模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透策略的研究

郭勝男

摘 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想能促使學(xué)生更好地理解知識的特點(diǎn)與學(xué)習(xí)價值，發(fā)展抽象思維，提高解題能力，形成創(chuàng)新意識.研究發(fā)現(xiàn)，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透模型思想可從以下幾方面著手：擇取背景材料，提出問題 ；選擇教學(xué)方式，構(gòu)造關(guān)系；回歸現(xiàn)實(shí)問題，檢驗(yàn)結(jié)果.

關(guān)鍵詞：模型思想；背景材料；檢驗(yàn)

史寧中教授認(rèn)為：抽象、推理與模型是促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的主要思想，其中，抽象為核心，推理是過程，建模則是關(guān)鍵［1］.建立數(shù)學(xué)模型是指用數(shù)學(xué)語言、圖形或符號等形式對數(shù)學(xué)事物進(jìn)行刻畫、反映與描述的過程，反映了特定問題與具體事物的一般關(guān)系，是促進(jìn)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識、描述具體事物的基本形式.數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)需以具體情境或?qū)嶋H問題為依托，在抽象思想的輔助下進(jìn)行.

1 擇取背景材料，提出問題

問題是數(shù)學(xué)的心臟，高質(zhì)量的問題能順利激活學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的探索欲，促使學(xué)生產(chǎn)生探究行為.同時，問題還能讓學(xué)生有針對性地展開由此及彼的思考與聯(lián)想，讓學(xué)生對相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法理解得更加透徹.基于模型思想滲透的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，該如何引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)并提出有質(zhì)量的問題呢？

鑒于小學(xué)生身心發(fā)展尚未完全成熟，思維模式以直觀形象思維為主，在數(shù)學(xué)教學(xué)時需教師提供或創(chuàng)設(shè)教學(xué)背景，以激發(fā)學(xué)生的主體參與熱情，為提高教學(xué)效率奠定基礎(chǔ)［2］.教學(xué)背景材料的選擇，需根據(jù)知識發(fā)生、發(fā)展的內(nèi)在邏輯性來確定，既可源自學(xué)生的生活實(shí)際，又可進(jìn)行模擬創(chuàng)設(shè).

案例1：“長方形面積公式”的教學(xué)

本節(jié)課的教學(xué)，教師選擇了“如何測量學(xué)校操場面積”為背景材料，要求學(xué)生自主選擇測量方式，提出質(zhì)疑，生成高質(zhì)量的問題，并嘗試自主解決問題.

討論過程中，有學(xué)生根據(jù)自身的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)提出：將大量邊長為1m的泡沫地板鋪在操場上，即可獲得相應(yīng)的面積.這種想法獲得了部分學(xué)生的贊同，但也遭到很多學(xué)生質(zhì)疑.

因此，學(xué)生產(chǎn)生了如下思考：操場的面積可能與什么有關(guān)呢？長方形的面積與什么有關(guān)呢？長和寬與面積有關(guān)系嗎？該如何確定長方形面積中長與寬的關(guān)系呢？

隨著一系列疑惑的形成，學(xué)生正式進(jìn)入探索階段.無需教師的引導(dǎo)，學(xué)生就能沿著幾個關(guān)鍵問題形成了探索意識，產(chǎn)生了探索行為.當(dāng)然，在此過程中教師可從多角度發(fā)揮引導(dǎo)作用，讓學(xué)生的思維逐層深入，提出由淺入深、由表及里的問題.事實(shí)證明，結(jié)合學(xué)情與教情選擇合適的教學(xué)背景材料，往往能實(shí)現(xiàn)有效激勵，讓學(xué)生自主提出高質(zhì)量的問題，為模型思想的建立奠定基礎(chǔ).

2 選擇教學(xué)方式，構(gòu)造關(guān)系

問題一旦明確，則可選擇合適的模型去分析與解決這些問題.解決問題中的“擬定計劃”環(huán)節(jié)的精髓在于啟發(fā)聯(lián)想，學(xué)生在逐層深入的聯(lián)想過程中，通過合理的數(shù)量關(guān)系或結(jié)構(gòu)的構(gòu)造，趨向解決問題.學(xué)生在這種教學(xué)策略的助攻下，不僅能感受到模型思想對解決問題的作用，還能開發(fā)學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，讓數(shù)學(xué)教學(xué)體現(xiàn)出育人功能.

教學(xué)方式的選擇，合理的關(guān)系與結(jié)構(gòu)的構(gòu)造應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：① 對問題本身的理解要深刻.要盡最大可能利用已有的信息來辨別問題中出現(xiàn)的多余信息，發(fā)現(xiàn)缺少的條件，為有序、有效地解決問題奠定思維基礎(chǔ)；② 為學(xué)生提供充足的探索時間與空間.小學(xué)生思維啟動需要一個過程，教師在課堂上應(yīng)耐心等待，讓學(xué)生有更多的機(jī)會表現(xiàn)自己；③ 幫助學(xué)生提升認(rèn)知.數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)模型有一個清晰的認(rèn)識，為知識的遷移作準(zhǔn)備.

案例2：“長方體表面積與體積”的應(yīng)用教學(xué)

當(dāng)學(xué)生對長方體的表面積與體積計算方法有了一定認(rèn)識后，筆者帶領(lǐng)學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)的方式解決下列生活實(shí)際問題：若想用彩紙將8個長是12厘米，寬是4厘米，高也是4厘米的長方體禮品盒包裝在一起，則怎么操作最節(jié)約彩紙？

解決這個生活實(shí)際問題的本質(zhì)：求8個大小一樣的小長方體拼接成一個大長方體的面積問題，拼接方法的異同決定了大長方體表面積的不一樣，若想用最少的彩紙進(jìn)行包裝，則需要探尋到一種表面積最小的拼接方法.

學(xué)生一旦明確了問題的核心，思維就有了方向.在此認(rèn)識的基礎(chǔ)上，學(xué)生通過對長方體模型的擺放，借助a×b×c的形式列表記錄各種拼接方法所獲得的表面積.經(jīng)過多輪嘗試，學(xué)生在直觀觀察與表格分析中探尋出合理的拼接方法.在此基礎(chǔ)上，教師可進(jìn)一步進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué).

師：若利用兩個長、寬、高分別為12、4、4的長方體來拼接大長方體，且讓拼得的長方體面積最小，該怎么操作呢？

生1：可拼成一個長、寬、高分別為12、4、8的大長方體.

師：若將兩個長、寬、高分別為12、4、8的長方體拼接成一個大長方體，且讓拼得長方體的面積值最小，則該怎么操作呢？

生2：可以拼成一個長、寬、高分別為12、8、8的大長方體.

師：若將兩個長、寬、高分別為12、8、8的長方體拼接成一個大長方體，且讓拼得長方體的面積值最小，則該怎么操作呢？

生3：可以拼成一個長、寬、高分別為12、8、16的大長方體.

師：請大家合作交流，通過以上幾個問題，能總結(jié)出怎樣的結(jié)論？

學(xué)生討論并獲得結(jié)論：想將兩個同樣大小的長方體拼接成一個面積最小的大長方體，只要將兩個小長方體面積最大的部分重疊在一起即可，所獲得的大長方體的表面積中有一個最大的數(shù)不會發(fā)生變化，另兩個較小的數(shù)則變成兩倍.

此探索過程在教師的引導(dǎo)與學(xué)生的思考與交流中，根據(jù)小長方體長寬高與所拼得的長方體長寬高的數(shù)量關(guān)系，獲得了一般性的模型，為解決這一類拼接最小面積的問題提供了通性通法，節(jié)約了大量的思考與探索時間.

操作與合作交流相結(jié)合的教學(xué)方式，為長方體表面積與體積的實(shí)際應(yīng)用構(gòu)造了明確的關(guān)系，此過程不僅充分體現(xiàn)了學(xué)生在課堂中的主體地位，還凸顯出操作為促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展提供了良好的平臺的作用，說明實(shí)操對建構(gòu)數(shù)學(xué)模型具有重要意義.

3 回歸現(xiàn)實(shí)問題，檢驗(yàn)結(jié)論

成功建模后還需將所獲得的模型回歸到現(xiàn)實(shí)問題中進(jìn)行檢驗(yàn)，即使用實(shí)際數(shù)據(jù)和觀察現(xiàn)象來驗(yàn)證模型的科學(xué)合理性，以及在實(shí)際問題中的適用性，此為建模必不可少的環(huán)節(jié)之一［3］.只有經(jīng)過檢驗(yàn)且符合實(shí)際的模型，才能應(yīng)用到實(shí)際問題中去.未經(jīng)驗(yàn)證的模型只能算得上是一種猜想，無法直接使用.

案例3：“列方程解決問題”的教學(xué)

當(dāng)學(xué)生具備了列方程解決簡單的實(shí)際問題的能力后，要求學(xué)生探索如下問題：

已知有紅黃綠三種顏色的繩子各一根，三根繩子的全長為3.6米，紅繩長度為黃繩長度的3倍，而黃繩長度又是綠繩長度的2倍，求這三種繩子分別有幾米.

巡視過程中，筆者發(fā)現(xiàn)有學(xué)生呈現(xiàn)出如下解題過程：假設(shè)綠繩長度為x米，列式為x×3×2=3.6，解出x=1.2，2x=2.4，3x=3.6，由此可確定綠、黃、紅繩的長度分別為1.2m、2.4m、3.6m.

該結(jié)論是否正確呢？還需要通過檢驗(yàn)來確定.從本題條件出發(fā)，三根繩子的總長度為3.6m，而該生所解得的紅繩長度就有3.6m，顯然與題意并不相符.由此也能確定這種解題方法是錯誤的，至于錯誤的原因與解決措施，需進(jìn)一步探討.

想要解決這一類問題，可從直觀的示意圖出發(fā)，通過圖示往往能一目了然地發(fā)現(xiàn)三根繩子長度之間存在的數(shù)量關(guān)系.依然將綠繩的長度設(shè)為x，構(gòu)造出式子x+2x+6x=3.6，由此可獲得結(jié)論.

總之，滲透模型思想需經(jīng)歷漫長的過程.教師不僅要明確模型思想的內(nèi)涵、教育價值和主要特點(diǎn)等，還要充分了解學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，只有將兩者有機(jī)地融合在一起，才能讓學(xué)生體驗(yàn)到模型思想的本質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第5輯）——自然界中的數(shù)學(xué)模型［M］.長春：東北師范大學(xué)出版社，2012.

［2］ 張和平，裴昌根，宋乃慶.小學(xué)生幾何直觀能力測評模型的構(gòu)建探究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2017（5）：49-53.

［3］ M·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第四冊）［M］.上海：上?？萍汲霭嫔?，1979.