在“多拿少給”活動中親歷數(shù)學(xué)建模

一、課前思考——基于素養(yǎng)整體建構(gòu)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：讓學(xué)生經(jīng)歷將具體問題數(shù)學(xué)化的過程，初步形成模型思想，體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界的緊密聯(lián)系，發(fā)展抽象能力、推理能力和應(yīng)用能力。在課堂教學(xué)中讓學(xué)生了解和經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的形成過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材利用數(shù)學(xué)廣角系統(tǒng)，有步驟地滲透數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、操作、推理、交流等活動，抽象出數(shù)學(xué)模型，初步感受數(shù)學(xué)思想方法的作用。

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級下冊的“鴿巢問題”，也叫抽屜原理，是組合數(shù)學(xué)的重要原理?！傍澇矄栴}（抽屜原理）”揭示了事物的一種“存在性”，它蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如抽象、推理和模型思想，數(shù)形結(jié)合、列舉法、假設(shè)法、分類等數(shù)學(xué)思想方法也有體現(xiàn)。教材編排了三個例題，以學(xué)生常見的、可操作的事物為素材，讓學(xué)生借助實(shí)際操作理解鴿巢問題的一般原理。第1個例題是n＋1只鴿子，飛進(jìn)n個籠子里，不管怎么樣，總有一個籠子里至少有2只鴿子的結(jié)論。例題2是a只鴿子，飛進(jìn)b個籠子，每個籠子c只鴿子，余d只鴿子，不管怎樣，總有一個籠子至少有c＋1只鴿子的結(jié)論。例題3是抽屜原理應(yīng)用的逆思考，這部分內(nèi)容非常抽象，學(xué)生對原理的掌握看似全面，但理解不夠深刻透徹。

在當(dāng)前大單元整體教學(xué)的背景下，如何進(jìn)行本單元幾個例題的教學(xué)？如何調(diào)動學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)思維上的跨越以及模型的有效建構(gòu)呢？教師可以從單元視角對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整體思考與設(shè)計(jì)，將例1和例2的內(nèi)容進(jìn)行整合串聯(lián)，幫助學(xué)生體會假設(shè)法和模型法，讓學(xué)生親歷建模過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想。

二、教學(xué)實(shí)踐——重視思想，提煉模型

（一）創(chuàng)設(shè)情境，感知模型

師：老師帶了3支漂亮的筆作為獎品，現(xiàn)在想獎給你們認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)表現(xiàn)最棒的一個同學(xué)，但又想留部分獎品給本節(jié)課表現(xiàn)優(yōu)秀的同學(xué)。咱們來玩?zhèn)€游戲，老師如果把這3支筆任意分開放入2個筆筒中，想一想，你們會選擇哪個筆筒？至少可以拿走幾支筆？

生（先思考片刻）：不管老師怎么放，總有一個同學(xué)至少可以拿走2支筆。

師：至少表示什么意思？

生：可以拿走2支，或2支以上。

（教師演示驗(yàn)證）

師（小結(jié)）：3支筆任意放入兩個筆筒中，總有一個筆筒里至少有2支筆。

師：總有表示什么意思？

生：不論第一個筆筒還是第二個筆筒，肯定有一個筆筒至少有2支筆。

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)模型都具有現(xiàn)實(shí)的生活背景。教學(xué)中，教師從兒童視角出發(fā)，創(chuàng)設(shè)“發(fā)獎品”活動情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時引入本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容?！鞍l(fā)獎品”是學(xué)生熟悉的、簡單的情境，因?yàn)閷W(xué)生想多拿獎品，所以很容易就會關(guān)注每一種分法中最多的那個筆筒的筆的數(shù)量，也不會受多種排列情況的影響。為幫助學(xué)生理解“總有、至少”這兩個關(guān)鍵詞，教師利用3支筆放入2個筆筒中這一基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生在熟悉的具體情境中理解它們的含義，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，找準(zhǔn)學(xué)生知識的生長點(diǎn)，為后續(xù)學(xué)生建模奠定基礎(chǔ)。

（二）自主探究，抽象方法

師：剛才這個同學(xué)表現(xiàn)得最積極，老師現(xiàn)在拿出4支筆作為獎品，但又不能全部獎勵給他，繼續(xù)來分筆，如果把這4支筆任意放進(jìn)3個筆筒中，讓他選擇其中一個筆筒里的筆，他至少可以拿走幾支筆？

師：請用擺一擺、畫一畫或?qū)懸粚懙确椒ò炎约旱乃伎歼^程與結(jié)果表示出來。

1.展示作品，反饋交流（枚舉法）

（教師有針對性地選擇兩名學(xué)生的作品：實(shí)物圖和數(shù)字分解圖）

生：有4種分法，得到（1，1，2）、（2，2，0）、（3，1，0）、（4，0，0）。

師（操作實(shí)物驗(yàn)證，得到有序無遺漏）：通過橫向、縱向比較同學(xué)們的作品圖，大家得出了什么結(jié)論？

生：發(fā)現(xiàn)不管哪種放法，他能拿到4支、3支或2支筆，也就是至少2支。

師：也就是說，總有一個筆筒里至少有2支筆。

師（小結(jié)）：剛才我們在研究“3支筆放進(jìn)2個筆筒里，4支筆放進(jìn)3個筆筒里”，都采用了一一列舉的方法，這種方法叫做枚舉法，枚舉法是研究問題的一種基本方法。

2.尋找求至少數(shù)的簡便方法（假設(shè)法）

師：如果只擺一次獎品，就要能保證這個同學(xué)拿到的是至少數(shù)，你們會怎么擺？

生：先在每個筆筒里平均放1支筆，再把剩下的1支筆任意放進(jìn)一個筆筒里，就能得到總有一個筆筒里至少有2支筆。

師：為什么要先在每個筆筒里放1支筆？

（結(jié)合學(xué)生回答，教師再次操作驗(yàn)證）

生：把4支筆平均放3個筆筒，每個筆筒都有1支筆，還余1支筆，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支筆。

師：這樣只能證明總有一個筆筒里肯定有2支筆，怎么能證明是至少數(shù)呢？

生：假設(shè)平均分才能使每個筆筒中的筆盡可能少，這是拿獎品的同學(xué)最不利的情況，其他的擺法他拿到的獎品就可能更多了。

師：你們可以用算式表示上面這種平均分的過程嗎？

［學(xué)生板書：4÷3=1（支）……1（支），1+1=2（支）］

師：這兩個“1”意義一樣嗎？

（根據(jù)學(xué)生回答教師小結(jié)：一個表示商，一個表示余數(shù)）

師（小結(jié)）：假設(shè)每個抽屜先平均放1支，余下的任意放進(jìn)一個抽屜里，這樣就能很快地找到至少數(shù)，這種方法我們叫做假設(shè)法。

【設(shè)計(jì)意圖】本教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師繼續(xù)沿用“發(fā)獎品”的情境，利用枚舉法、假設(shè)法，引導(dǎo)學(xué)生有序思考，讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的過程，在觀察中思考，在思考中總結(jié)，在總結(jié)中說理。之后從枚舉法中抽象出求至少數(shù)的簡便方法——假設(shè)法，理解用有余數(shù)的除法算式表示出平均分的過程，這其中有“最不利原則”的滲透。“如果只擺一次獎品，就要能保證這個學(xué)生拿到的是至少數(shù)，你們會怎么擺？”精準(zhǔn)的提問能引發(fā)學(xué)生有效思考，于關(guān)鍵處點(diǎn)明主旨，“最不利原則”“有序思考”等數(shù)學(xué)思想，降低了學(xué)生對“總有”“至少”兩個詞理解的難度，從而有效突破了教學(xué)難點(diǎn)。

（三）合情推理，建立模型

1.加深感悟

師：如果把5支筆放進(jìn)4個筆筒中，總有一個筆筒里至少有（ ）支筆。想一想、畫一畫、寫一寫，選擇你喜歡的方法嘗試完成。

（教師巡視，挑選沒有動筆就舉手的學(xué)生回答問題）

師：為什么你不動筆就舉手？有答案了嗎？

生：假設(shè)每個筆筒里先平均放1支筆，剩下的1支筆無論怎么放，總有一個筆筒里至少有2支筆。

師：尋找至少數(shù)最簡便的方法，可以利用假設(shè)法來思考問題。

2.概況規(guī)律

師：獨(dú)立思考，完成下面各題。

把6支筆放進(jìn)5個筆筒中，總有一個筆筒里至少有（ ）支筆。

把10支筆放進(jìn)9個筆筒中，總有一個筆筒里至少有（ ）支筆。

把100支筆放進(jìn)99個筆筒中，總有一個筆筒里至少有（ ）支筆。

把n＋1支筆放進(jìn)n個筆筒中，總有一個筆筒里至少有（ ）支筆。

6只鴿子飛進(jìn)5個鴿巢，總有一個鴿巢里至少有（ ）只鴿子。

10個蘋果放進(jìn)9個抽屜里，總有一個抽屜里至少有（ ）個蘋果。

師：你們?yōu)槭裁炊疾捎眉僭O(shè)的方法來分析，而不是用畫圖法或枚舉法呢？

生：因?yàn)楫媹D法與枚舉法雖然很直觀易理解，但是煩瑣，而選擇假設(shè)法是找到至少數(shù)最便捷的方法。

3.建立模型

師：觀察并思考我剛才提供的這些題組，同學(xué)們小結(jié)一下至少數(shù)是多少？都是怎樣求出來的？

生：當(dāng)物體數(shù)比抽屜數(shù)多1，總有一個抽屜里至少有2個，可以列除法計(jì)算。

（教師結(jié)合題組，揭示規(guī)律并板書課題）

【設(shè)計(jì)意圖】本教學(xué)環(huán)節(jié)中教師旨在讓學(xué)生理解“枚舉法”的局限，逼迫學(xué)生找到更合適簡潔的方法。通過題組訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生思考，優(yōu)化得出平均分的方法最快也最能體現(xiàn)“總有一個筆筒里至少放進(jìn)2支筆”這一結(jié)論，學(xué)生的思維在觀察、說理的過程中逐步走向深入，從中提煉出“鴿巢問題”最基本的模型，層層遞進(jìn)，水到渠成。通過題組訓(xùn)練，類比遷移，將筆轉(zhuǎn)化為鴿子、蘋果等，自然演變成“鴿巢問題”，讓學(xué)生積累豐富的數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷抽象、推理和概括的思維活動，為理解、優(yōu)化模型，培養(yǎng)學(xué)生的建模思想打下良好的基礎(chǔ)。

（四）拓展遷移，完善模型

師：如果余數(shù)不是1，至少數(shù)又應(yīng)該怎么求？

［課件出示：把5支筆放進(jìn)3個筆筒中，總有一個筆筒里至少有（ ）支筆］

生（先操作，再交流）：先把5支筆平均分，然后把剩余的2支筆再平均分，從而找到至少數(shù)。

師：為什么剩下的2支筆還要平均分？

生：要考慮拿獎品的學(xué)生最不利的情況，剩下的2支筆還要平均分，才能得到至少數(shù)。

師：請用算式表示思考的過程。

［學(xué)生板書：5÷3=1（支）……2（支），1+1=2（支）］

師：這兩個1意義一樣嗎？

生：第一個1是第一次平均分的筆，第二個1是第二次平均分的筆。

師：同學(xué)們，獨(dú)立思考完成下面題組練習(xí)，并和同桌交流你們的想法。

（1）把7支筆放進(jìn)3個筆筒中，總有一個筆筒里至少有（ ）支筆。

（2）把8支筆放進(jìn)3個筆筒中，總有一個筆筒里至少有（ ）支筆。

（3）把9支筆放進(jìn)3個筆筒中，總有一個筆筒里至少有（ ）支筆。

師（小結(jié)）：把筆放進(jìn)筆筒，如果總數(shù)平均分后有剩余，再平均分余數(shù)，那么總有一個筆筒里至少放“商＋1”支筆；如果正好分完，至少數(shù)就是商。

師：商為1是抽屜原理的特殊情況，抽屜原理的一般形式是把物體先平均放進(jìn)抽屜里，如果總數(shù)平均分后有剩余，那么總有一個抽屜里至少放“商+1”個物體；如果正好分完，至少數(shù)等于商。

【設(shè)計(jì)意圖】本教學(xué)環(huán)節(jié)的探究活動，旨在讓學(xué)生將隱性的數(shù)學(xué)思想方法顯性化。通過變式訓(xùn)練，放手讓學(xué)生自主研究“余數(shù)非1”的情況，學(xué)生在不斷地思考與交流中進(jìn)行抽象概括，完善模型的建構(gòu)，并學(xué)會用數(shù)學(xué)思想方法思考問題。從“余數(shù)是1”的一般形式，遷移到對“余數(shù)非1”鴿巢問題的探索，強(qiáng)化對“最多中的最少”的理解，讓學(xué)生真正明白假設(shè)法的本質(zhì)是保證物體每次都要盡量平均分，在最不利情況下考慮至少數(shù)，用“假設(shè)”的思路進(jìn)行推理，建立例1、例2的本質(zhì)聯(lián)系，體現(xiàn)整個知識體系的完整性，滲透大單元整體教學(xué)理念。

三、課后反思——以生為本深研課堂

“抽屜原理”來源于一個基本的數(shù)學(xué)事實(shí)，是解決某種特定結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)問題或生活問題的模型。本節(jié)課精選素材創(chuàng)設(shè)情境，重視學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的感悟、提煉與應(yīng)用，讓學(xué)生經(jīng)歷將具體問題數(shù)學(xué)化的過程，初步形成模型意識。

（一）情境驅(qū)動，創(chuàng)造性使用教材突破難點(diǎn)

好的情境必須是具有問題驅(qū)動力的，同時又是學(xué)生熟悉的、可拓展的、沒有歧義的，能有效突破教學(xué)重難點(diǎn)。本節(jié)課沒有使用教材中“玩撲克牌”的情境，而是巧妙設(shè)置“多拿少給”發(fā)獎品活動，用“一筆”貫穿全課，這個有趣的、簡單的、貼近學(xué)生實(shí)際的情境有利于學(xué)生理解“鴿巢問題”，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。在“多拿少給”活動中，學(xué)生關(guān)注每一種分法中最多的那個筆筒中筆的數(shù)量，不會受多種排列情況的影響，有效化解了學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

（二）抽象推理，經(jīng)歷完整數(shù)學(xué)建模過程

綜合實(shí)踐課重在培養(yǎng)學(xué)生抽象、推理、建模的能力，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行有效數(shù)學(xué)思考。本節(jié)課通過“多拿少給”發(fā)獎品活動，由直觀操作感知模型，再通過觀察、對比、分析、優(yōu)化，借助實(shí)物操作或畫圖的方式進(jìn)行說理，逐步抽象出簡約的除法模型，并通過數(shù)量拓展與變式訓(xùn)練，幫助學(xué)生完成推理過程，最后概括出解決“鴿巢問題”的一般模型。課堂小結(jié)時，教師再次回顧建模過程，促進(jìn)學(xué)法內(nèi)化，真正讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，從而有效培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（三）溝通聯(lián)系，有效整合知識優(yōu)化教學(xué)

深度學(xué)習(xí)倡導(dǎo)單元學(xué)習(xí)，教師要對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行二度開發(fā)，提高教學(xué)設(shè)計(jì)的規(guī)范性和系統(tǒng)性，增加學(xué)習(xí)過程的體驗(yàn)性、互動性和生成性。本節(jié)課以“問題情境—建立模型—應(yīng)用拓展”的模式展開，將教學(xué)重點(diǎn)放在例1的教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷抽象、推理、建模的過程，然后將例2作為例1的變式拓展應(yīng)用，兩個例題合二為一進(jìn)行教學(xué)，一方面培養(yǎng)了學(xué)生的遷移應(yīng)用能力，另一方面便于學(xué)生溝通知識的本質(zhì)聯(lián)系，形成系統(tǒng)與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹R認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（作者單位：江西省上饒市廣信區(qū)第九小學(xué) 江西省上饒市廣信區(qū)教學(xué)研究中心）