即可求解.正確洞察所求代數(shù)式與二項(xiàng)展開式之間的關(guān)系，為特殊賦值提供條件.

解析：令x=1，代入可得1=a4+a3+a2+a1+a0；令x=-1，代入可得81=a4-a3+a2-a1+a0.

以上兩式對(duì)應(yīng)相加，則有2（a4+a2+a0）=82，解得a4+a2+a0=41，故選B.

點(diǎn)評(píng)：特殊賦值在二項(xiàng)展開式中涉及一些求解參數(shù)值、代數(shù)式的值等方面都有很好的表現(xiàn).破解的關(guān)鍵就是敏銳觀察二項(xiàng)展開式與所求結(jié)論之間的聯(lián)系，通過特殊值可以構(gòu)建兩者之間的聯(lián)系，進(jìn)而為特殊賦值的應(yīng)用提供場所.在特殊賦值過程中，可以充分培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和靈活性.

5 會(huì)分類討論

分類討論思想作為數(shù)學(xué)學(xué)科中一個(gè)最基本的思想方法，在很多問題中都有其應(yīng)用的場景，關(guān)鍵是合理分類，不遺漏不重復(fù).

涉及二項(xiàng)式定理的乘積、加減等運(yùn)算問題中，經(jīng)常離不開分類討論思想的應(yīng)用.抓住問題實(shí)質(zhì)，主次合理分開，條件綜合考慮，分類討論靈活應(yīng)用，化繁雜為精細(xì)，先分再合，逐一分析，最后綜合求解.

例5 （2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷·13）1-yx（x+y）8的展開式中x2y6的系數(shù)為_____________（用數(shù)字作答）.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，在二項(xiàng)式定理的創(chuàng)設(shè)情境下，要將求解“展開式中x2y6的系數(shù)”問題進(jìn)行簡化，通過兩代數(shù)式1-yx與（x+y）8的展開式之間的乘積，分類討論進(jìn)行化繁為簡處理.

解析：由于（x+y）8的通項(xiàng)公式為Tr+1=Cr8x8-ryr，

當(dāng)r=6時(shí)，T7=C68x2y6；當(dāng)r=5時(shí)，T6=C58x3y5，

所以展開式中x2y6的系數(shù)為C68-C58=28-56=-28，故填答案-28.

點(diǎn)評(píng)：借助分類討論來處理二項(xiàng)式定理中的相關(guān)問題，經(jīng)常是將復(fù)雜問題加以細(xì)化，轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互不影響的式子，通過分類討論進(jìn)行逐一分析，從而降低思維難度與知識(shí)層次，先分開再綜合，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)代數(shù)式的系數(shù)或其他相關(guān)問題，從而實(shí)現(xiàn)問題的解決.

6 會(huì)活用系數(shù)

概念之間的聯(lián)系與區(qū)分，對(duì)于問題的分析與解決起著決定性的作用，特別是一些比較容易混淆的概念，要加以正確理解與應(yīng)用.

二項(xiàng)式定理中展開式的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)，是其靈活應(yīng)用的重要體現(xiàn)，合理構(gòu)建關(guān)系式，是高考考查的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.

例6 （2022年高考數(shù)學(xué)上海卷·7）二項(xiàng)式（3+x）n的展開式中，x2項(xiàng)的系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的5倍，則n=_____________.

分析：根據(jù)二項(xiàng)式定理中對(duì)應(yīng)項(xiàng)展開式的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的關(guān)系，靈活確定相關(guān)的系數(shù)，結(jié)合題設(shè)條件合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，通過組合數(shù)公式的應(yīng)用以及方程的求解，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)值.

解析：依題意，可得C2n×3n-2=5C0n×3n，即n（n-1）2=5×9，解得n=10，故填答案10.

點(diǎn)評(píng)：正確區(qū)分二項(xiàng)式定理展開式中的相關(guān)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別，以及二者與常數(shù)項(xiàng)等的概念，靈活應(yīng)用對(duì)應(yīng)的公式來正確確定相關(guān)的系數(shù)，為進(jìn)一步的綜合與應(yīng)用提供條件.

7 會(huì)數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模就是一個(gè)把實(shí)際問題經(jīng)過相應(yīng)的分析、抽象、概括后，借助數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)符號(hào)或數(shù)學(xué)公式等來表述成數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而借助數(shù)學(xué)知識(shí)來解決的過程.

在解決一些復(fù)雜的二項(xiàng)式定理問題中，經(jīng)常借助一些給出展開式相關(guān)項(xiàng)的特征來進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)建模，利用組合的數(shù)學(xué)模型（或其他模型）特征來分析與處理問題，是數(shù)學(xué)建模解決二項(xiàng)式問題的一種技巧方法.

例7 2x+1x-35的展開式中常數(shù)項(xiàng)是_____________.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，通過組合的數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，將二項(xiàng)展開式看作對(duì)應(yīng)的五個(gè)關(guān)系式相乘，利用展開式中常數(shù)項(xiàng)的不同構(gòu)建情況分三種情況來展開與正確抽取，結(jié)合組合來分析與求解.

解析：2x+1x-35表示五個(gè)2x+1x-3相乘，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)由三種情況產(chǎn)生，

一種是從五個(gè)2x+1x-3中分別抽取2個(gè)“2x”，2個(gè)“1x”，1個(gè)“-3”，則此時(shí)的常數(shù)項(xiàng)為C25·C23·22·（-3）=-360；

第二種情況是從五個(gè)2x+1x-3中都抽取“-3”，則此時(shí)的常數(shù)項(xiàng)為C55（-3）5=-243；

第三種情況是從五個(gè)2x+1x-3中分別抽取1個(gè)“2x”，1個(gè)“1x”，3個(gè)“-3”，則此時(shí)的常數(shù)項(xiàng)為C15·C14·21·（-3）3=-1080.

所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為-360-243-1080=-1683，故填答案-1683.

點(diǎn)評(píng)：以上問題中，根據(jù)組合模型特征，從相關(guān)二項(xiàng)式所對(duì)應(yīng)的因式中按要求提取相關(guān)的因式進(jìn)行數(shù)學(xué)建模處理，通過組合計(jì)數(shù)的合理建模達(dá)到滿足條件的目的.巧妙將題設(shè)場景與對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型加以合理構(gòu)建，是運(yùn)用數(shù)學(xué)建模處理數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵步驟與精華.

8 會(huì)求導(dǎo)轉(zhuǎn)化

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，為解決函數(shù)的基本性質(zhì)問題提升了高度與寬度，當(dāng)然在解決一些與函數(shù)有關(guān)的三角函數(shù)、數(shù)列、排列組合與二項(xiàng)式定理等問題中，也有其應(yīng)用的場所.

在解決一些復(fù)雜的二項(xiàng)式定理的創(chuàng)新綜合應(yīng)用問題中，由于問題考慮的復(fù)雜性或多面性，經(jīng)?？梢院侠順?gòu)建二項(xiàng)展開式，進(jìn)行式子的兩邊求導(dǎo)處理，利用求導(dǎo)（或二次求導(dǎo)等）后的關(guān)系式特征，結(jié)合相關(guān)的技巧方法來進(jìn)一步分析與處理.

例8 （2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬演練（八省聯(lián)考）數(shù)學(xué)·6）（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）9的展開式中x2的系數(shù)是（? ）.

A. 60

B. 80

C. 84

D. 120

分析：利用求導(dǎo)法破解本題的關(guān)鍵是設(shè)出二項(xiàng)展開式，把確定展開式中x2的系數(shù)問題轉(zhuǎn)化確定a2的值問題，利用等式兩邊同時(shí)取導(dǎo)數(shù)處理，兩次求導(dǎo)解決，加以賦特殊值處理，進(jìn)而得以確定a2的值.

解析：設(shè)二項(xiàng)式（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）9=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a9x9，

以上等式兩邊同時(shí)取導(dǎo)數(shù)，可得2（1+x）+3（1+x）2+…+9（1+x）8=a1+2a2x+3a3x2+…+9a9x8，

以上等式兩邊再次同時(shí)取導(dǎo)數(shù)，可得2+3×2（1+x）+…+9×8（1+x）7=2a2+3×2a3x+…+9×8a9x7，

令x=0，可得2+3×2+…+9×8=2a2，即a2=12（2×1+3×2+4×3+5×4+6×5+7×6+8×7+9×8）=120，故選D.

點(diǎn)評(píng)：在一些有規(guī)律的多項(xiàng)式的加式、積式等綜合應(yīng)用中，合理采用求導(dǎo)法，可以進(jìn)行降冪處理，綜合特殊賦值法的應(yīng)用，往往在解決一些特殊二項(xiàng)式定理問題中有奇效.求導(dǎo)法處理二項(xiàng)式定理問題，也為破解二項(xiàng)展開式中的相關(guān)問題提供更加廣闊的場景.

9 總結(jié)

在二項(xiàng)式定理的教學(xué)與學(xué)習(xí)中，應(yīng)認(rèn)真做好基本方法的梳理工作，精心配置例題和習(xí)題，進(jìn)行二項(xiàng)式定理的相關(guān)知識(shí)、方法和技巧的訓(xùn)練，通過對(duì)二項(xiàng)式定理中二項(xiàng)展開式的正用、逆用、變用等，進(jìn)而學(xué)會(huì)合理賦值處理、分類討論，更加深入地活用系數(shù)、數(shù)學(xué)建模以及求導(dǎo)轉(zhuǎn)化等，才能真正全面理解、掌握與應(yīng)用二項(xiàng)式定理.同時(shí)，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用技巧方法與策略，對(duì)我們數(shù)學(xué)思維的發(fā)展、數(shù)學(xué)能力的提升和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)等都是十分有益的.

參考文獻(xiàn)：

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［2］ 孫承輝.二項(xiàng)式定理典型考題例析［J］.中學(xué)生數(shù)理化（高考數(shù)學(xué)），2022（11）：33-34.