淺談化歸思想在解方程組中的應(yīng)用

何玉龍

摘 要：化歸思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種常見的數(shù)學(xué)思想，在每年的中考中都有涉及.本文以蘇科版七年級(jí)下冊解方程組為例，在學(xué)生有了對一元一次方程認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，對二元一次方程組的代入消元法進(jìn)行探索，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的能力，激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生初步體驗(yàn)化歸思想，有效強(qiáng)化學(xué)生對化歸思想在解方程組中的認(rèn)識(shí)與把握.

關(guān)鍵詞：化歸思想；解方程組；代入消元法

化歸思想在我們的日常生活中經(jīng)常會(huì)被用到.所謂化歸思想，即是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)，化未知為已知，化繁為簡，化難為易.回顧我們處理數(shù)學(xué)問題的過程和經(jīng)驗(yàn)不難發(fā)現(xiàn)，化歸其實(shí)是將沒有見過或者復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的或者簡單的問題來解決.往往我們在對一些陌生問題不知如何下手時(shí)，就需要將它轉(zhuǎn)化成比較熟悉的問題情境，這樣既可以解決問題，又能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.化歸方法是我們解決問題的一種常規(guī)方法，其基本思想是：當(dāng)遇到一個(gè)沒有見過的數(shù)學(xué)問題時(shí)，通常會(huì)將這個(gè)待解決的問題A借助于某種方法轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題B，而問題B是可以解決的或者可以繼續(xù)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題，這樣就可以通過解決一個(gè)熟悉問題得到原問題的答案.用框圖可直觀表示為：

下面就化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)《解二元一次方程（1）》中的應(yīng)用，談?wù)勛约旱慕虒W(xué)設(shè)計(jì).

1 教學(xué)概述

《解二元一次方程組（1）》是我們對七年級(jí)下冊解一元一次方程的鞏固和延伸，在這里面我們通過利用等式的基本性質(zhì)，將兩個(gè)不同的未知數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)未知數(shù)，這種方法是解方程組的一種基本解法，也為今后學(xué)習(xí)解多元方程組的內(nèi)容奠定基礎(chǔ).

2 教學(xué)目標(biāo)

1. 通過具體實(shí)例，感受解二元一次方程的必要性；

2. 會(huì)用代入消元法解二元一次方程組；

3. 了解二元一次方程組的消元方法，經(jīng)歷從“二元”到“一元”的轉(zhuǎn)換過程；

4. 體會(huì)解二元一次方程組中化“未知”為“已知”的轉(zhuǎn)化思想.

3 教學(xué)環(huán)節(jié)

3.1 創(chuàng)設(shè)情境，出示問題

問題1：參考學(xué)?；@球的比賽規(guī)則，每一場比賽都需要決出勝負(fù)，而且獲勝的一隊(duì)可以加2分，輸?shù)囊魂?duì)加1分.如果某學(xué)校想要取得靠前的名次，想在12場比賽中獲得20分，請問：這個(gè)隊(duì)勝、負(fù)場數(shù)應(yīng)該各是多少？

師生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，通過列一元一次方程求解后，得出結(jié)論.

解：設(shè)這個(gè)隊(duì)勝了x場，負(fù)了（12-x）場.

根據(jù)題意，得2x+（12-x）=20.

解得x=8.

12-x=12-8=4

答：這個(gè)隊(duì)勝了8場，負(fù)了4場.

教師總結(jié)：這其實(shí)就是由問題到方程的模型，體會(huì)方程在解決實(shí)際問題中的作用與價(jià)值.

追問1：運(yùn)用以前的方法，我們還能想出其他辦法嗎？

師生活動(dòng)：這一環(huán)節(jié)中，教師應(yīng)該留出充足的時(shí)間，讓學(xué)生自主思考、探究，嘗試，通過不同同學(xué)的講述，不斷引導(dǎo)、更正，不少學(xué)生可以觀察出，一個(gè)未知數(shù)可以，同樣兩個(gè)未知數(shù)也行，進(jìn)而大膽地列出兩個(gè)不同的方程.如果這個(gè)隊(duì)勝了x場，負(fù)了y場，根據(jù)題意，得x＋y＝12，

2x＋y＝20.教師首先肯定學(xué)生的做法，然后告知學(xué)生解應(yīng)用題不但可以用一元方程，同樣也可以用二元方程組.

設(shè)計(jì)意圖：在這個(gè)題目方法中，老師可以借助這兩種方法的比較來激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生能夠清楚地認(rèn)識(shí)到一元一次方程和二元一次方程組都能解決我們生活中的實(shí)際問題.

追問2：那么怎樣求二元一次方程組的解呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生觀察、思考、感悟. 教師說明解二元一次方程組是這節(jié)課的重點(diǎn).

3.2 探索比較，體會(huì)化歸

問題2：二元一次方程組x＋y＝12，

2x＋y＝20與一元一次方程2x+（12-x）=20之間有什么關(guān)聯(lián)？

師生活動(dòng)：學(xué)生通過對比觀察發(fā)現(xiàn)：二元一次方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，可以利用等式的性質(zhì)將方程x+y=20變形為y=12-x，將方程2x+y=20中的y換為12-x，這個(gè)方程就轉(zhuǎn)化為一元一次方程2x+（12-x）=20.

教師總結(jié)：二元一次方程組可以轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，這里面運(yùn)用了消元的化歸方法，也就是把沒有學(xué)過的知識(shí)點(diǎn)向已有的知識(shí)轉(zhuǎn)化，把復(fù)雜的問題簡單化.

設(shè)計(jì)意圖：留給學(xué)生足夠多的獨(dú)立思考和小組討論的時(shí)間和空間，讓他們探索不同的方法.學(xué)生能根據(jù)已有的知識(shí)儲(chǔ)備，在老師的啟發(fā)下觀察出問題的本質(zhì)，關(guān)注方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生突破自己，尋求新的解決問題的策略，為掌握代入消元法解二元一次方程組的步驟及依據(jù)埋下伏筆，進(jìn)而體會(huì)到化歸思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位.

問題3：從前面兩種方法的研究中，我們發(fā)現(xiàn)了什么？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個(gè)方程之間的聯(lián)系，并讓學(xué)生嘗試表達(dá)，當(dāng)學(xué)生之間意見不一致時(shí)，可以采取小組討論的辦法最后一起得出答案.

教師總結(jié)：以后我們在解決問題的時(shí)候，往往不止一個(gè)未知數(shù)，那么就需要我們將多個(gè)未知數(shù)變的少一點(diǎn)、再少一點(diǎn)，變成一個(gè)未知數(shù)的想法就是消元思想，先將方程組中的一個(gè)未知數(shù)通過等式的性質(zhì)變成含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式，再代入另一個(gè)方程中去，這樣可以減少一個(gè)未知數(shù)，也就把解二元一次方程組的問題就轉(zhuǎn)化成了一元一次方程，這種方法統(tǒng)稱為代入消元法，簡稱代入法.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生能從不同的方法中，找到內(nèi)在的聯(lián)系.學(xué)生通過親自參與、小組的共同完成，最后的總結(jié)歸納，不斷加深對數(shù)學(xué)化歸思想的認(rèn)識(shí).

3.3 例題教學(xué)，示范引導(dǎo)

問題4：例1.用代入消元法解方程組

x＝y(tǒng)＋3，①

3x-8y＝14.②

師生活動(dòng)：教師通過對學(xué)生的提問和學(xué)生的回答，最后給出規(guī)范的例題格式的書寫，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和思考以下問題.

1. 需不需要利用等式的性質(zhì)將一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)表示？其目的是什么？

2. 方程①能否直接代入②？目的達(dá)到了嗎？

3. 只求出y＝-1，方程組解完了嗎？把y＝-1代入哪個(gè)方程求x的值較簡便？

4. 怎樣知道你運(yùn)算的結(jié)果是否正確呢？

在學(xué)生的回答中，教師總結(jié)歸納易錯(cuò)的地方.

設(shè)計(jì)意圖：教師展示例題，規(guī)范步驟及方法，起到示范作用.教師指出學(xué)生容易犯錯(cuò)的地方，用不同顏色標(biāo)記，引起學(xué)生的關(guān)注，起到正向引導(dǎo)的作用.同時(shí)在教學(xué)中教師要注重引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注化歸思想在解二元一次方程組中的價(jià)值.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，教師請個(gè)別學(xué)生到黑板上板書，教師巡視，收集問題，并通過投影訂正.教師重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生是否會(huì)將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，是否能準(zhǔn)確求出結(jié)果.

設(shè)計(jì)意圖：鞏固練習(xí)，讓學(xué)生掌握這一類題的解法.

問題5：例2.用代入法解方程組2x-y＝5，①

3x＋4y＝2.②

師生活動(dòng)：本環(huán)節(jié)比例1加深了一定難度，可以以教師為主，起到示范作用，也可以讓學(xué)生回答，教師板書，關(guān)注學(xué)生書寫過程中的問題，及時(shí)糾正.

設(shè)計(jì)意圖：通過和例1的比較，讓學(xué)生知道通常選擇系數(shù)比較簡單的二元一次方程來變形，這樣可以減少出錯(cuò)率，也便于消元，為本節(jié)課的難點(diǎn)解決有效地縮短了時(shí)間.

3.4 鞏固練習(xí)，深化化歸

問題6：研究下面的方程，你能否用一個(gè)未知數(shù)來表示另一個(gè)未知數(shù)？

（1） 2x-y=3;

（2） 3x+y-1=0.

問題7：用代入法解方程組x-y＝3，

3x-8y＝14.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成上面題目，并講解思路，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解二元一次方程組的驗(yàn)證過程，將解代入到原方程組中即可.

設(shè)計(jì)意圖：問題6的設(shè)置是比較簡單的，便于學(xué)生操作，為代入消元作準(zhǔn)備，這也是本節(jié)課的重點(diǎn)；問題7讓學(xué)生通過實(shí)踐，體會(huì)用代入消元法解方程組的一般過程及化歸思想，引發(fā)學(xué)生積極思考，使新知識(shí)更加系統(tǒng)化.

3.5 回顧反思，課堂小結(jié)

問題1：代入法的基本思路是什么？

問題2：小組合作，歸納代入法的一般步驟是什么？

問題3：代入法的主要思想是什么？

師生活動(dòng)：對于問題1，學(xué)生可以自己總結(jié)，得到代入法的實(shí)質(zhì)是消元，使兩個(gè)未知數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)未知數(shù)；對于問題2，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課例題的解題過程進(jìn)行歸納；對于問題3，教師可以引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)化歸思想，從已知到未知，由陌生向熟悉轉(zhuǎn)化這一重要化歸思想是研究數(shù)學(xué)問題的基本方法之一，接下來我們在學(xué)習(xí)解三元一次方程組的解法時(shí)也會(huì)用到.

設(shè)計(jì)意圖：這里的合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生充分觀察、討論，然后自然地歸納出步驟，比教師機(jī)械化地講給學(xué)生聽，要好得多，能讓學(xué)生完成知識(shí)的整合和提升.接下來，學(xué)生在討論交流的過程中，小組間可以發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，然后所有學(xué)生一起參與進(jìn)來并分析問題，最后可以形成良好的總結(jié)和歸納.學(xué)生這樣能夠很容易地接受代入消元法，體會(huì)化歸思想在解方程組中的重要性.最后教師通過對本節(jié)課用代入法解決二元一次方程組的歸納總結(jié)，讓學(xué)生在以后的解方程中更加得心應(yīng)手，為以后解三元一次方程組以及多元方程組埋下伏筆.

4 教學(xué)反思

4.1 數(shù)學(xué)教學(xué)要注重?cái)?shù)學(xué)思想和方法的培養(yǎng)

俗話說：“授人以魚，不如授人以漁”.數(shù)學(xué)知識(shí)很重要，但更重要的是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體所體現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)思想和方法.就以本文為例，教師以生活情境籃球比賽規(guī)則問題為導(dǎo)向，經(jīng)過和學(xué)生的互動(dòng)，得到兩種不同的方程解法.第一種一元一次方程方法學(xué)生已經(jīng)學(xué)過，處理起來比較簡單.第二種方法老師引導(dǎo)學(xué)生用兩個(gè)未知數(shù)列二元一次方程組來解決問題，學(xué)生不知道怎么解.這個(gè)時(shí)候老師就應(yīng)該滲透數(shù)學(xué)思想——化歸.化歸的目的是在于通過向已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化，將一些陌生、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范、程序化、簡單的問題.解二元一次方程組可以利用等式的基本性質(zhì)將一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)表示，從而轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)的一元一次方程.平時(shí)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，在教學(xué)的過程中，應(yīng)該靈活運(yùn)用化歸思想，正確引導(dǎo)學(xué)生不斷反思、總結(jié)，在不同問題中發(fā)現(xiàn)通法，學(xué)會(huì)舉一反三.同時(shí)，要求教師在平時(shí)的教學(xué)過程中，要從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，實(shí)施有效的學(xué)習(xí)方法，在摸索中不斷總結(jié)歸納，從而完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù).有效的教學(xué)課堂是以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的課堂，是師生共同互動(dòng)的課堂.這樣有助于知識(shí)的火花不斷地碰撞、修正，從而催生出生動(dòng)活潑的有效課堂.總之，化歸思想已經(jīng)滲透到我們的日常的生活和課堂中.

4.2 數(shù)學(xué)教學(xué)要注重學(xué)生能力和品質(zhì)的提升

化歸是一種數(shù)學(xué)思想，是對一些未知的、復(fù)雜的問題進(jìn)行變形，而這種變形其實(shí)是有方向可循的.因此，我們要盯緊“目標(biāo)”，轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的知識(shí)來解決問題.本文以前面解一元一次方程已有的知識(shí)為起點(diǎn)，以兩個(gè)未知數(shù)方程組“如何解”為問題導(dǎo)向，讓學(xué)生通過研究發(fā)現(xiàn)可以通過減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，逐漸過渡到用一個(gè)未知數(shù)來表示另一個(gè)未知數(shù)，最終得到本課的思想方法——代入消元法，從而培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)遷移的能力.本課關(guān)鍵是要抓住對“消元”“化歸”思想方法的講授，過程中應(yīng)該注重學(xué)生的創(chuàng)新能力以及小組探究能力，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生之間的合作能力，促進(jìn)學(xué)生主體的發(fā)展［1］. 在向?qū)W生展示知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的過程中，應(yīng)盡力向?qū)W生滲透化歸思想，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用化歸思想的能力，充分發(fā)揮化歸思想方法的指導(dǎo)作用.這對于學(xué)生形成良好的思維品質(zhì)大有益處，也是進(jìn)一步落實(shí)素質(zhì)教育，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力所必需的.

4.3 數(shù)學(xué)教學(xué)要注重師生關(guān)系和地位的建設(shè)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)和教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者［2］.教師在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，應(yīng)該重視學(xué)生主體性和個(gè)性差異化的發(fā)展，摒棄傳統(tǒng)的教學(xué)模式，采用啟發(fā)式的教學(xué)模式.教師在教學(xué)的過程中應(yīng)采用引導(dǎo)式、討論式等各種不同的教學(xué)方法，將知識(shí)以多種形式呈現(xiàn)給學(xué)生，這樣有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力，通過小組之間自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生提出問題和分析問題，最后找到解決問題的方法.在教學(xué)過程中.教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，不能一味將知識(shí)硬塞給學(xué)生，要讓學(xué)生體驗(yàn)“先發(fā)現(xiàn)、有想法、有思路、講出來”的過程，激發(fā)學(xué)生課堂主人翁的意識(shí)，這樣才能有效促進(jìn)課堂的靈動(dòng)性.

教材應(yīng)為學(xué)生提供豐富的問題情境、充分的思考空間，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、推理、交流、反思等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，幫助學(xué)生感悟基本思想，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)［2］.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師必須要牢牢地抓住書本，了解這個(gè)階段學(xué)生的基礎(chǔ)認(rèn)知水平，尋找符合學(xué)生的生活情境，發(fā)揮老師在課堂中的組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用，打造一個(gè)生動(dòng)活潑的課堂，讓學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到自己是學(xué)習(xí)的主人，同時(shí)教師也需要不斷地給自己充電，不斷加強(qiáng)個(gè)人業(yè)務(wù)能力的學(xué)習(xí)，提高自己的專業(yè)化水平和個(gè)人魅力，這樣才能積極調(diào)動(dòng)學(xué)生的自主性、能動(dòng)性和差異性，才能使課堂得到充分的展示.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 齊欣.注重過程教學(xué) 促進(jìn)主體發(fā)展：有理數(shù)加法運(yùn)算律教學(xué)設(shè)計(jì)及反思［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2018（4）：23-26.

［2］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.