深挖知識(shí)內(nèi)涵,促進(jìn)高位發(fā)展

[摘? 要] “雙減”政策的穩(wěn)步推進(jìn)，離不開深度教學(xué)的支持，教師結(jié)合新課標(biāo)創(chuàng)設(shè)有深度的教學(xué)活動(dòng)，深挖知識(shí)內(nèi)涵是促進(jìn)學(xué)生高位發(fā)展的基礎(chǔ). 文章從“深挖課標(biāo)要求，建構(gòu)知識(shí)體系”“深挖知識(shí)內(nèi)涵，形成深入思考”“深挖基本技能，促進(jìn)思維發(fā)展”“深挖操作內(nèi)涵，滲透數(shù)學(xué)思想”等方面展開闡述.

[關(guān)鍵詞] 深度教學(xué);“雙減”;發(fā)展

作者簡(jiǎn)介：邱玉霞（1975—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

2021年，“雙減”政策橫空出世，掀起了一股新的教育改革浪潮，如何在有限時(shí)間內(nèi)獲得教育教學(xué)效益的最大化，成了每個(gè)教育工作者不得不思考的問題. 深挖知識(shí)內(nèi)涵不僅是教師業(yè)務(wù)水平的體現(xiàn)，更是提高教學(xué)效率、促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)形成的基礎(chǔ). 基于此，筆者結(jié)合自身多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，從幾個(gè)實(shí)例出發(fā)，對(duì)如何深挖知識(shí)內(nèi)涵，促進(jìn)學(xué)生高位發(fā)展談一些拙見.

深挖課標(biāo)要求，建構(gòu)知識(shí)體系

課標(biāo)是各學(xué)科專家發(fā)揮的集體智慧，在國(guó)家教育方針與實(shí)際需求的基礎(chǔ)上對(duì)課程內(nèi)容、理念、性質(zhì)等的研制，對(duì)教學(xué)具有明確的指導(dǎo)意義. 教師只有深度理解課標(biāo)要求，從宏觀上研判知識(shí)結(jié)構(gòu)，才能設(shè)計(jì)出科學(xué)合理的教學(xué)流程，幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識(shí)體系.

案例1? “一次函數(shù)”教學(xué).

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）對(duì)本節(jié)課教學(xué)提出的知識(shí)主體性要求為：了解一次函數(shù)的定義、圖象、解析式，在此基礎(chǔ)上運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，運(yùn)用一次函數(shù)的圖像與解析式的性質(zhì)等解決實(shí)際問題. 如圖1所示，通過對(duì)課程內(nèi)容邏輯結(jié)構(gòu)與目標(biāo)的梳理，教師可將與一次函數(shù)相關(guān)的概念，以“十字模型”的形式展示出來，讓學(xué)生站在新的高度了解教學(xué)內(nèi)容，為建構(gòu)完整的知識(shí)體系奠定基礎(chǔ).

結(jié)合新課標(biāo)要求，教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了梳理、整合，深度理解編者的意圖，讓學(xué)生明確哪些概念與一次函數(shù)在邏輯上有著緊密聯(lián)系. 理清整個(gè)知識(shí)脈絡(luò)，不僅利于課程目標(biāo)的落實(shí)，還能讓學(xué)生抓住知識(shí)間的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，從高位建構(gòu)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，為數(shù)學(xué)整體思想的形成奠定基礎(chǔ).

深挖知識(shí)內(nèi)涵，形成深入思考

初中數(shù)學(xué)課程，既有難度較大的如“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”“全等三角形的判定”等內(nèi)容，也存在一些如“直線、線段、射線”等容易理解的內(nèi)容，有些教師對(duì)于“簡(jiǎn)單”的內(nèi)容并不重視，認(rèn)為學(xué)生只要自己看一看就會(huì)，根本就不需要花費(fèi)太多的時(shí)間與精力去深入探究，而應(yīng)將時(shí)間花費(fèi)在難度較大的內(nèi)容上. 殊不知，一些看似簡(jiǎn)單的內(nèi)容背后往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思考能力與思維習(xí)慣具有深遠(yuǎn)的影響.

案例2? “線段、射線、直線”教學(xué).

線段、射線、直線對(duì)學(xué)生來說并不陌生，將這些內(nèi)容放在平面幾何的起始階段學(xué)習(xí)，是因?yàn)榫€段、射線、直線本身就屬于幾何圖形，又是構(gòu)成其他復(fù)雜圖形的基本要素，三者間既有密切關(guān)系，又存在本質(zhì)上的區(qū)別，其概念、畫法、性質(zhì)以及表達(dá)方法等都是幾何學(xué)習(xí)不可或缺的基礎(chǔ).

教師不能因?yàn)閮?nèi)容簡(jiǎn)單而忽視本節(jié)課的教學(xué)，而應(yīng)從最基礎(chǔ)的概念開始，引導(dǎo)學(xué)生逐步感知幾何研究的基本方法，即從大小、形狀、位置關(guān)系等角度去探索，幫助學(xué)生建構(gòu)完整的研究習(xí)慣.

本節(jié)課中，教師可以在學(xué)生原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生深入理解線段、射線與直線，從根本上認(rèn)清“兩點(diǎn)確定一條直線”的事實(shí)，深刻理解“確定”一詞的唯一性與存在性. 除此之外，還要引導(dǎo)學(xué)生感知幾何語言的實(shí)際應(yīng)用，學(xué)會(huì)用恰當(dāng)?shù)奈淖只蚍?hào)來表述相應(yīng)的圖形，并理解兩者間的關(guān)系.

基于以上分析，若能挖掘出可以深度思考的內(nèi)容，教學(xué)就不再那么簡(jiǎn)單了，教學(xué)設(shè)計(jì)也有了一定的厚度，如“問題串”的應(yīng)用，可逐步引發(fā)學(xué)生深入思考，為促進(jìn)學(xué)生的高位發(fā)展奠定基礎(chǔ).

問題1：請(qǐng)大家分別說說對(duì)線段、射線與直線的認(rèn)識(shí);

問題2：請(qǐng)大家分別畫一條線段、射線與直線，并說說你們的想法;

問題3：對(duì)于你們畫出的不同的線段、射線與直線，該怎么區(qū)分呢？

問題4：既然大家對(duì)線段、射線、直線的文字、圖形、符號(hào)表達(dá)已經(jīng)有了一定的了解，現(xiàn)在請(qǐng)大家說說直線與其他圖形有怎樣的關(guān)系.

問題5：觀察圖2，說說畫圖過程是怎樣的.

設(shè)計(jì)意圖 問題1意在喚醒學(xué)生原有認(rèn)知，為找出知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)做準(zhǔn)備;問題2從說到畫，意在讓學(xué)生從“形”的角度，尋找出線段、射線、直線之間的區(qū)別與聯(lián)系，并能從圖形的形狀與大小的角度進(jìn)行描述，自然而然地引出“延長(zhǎng)（線）”“反向延長(zhǎng)（線）”等概念;問題3則進(jìn)入了符號(hào)語言的探索階段. 前三個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生從圖形的形狀與大小出發(fā)，親歷圖形語言、文字語言與符號(hào)語言的發(fā)展過程，為接下來探究圖形的位置關(guān)系夯實(shí)基礎(chǔ). 問題4的設(shè)計(jì)，意在讓學(xué)生從“點(diǎn)線”“線線”的角度思考圖形的基本位置關(guān)系，這里會(huì)涉及線段與直線、射線與線段等之間的關(guān)系;問題5需要學(xué)生將圖形語言直接轉(zhuǎn)化為文字語言與符號(hào)語言的規(guī)范表達(dá)，這存在一定的難度，對(duì)學(xué)生的邏輯思維提出了較高的要求.

循序漸進(jìn)的“問題串”，不僅讓學(xué)生通過自主探索發(fā)現(xiàn)線段、射線與直線的準(zhǔn)確表達(dá)方法，并對(duì)三者間的區(qū)別與聯(lián)系形成了理性認(rèn)識(shí)，還有效地啟發(fā)了學(xué)生的思維，讓學(xué)生親身體驗(yàn)了平面幾何圖形的基本研究方法，形成了深入思考的能力，為后續(xù)幾何問題的研究奠定了基礎(chǔ).

深挖基本技能，促進(jìn)思維發(fā)展

數(shù)學(xué)技能是通過學(xué)習(xí)而形成的合乎法則規(guī)定的數(shù)學(xué)活動(dòng)方式，屬于動(dòng)作經(jīng)驗(yàn)的范疇. 一般分為操作（測(cè)量、作圖、運(yùn)算工具等）技能和心智（審題、解析、檢驗(yàn)、運(yùn)算等）技能，數(shù)學(xué)技能是數(shù)學(xué)活動(dòng)不可或缺的內(nèi)在調(diào)節(jié)機(jī)制，屬于數(shù)學(xué)基本結(jié)構(gòu)的組成部分，亦是解決問題的充要條件. 然而，有些教師對(duì)于一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)技能并不重視，認(rèn)為學(xué)生只要通過大量的訓(xùn)練即可達(dá)成預(yù)期目標(biāo).

教學(xué)實(shí)踐告訴教師，數(shù)學(xué)技能的形成與發(fā)展并非通過機(jī)械簡(jiǎn)單重復(fù)的訓(xùn)練即可達(dá)成，而應(yīng)從其本質(zhì)與內(nèi)涵出發(fā)，挖掘出技能背后的數(shù)學(xué)思維，才能從真正意義上促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展.

案例3? “同底數(shù)冪的乘法”教學(xué).

同底數(shù)冪乘法公式的推導(dǎo)并不復(fù)雜，應(yīng)用也較為單一，但同底數(shù)冪乘法的背后卻蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重要的理性思維，這是不容小覷的事實(shí). 因此，筆者在教學(xué)前做了如下分析：

冪的運(yùn)算作為“式的運(yùn)算”中的一個(gè)分支，從學(xué)生的角度來看，屬于單項(xiàng)式范疇，因?yàn)樵趯W(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，a2，a3都屬于冪，且均為單項(xiàng)式. 既然學(xué)生已經(jīng)掌握了單項(xiàng)式的運(yùn)算，為什么還要將“冪的運(yùn)算”單獨(dú)列出來研究呢？這是因?yàn)樨?fù)指數(shù)的出現(xiàn)打破了學(xué)生原有的認(rèn)識(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)冪并不一定是整式，因此需要將“冪的運(yùn)算”單獨(dú)列出來研究.

從數(shù)學(xué)一致性的角度來看，冪的運(yùn)算與其他運(yùn)算類似，應(yīng)該也有加減乘除、乘方等運(yùn)算，為什么本章節(jié)卻沒有提到冪的加減運(yùn)算呢？因?yàn)橹挥型讛?shù)同指數(shù)（數(shù)字除外）的冪才可加減，運(yùn)算法則就是“合并同類項(xiàng)”，即整式加減. 本節(jié)課所研究的運(yùn)算技能（乘法）稱為“同底數(shù)冪相乘”，為什么不稱為“冪的乘法”呢？究竟是如何想到將兩個(gè)同底數(shù)冪進(jìn)行相乘的？

只有將以上的思維過程充分暴露給學(xué)生，并帶領(lǐng)學(xué)生逐條去探索、分析，才能讓學(xué)生從真正意義上掌握同底數(shù)冪乘法的來龍去脈，為后期的靈活應(yīng)用打牢根基. 基于以上思考，本節(jié)課需要解決的問題太多了，絕非簡(jiǎn)單的三言兩語就能完成教學(xué)任務(wù). 因此，筆者設(shè)計(jì)了如下開放有度的問題，以啟發(fā)學(xué)生的思維.

問題1：已知光在真空中的傳播速度為3×108 m/s，在真空中穿行一年的距離為1光年.

（1）若一年以3×107 s來算，求1光年的距離.

（2）若銀河系的直徑為10萬光年，約為多少千米？

（3）假設(shè)一架客機(jī)的飛行速度是1000 km/h，光速是這架客機(jī)速度的多少倍？

問題2：什么是冪？我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過哪些運(yùn)算？

問題3：嘗試自主探索冪的加減法，說說你的探索思路.

問題4：自主研究?jī)绲某朔?，并說說研究過程.

設(shè)計(jì)意圖 問題1的應(yīng)用，除了讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)“冪的運(yùn)算”的必要性外，還讓學(xué)生感知冪的乘法運(yùn)算可以結(jié)合乘方的意義進(jìn)行，就是煩瑣一些;問題2意在讓學(xué)生明確本節(jié)課的研究對(duì)象，并主動(dòng)發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)間的聯(lián)系與區(qū)別，為接下來的研究活動(dòng)奠定基礎(chǔ);問題3屬于學(xué)生探索過程中動(dòng)態(tài)生成的產(chǎn)物;問題4則是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，屬于前幾問研究的自然生成與提煉部分.

前三問的探索，能讓學(xué)生感知冪的加法運(yùn)算不是在所有情況下都可以進(jìn)行的，這樣的認(rèn)識(shí)為冪的乘法運(yùn)算的研究做好了鋪墊. 冪存在底數(shù)和指數(shù)，因此在研究過程中，應(yīng)對(duì)“加法”進(jìn)行分類討論，所應(yīng)用的法則為整式的加法法則.

由淺入深的問題驅(qū)動(dòng)，使得學(xué)生的思維拾級(jí)而上呈現(xiàn)螺旋式上升. 尤其在前三問充分理解的基礎(chǔ)上研究問題4，由于學(xué)生的思維已經(jīng)處于一個(gè)較高的階層，研究?jī)绲某朔ǚ▌t能實(shí)現(xiàn)自主分類、猜想與驗(yàn)證，因此深挖數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本技能，是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的關(guān)鍵.

深挖操作內(nèi)涵，滲透數(shù)學(xué)思想

實(shí)踐操作是知識(shí)的再創(chuàng)造與再發(fā)現(xiàn)的過程，對(duì)新知的建構(gòu)與數(shù)學(xué)思想的形成具有重要意義. 但有些教師對(duì)操作的認(rèn)識(shí)仍不充分，認(rèn)為操作與考試沒有多大關(guān)系，常以視頻演示的方式一帶而過，或干脆讓學(xué)生自己操作“玩一玩”. 殊不知，數(shù)學(xué)思想方法是在活動(dòng)過程中迸發(fā)出來的，且隨著活動(dòng)的精細(xì)度與復(fù)雜度逐漸加深，朝著更高級(jí)的形態(tài)發(fā)展. 陶行知先生的“做中學(xué)”理念在教學(xué)中取得的成就，就是對(duì)實(shí)踐操作重要性的最好詮釋.

案例4? “豐富的圖形世界”教學(xué).

七巧板是學(xué)生熟悉的益智玩具，具有激趣、啟智等作用，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的形狀概念、視覺辨析能力以及手眼協(xié)調(diào)性等有著重要影響. 將七巧板相關(guān)的內(nèi)容安排在初一階段，有些教師認(rèn)為這個(gè)操作活動(dòng)過于簡(jiǎn)單，而且考試又不會(huì)考，便選擇一帶而過的教學(xué)方式. 其實(shí)，利用好七巧板的教學(xué)功能，不僅能讓學(xué)生感知圖形間的形狀、位置、大小等關(guān)系，還能形成用數(shù)學(xué)的眼光、語言與思維看待事物的能力.

為了利用本節(jié)操作課發(fā)展學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，筆者特精心設(shè)計(jì)了一系列有深度又有高度的問題與操作活動(dòng)，以啟發(fā)學(xué)生的思維.

問題：七巧板是大家熟悉的玩具，它是由哪些圖形組成的？各個(gè)圖形之間有什么聯(lián)系與區(qū)別？

操作1：請(qǐng)用一張紙制作一組完整的七巧板;

操作2：請(qǐng)大家利用自己制作出來的七巧板拼搭出你自己滿意的圖形，并在組內(nèi)交流拼圖過程;

操作3：將你的拼圖過程口述展示給全體學(xué)生，看看大家能否拼出與你一樣的圖形.

設(shè)計(jì)意圖 問題的提出，主要是為了引導(dǎo)學(xué)生理性分析七巧板中每塊圖形的大小與形狀，為接下來的操作活動(dòng)奠定基礎(chǔ). 學(xué)生在解讀各個(gè)圖形的要素時(shí)，不僅鞏固了對(duì)圖形研究的常規(guī)思路與方法，還進(jìn)一步提煉了數(shù)學(xué)語言.

操作1是由經(jīng)驗(yàn)到實(shí)踐的過程，此環(huán)節(jié)意在培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，既是對(duì)問題經(jīng)驗(yàn)的驗(yàn)證，也為接下來的活動(dòng)操作提供了工具;操作2的拼圖已經(jīng)不是簡(jiǎn)單的拼圖，而是讓學(xué)生帶有審美的觀念去拼出自己滿意的圖形，具有滲透“數(shù)學(xué)美”的目的;操作3的設(shè)計(jì)，以訓(xùn)練學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)想法的能力.

陶行知先生認(rèn)為，做是教的中心，也是學(xué)的中心，“做數(shù)學(xué)”是讓學(xué)生在實(shí)踐中體驗(yàn)、思考、感悟與創(chuàng)造的過程，也是滲透各類數(shù)學(xué)思想方法的主要途徑. 學(xué)生拼七巧板的過程既能鍛煉自身動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口的能力，還能有機(jī)地融合數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)七巧板的數(shù)與形形成更高層次的認(rèn)識(shí).

總之，充分挖掘課標(biāo)與教學(xué)內(nèi)容背后所隱含的教學(xué)價(jià)值，帶領(lǐng)學(xué)生親歷豐富的實(shí)踐活動(dòng)，不僅能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的高速發(fā)展，還能幫助學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思想方法，從真正意義上體現(xiàn)出數(shù)學(xué)教學(xué)的“育人”價(jià)值，為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展奠定基礎(chǔ).