借助幾何畫板滲透數(shù)學思想方法的措施

[摘? 要] 自“雙減”政策推行以來，“減負增效”的理念根植于教學的每個環(huán)節(jié). 其中，對于如何借助信息技術手段挖掘教學中蘊含的數(shù)學思想方法，成了廣大教育工作者普遍關心的重要課題. 研究者經(jīng)過潛心探索與實踐，取得了一定的成效. 現(xiàn)從數(shù)學思想方法的理論基礎出發(fā)，結合一些課例，談談利用幾何畫板輔助初中數(shù)學教學，滲透數(shù)形結合、分類討論與化歸等思想方法的具體措施.

[關鍵詞] 幾何畫板;數(shù)學思想方法;數(shù)學教學

作者簡介：林小梅（1983—），本科學歷，中學一級教師，從事初中數(shù)學教學與研究工作.

新課標提出，教師應加強知識與學生生活經(jīng)驗的聯(lián)系，通過實驗、嘗試與操作等手段，揭示知識的內(nèi)涵，體現(xiàn)知識所蘊含的數(shù)學思想[1]. 實踐證明，借助幾何畫板開展教學活動，是滲透各類數(shù)學思想行之有效的方法，尤其在“雙減”的背景下，幾何畫板的應用從真正意義上實現(xiàn)了“減負增效”的作用.

數(shù)學思想方法觀念的界定

數(shù)學思想是指現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關系在人腦中的反映，是人類思維活動所產(chǎn)生的結果，它是人類從本質上認識數(shù)學現(xiàn)象與規(guī)律的有效途徑. 從狹義的角度來分析，初中階段所涉及的數(shù)學思想是最基本、最淺顯，也是最常見的，它們都是在某些具體的數(shù)學事物認識過程中所提煉出來的觀點或結論，并在后繼學習活動與反復應用中得以證實;從廣義的角度來看，數(shù)學思想泛指一些內(nèi)容豐富、意義重大、體系完整的教學成果[2].

數(shù)學思想與數(shù)學方法相比，數(shù)學方法是解決問題程序、步驟或格式，是數(shù)學思想實施的基本手段. 結合在一起分析，數(shù)學思想方法具有顯著的層次性、過程性與可操作性等特征. 這兩者既是辯證統(tǒng)一的關系，又有著一定的差異性. 差異性主要體現(xiàn)在：數(shù)學思想是數(shù)學方法的核心，具有指導意義;而數(shù)學方法為數(shù)學思想的表現(xiàn)形式，數(shù)學方法更指向于實踐.

簡而言之，數(shù)學思想是內(nèi)隱的，具有普遍性與概括性等特征，相對深刻;數(shù)學方法是外顯的，有著具體性與操作性等特征. 兩者因同屬“方法論”的范疇，常被大眾統(tǒng)稱為數(shù)學思想方法.

借助幾何畫板滲透數(shù)學思想方法的措施

隨著時代的發(fā)展與科技的進步，信息技術已然成為課堂教學必不可少的輔助設施. 幾何畫板作為信息技術的一個分支，在數(shù)學教學中具有重要作用，它可將抽象、深奧的數(shù)學知識轉化成直觀形象的圖象，刺激學生的視覺，啟發(fā)學生的思維，促進學生更加形象、深刻地理解相關知識，培養(yǎng)數(shù)學思想方法.

1. 借助幾何畫板，滲透數(shù)形結合思想方法

數(shù)形結合思想方法作為最基本的數(shù)學思想方法之一，是指將數(shù)學事物的數(shù)量關系與幾何圖形有機地結合在一起進行研究的方法，這也是將形象思維與抽象思維結合于一體的解題方案. 初中階段會涉及一些難以直接解決的代數(shù)問題，教師可以引導學生借助幾何畫板的畫圖功能，體現(xiàn)出代數(shù)的幾何意義，從而探究其知識本質，這種幾何畫板的應用為解題帶來了極大的便利.

例1? 已知代數(shù)式+存在最小值，求x的取值與該最小值.

（1）教學構思.

從代數(shù)式本身來看，學生很難直接獲得結論，為此，教師應想辦法賦予該代數(shù)式幾何意義，便于學生理解與分析. 從建立直角坐標系的角度出發(fā)，教師可讓學生將表示成x軸上的某一點和點（1，4）之間的距離，如此將原問題轉化為：求x軸上某一點到兩定點的距離之和的最小值. 這樣，借助幾何畫板的測量功能，可獲得最小值，讓學生形成猜想，再加以驗證.

（2）操作過程.

①建構平面直角坐標系，分別描出點A（1，4），B（4，2）;

②在x軸上描出點P，構造線段PA與PB，并測量這兩根線段的長，在幾何畫板上顯示出PA+PB的值;

③用鼠標拖動點P，顯示點P的坐標，并測量PA+PB的值;

④點P位于x軸上左右移動，并觀察PA+PB值的變化情況，當值到達最小時，則停止運動，并記錄下此刻點P的具體坐標;

⑤構造一條射線AP，反射后經(jīng)過點B，此時得到點B關于x軸對稱的點B′.

（3）提出問題.

①觀察幾何畫板上呈現(xiàn)的圖象，找出點B′是否在射線AP上;

②結合上一問，說說不通過實驗驗證，該怎樣通過作圖法快速找到點P，使得PA+PB的值最??？怎么證明？

③如何用三點A（1，4），B（4，2），P（x，0）的坐標值來表示PA+PB的值？結合圖象分析，當x取值多少時，PA+PB的值最??？

（4）教學分析與思考.

數(shù)和形作為數(shù)學研究的主要對象，在特定條件下具有互相轉化與滲透的功能. 本教學過程，巧妙地通過平面直角坐標系的建立，將代數(shù)式最小值的問題轉化成線段最小值的問題來分析. 隨著幾何畫板將線段之和最小時點的坐標固定下來，問題也就水落石出了.

幾何畫板將靜態(tài)的代數(shù)問題轉化成動態(tài)的幾何問題，讓學生從視覺上直接感知所獲得的點P坐標具有特殊的意義. 第一個問題，在于引導學生觀察圖形，發(fā)現(xiàn)點B′恰巧落于射線AP上;第二個問題，在于引導學生想辦法通過對稱點快速找到點P;第三個問題，在于引導學生通過線段最小值的發(fā)現(xiàn)，獲得代數(shù)式的最小值.

綜上可見，幾何畫板的介入，讓初中數(shù)學教學變得更加便捷. 尤其是枯燥的代數(shù)問題，在幾何畫板的轉化下，變成了直觀可視的幾何問題，這為學生的思維開辟了一條新的道路，使得原本復雜、抽象的問題變得簡單.

當然，數(shù)與形的轉化是相互的，除了可以將抽象的數(shù)轉化成直觀的形外，還可以將一些圖形問題抽象成具體的數(shù). 實踐證明，數(shù)形結合思想方法是解決數(shù)學問題的基礎，它能更好地促進知識的實際應用與科技的發(fā)展.

2. 借助幾何畫板，滲透分類討論思想方法

分類討論思想方法是指根據(jù)數(shù)學研究對象性質上的差異，按照一定的標準將研究對象分為幾類不同的情況進行逐個研究與解決的過程. 這種數(shù)學思想方法是解決數(shù)學問題的重要思想之一，它能確保思維的全面性，避免解題過程中出現(xiàn)遺漏現(xiàn)象. 在初中數(shù)學中，分類討論思想方法存在于整式、方程、函數(shù)與圖形等相關內(nèi)容中，真可謂無處不在.

例2? 探究圓周角定理.

（1）教學構思.

探究圓周角定理需對圓心與圓周角不同的位置關系，進行分類驗證. 教學中，教師可帶領學生借助幾何畫板的測量與動態(tài)演示功能，讓學生發(fā)現(xiàn)：一條弧所對的圓周角，在任何時候都與它所對的圓心角的一半是相等的關系.

（2）操作過程.

①在幾何畫板上先作一個☉O，且在該圓上任意取一條AB弧，畫出該弧所對的圓心角∠AOB，以及該弧所對的任意一個圓周角∠APB;

②任意移動點P，并觀察點P在活動過程中，圓心和圓周角的位置具備怎樣的關系;

③在幾何畫板上重新作一個☉O，并在該圓上任意取點A，B，P，分別連接OA，OB，AP，BP，于圓周上拖動點A或P，讓圓心O位于∠APB的內(nèi)部，此時分別測量∠APB與∠AOB的大小;

④在圓周上拖動點A或P，讓圓心O處于∠APB的一條邊上，觀察此過程中∠APB與∠AOB的變化情況;

⑤在圓周上拖動點A或P，讓圓心O處于∠APB的外面，觀察此過程中∠APB與∠AOB的變化情況.

（3）提出問題.

①觀察圖形的變化過程，我們發(fā)現(xiàn)圓心O和圓周角∠APB之間存在幾種位置關系？（此問在完成操作的第二步后提出）

②通過對以上操作的觀察，大家會得出什么結論？

（4）教學分析與思考.

實際操作過程中，首先改變圓周角頂點的位置，讓學生獲得以下結論：雖然以圓上的任意點作為頂點的圓周角存在無數(shù)個，但這無數(shù)個圓周角和圓心之間的位置關系卻只有三種，即圓心位于圓周角的一邊上、外部和內(nèi)部.

據(jù)此，通過分類驗證法，發(fā)現(xiàn)同弧所對的圓周角與其所對的圓心角之間存在怎樣的數(shù)量關系，獲得“一條弧所對的圓周角與其所對圓心角的一半是相等的關系”的結論. 在幾何畫板的輔助下，通過分類討論思想方法，使原本抽象的圓周角定理變得簡潔明了. 可見分類討論思想方法在解決數(shù)學問題中具有重要作用，它能讓探索問題的過程中變得更具條理性.

3. 借助幾何畫板，滲透化歸思想方法

化歸思想方法是指將待解決的問題轉化歸結成另一種學生更容易接受或解決的問題來分析，這種數(shù)學思想方法主要包含轉化與歸結兩層含義. 如圖形運動類問題，這是初中數(shù)學教學的一個難點，若讓學生從問題條件出發(fā)尋找解題的途徑，難度很大. 若借助數(shù)學化歸思想方法將問題“化動為靜”，則能出現(xiàn)柳暗花明之效.

教師借助幾何畫板的演示功能，將數(shù)學圖形運動過程中的幾種情況展示出來，可讓學生快速發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，為解決問題提供突破口.

例3? 連接正方形ABCD的兩條對角線，交點為O，而點O恰巧是正方形OABC的一個頂點，且這兩個正方形的邊長為相等的關系. 將正方形OABC圍繞點O進行旋轉，旋轉過程中，兩正方形重疊部分的面積會發(fā)生改變嗎？若變化，說說是怎么變化的;若不變，則重疊部分的面積是多少？

（1）教學構思.

教師借助幾何畫板，利用其測量功能進行正方形旋轉演示的制作，可讓學生從直觀的圖形中，觀察到兩個正方形重疊部分面積的變化情況，為形成猜想提供依據(jù).

（2）操作過程.

①在幾何畫板上畫出滿足題設條件的兩個正方形，并分別測量正方形ABCD與四邊形EBFO（兩正方形的重疊部分）的面積，記錄下來;

②按照題設條件旋轉正方形OABC，使得∠AOA1分別為0°，45°，90°，135°，180°，并在對應的每個度數(shù)的位置測量一次四邊形EBFO的面積，記錄下來;

③觀察圖形旋轉演示過程中所記錄的數(shù)據(jù).

（3）提出問題.

①通過以上實驗的測量和分析，大家可以初步獲得什么結論？

②結合以上操作，我們猜想兩正方形面積與其重疊部分面積之間是否存在什么聯(lián)系？

③如何驗證這個結論？

（4）教學分析與思考.

轉動正方形OABC時，兩正方形重疊部分的形狀也隨之發(fā)生了變化，至于面積到底有沒有發(fā)生變化，僅憑借大腦思考很難辨別，直接觀察動態(tài)圖也難以得出結論. 鑒于此，教師借助幾何畫板的演示功能，讓圖形旋轉時在不同的節(jié)點逗留，方便學生測量出重疊部分的面積.

通過對第一個問題的思考，學生結合所測量出來的數(shù)據(jù)，輕而易舉地獲得在這幾個特殊節(jié)點，兩正方形重疊部分的面積始終沒有發(fā)生變化;第二個問題讓學生通過對所測得的數(shù)據(jù)進行分析，獲得重疊部分的面積恰好是正方形面積的1/4;第三個問題則引導學生進一步從理論上去驗證所獲得的結論.

借助幾何畫板的作用，學生不僅自主探索出問題的結論，還結合認知結構從理論上加以驗證. 這種方法不僅規(guī)避了探索問題的盲目性，還大大提高了解題效率，同時使數(shù)學化歸思想方法在學生自主探索、猜想與驗證中得以有效發(fā)展.

思考

數(shù)學思想方法種類有很多，除了以上幾種外，常見的還有函數(shù)思想方法、方程思想方法、模型思想方法等. 數(shù)學思想方法是人類認識數(shù)學理論本質的基礎，也是促進數(shù)學學科科學發(fā)展的根本. 借助幾何畫板的功能，滲透、培養(yǎng)學生的數(shù)學思想方法，是幫助學生串聯(lián)數(shù)學知識、理解數(shù)學內(nèi)涵的基本手段.

中學數(shù)學教育的本質是數(shù)學思想方法的教育，掌握數(shù)學思想方法就掌握了數(shù)學的精髓. 作為一線的數(shù)學教師，應利用好現(xiàn)代化的信息技術手段，借助幾何畫板等工具，加強知識間的縱橫聯(lián)系，讓學生感知數(shù)學思想方法的來龍去脈，建構完整的認知體系，以達到融會貫通的目的.

教學設計時，教師應將教學內(nèi)容與數(shù)學思想方法聯(lián)系到一起進行分析，從真正意義上揭示知識的內(nèi)涵，讓學生高屋建瓴地掌握知識的本質[3]. 同時，還要引導學生形成追根溯源的習慣與刨根問底的精神，如此才能更好地揭露數(shù)學思想方法的發(fā)生與形成過程. 鑒于數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科，需要學生擁有善于思考與求實的品質，借助幾何畫板能為各種猜想與數(shù)學驗證提供直觀的依據(jù)，對揭示問題的內(nèi)涵具有直接的輔助作用.

總之，幾何畫板強大的作圖、測量與演示功能，在解決數(shù)學問題上具有得天獨厚的優(yōu)勢，它不僅具有化未知為已知的功能，而且對解題具有明確的導向作用，更重要的是能滲透數(shù)學思想方法，助力學生理解問題的本質. 鑒于此，教師應緊跟時代發(fā)展的步伐，不斷地提高自身的業(yè)務水平，更新教學手段，將數(shù)學思想方法滲透落實到教學的每一個環(huán)節(jié)中.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]史寧中. 數(shù)學思想概論第5輯——自然界中的數(shù)學模型[M]. 長春：東北師范大學出版社，2012.

[3]曹才翰，章建躍. 中學數(shù)學教學概論[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.