三維進(jìn)階：小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)策略

美國(guó)教育家布魯納認(rèn)為：“學(xué)習(xí)一門(mén)學(xué)科，就是掌握這門(mén)學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！睌?shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)性強(qiáng)，具備邏輯清晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)和科學(xué)系統(tǒng)的方法結(jié)構(gòu)。但是，在日常教學(xué)中，時(shí)常出現(xiàn)“碎片”式的教學(xué)設(shè)計(jì)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)森林。為此，我們要具備結(jié)構(gòu)化的設(shè)計(jì)思維，從整體的視角把握教材，分析學(xué)情，設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)合理的教學(xué)活動(dòng)，把零碎的知識(shí)串成線、連成片、卷成體，使學(xué)生所學(xué)的知識(shí)具有關(guān)聯(lián)性、結(jié)構(gòu)性、遷移性?；谝陨纤伎?，筆者以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”主題為例，談?wù)勅绾瓮ㄟ^(guò)結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

一、設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化活動(dòng)，讓操作的展開(kāi)更有層次

數(shù)學(xué)活動(dòng)，是指?jìng)€(gè)體通過(guò)指令去變換一個(gè)客觀的數(shù)學(xué)對(duì)象，包括如操作、實(shí)驗(yàn)、演算、回憶、猜想、判斷等，是組成課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)的基本元素。在“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”主題中，畫(huà)、擺、搭等數(shù)學(xué)活動(dòng)是學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)對(duì)象的直觀背景和結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)、建立基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)核心素養(yǎng)的重要舉措。教師在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)應(yīng)該關(guān)注活動(dòng)的層次性與關(guān)聯(lián)性，以結(jié)構(gòu)化的活動(dòng)促進(jìn)概念的有效建構(gòu)和素養(yǎng)的提升。

1.有結(jié)構(gòu)地“搭”，指向要素的全面理解

立體圖形是抽象而復(fù)雜的。搭建立體模型的活動(dòng)，可以化抽象為直觀體驗(yàn)，有效幫助學(xué)生對(duì)立體圖形進(jìn)行分解，深入了解立體圖形的特點(diǎn)及各部分之間的關(guān)聯(lián)。教師要遵循從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，除了讓學(xué)生對(duì)于單個(gè)素材進(jìn)行深入體驗(yàn)，還要對(duì)比不同素材之間的異同，讓學(xué)生全面理解圖形要素。

例如，教學(xué)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)“長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)”時(shí)，為了深入理解長(zhǎng)方體頂點(diǎn)和棱長(zhǎng)的特征，教師可以設(shè)計(jì)如下活動(dòng)。（1）提供三種長(zhǎng)度、顏色不同的小棒，小組合作搭一個(gè)長(zhǎng)方體的框架并回答問(wèn)題：長(zhǎng)方體有幾條棱？哪些棱的長(zhǎng)度相等？長(zhǎng)方體有幾個(gè)頂點(diǎn)？（2）組間合作，在黑板上完成表格，并展示小組的作品?；顒?dòng)（1）是從單個(gè)的、特殊的長(zhǎng)方體入手，讓學(xué)生在搭的過(guò)程中初步探索長(zhǎng)方體的特征。活動(dòng)（2）是探究一般的長(zhǎng)方體，借助統(tǒng)計(jì)、歸納將個(gè)體的“搭”匯聚成集體的“搭”。此時(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)一共只有兩類長(zhǎng)方體，且棱數(shù)都是4的倍數(shù)。學(xué)生在這樣從“個(gè)例”到“普遍”的探究過(guò)程中，全面理解長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)特點(diǎn)。

2.有層次地“畫(huà)”，體現(xiàn)概念的層層建構(gòu)

在圖形教學(xué)中，“畫(huà)圖”扮演著非常重要的角色，它不僅能讓學(xué)生的思維顯性表達(dá)，還能使抽象的概念變得直觀形象，使學(xué)生更容易理解和記憶。有層次地設(shè)計(jì)畫(huà)圖活動(dòng)，有助于學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步深化和擴(kuò)展對(duì)概念的理解和應(yīng)用，由易到難，層層深入。

例如，教學(xué)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)“三角形的認(rèn)識(shí)”時(shí)，教師可以通過(guò)“三畫(huà)”三角形，幫助學(xué)生構(gòu)建起三角形的概念（如表1）。三次畫(huà)三角形，條件層層收緊，逐步增加三角形的邊、高等要素的限制，雖然大家每次畫(huà)出來(lái)的都不一樣，但是每次都會(huì)有新的認(rèn)識(shí)和體會(huì)。最終學(xué)生會(huì)思考：究竟怎樣的規(guī)定才能讓大家畫(huà)出一樣的三角形。從而深度理解三角形概念。

3.有階段地“擺”，關(guān)注素養(yǎng)的有效提升

小學(xué)階段“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”主題涉及的核心素養(yǎng)表現(xiàn)主要有：量感、幾何直觀、空間觀念、推理意識(shí)。其中，量感主要指對(duì)事物的可測(cè)量屬性及大小關(guān)系的直觀感知。長(zhǎng)度、面積、體積大小的感知及其單位之間的進(jìn)率實(shí)際上就是量感的體現(xiàn)，這也是學(xué)習(xí)難點(diǎn)。通過(guò)階段性體驗(yàn)“擺一擺”的過(guò)程，學(xué)生可以逐漸形成對(duì)常用單位量級(jí)的直觀認(rèn)知，加深學(xué)生對(duì)單位進(jìn)率的理解，培養(yǎng)量感。

例如，教學(xué)人教版教材小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“面積單位之間的進(jìn)率”時(shí)，在學(xué)習(xí)本課之前，受長(zhǎng)度單位十進(jìn)制的負(fù)遷移，許多學(xué)生誤認(rèn)為1 dm2=10 cm2。而量感的培養(yǎng)要建立在深度體驗(yàn)的基礎(chǔ)上。為此，教師可分兩個(gè)階段設(shè)計(jì)“擺一擺”的活動(dòng)：第一階段，讓學(xué)生自由地用1 cm2的正方形紙片擺出1 dm2的正方形，充分展示學(xué)生的多樣表征，體現(xiàn)思維的梯度。第二階段，以培養(yǎng)量感為目的，帶領(lǐng)學(xué)生從1 cm2開(kāi)始一直擺到100 cm2。此處的重點(diǎn)是體驗(yàn)“10×10”的過(guò)程，可以在10 cm2以后直接讓學(xué)生用10個(gè)為一組的小方塊接著擺，體會(huì)10個(gè)10動(dòng)態(tài)生成的全過(guò)程。在這期間，教師還可以將10個(gè)小紙片集中地?cái)[在一起，帶領(lǐng)學(xué)生尋找身邊類似大小的物品進(jìn)行對(duì)比記憶，然后再和1 dm2做比較，從而消除十進(jìn)制的負(fù)遷移，加深對(duì)百進(jìn)制的理解。

二、構(gòu)建結(jié)構(gòu)化“學(xué)程”，讓學(xué)習(xí)的推進(jìn)更加有序

學(xué)程即學(xué)習(xí)的進(jìn)程。在做學(xué)程設(shè)計(jì)時(shí)，我們不但要考慮知識(shí)的展開(kāi)序列，還要考慮學(xué)生學(xué)習(xí)的發(fā)生序列。也就是說(shuō)，教師應(yīng)充分了解教材，將知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化串聯(lián)，形成系統(tǒng)的教學(xué)序列，符合知識(shí)發(fā)展的邏輯。同時(shí)還要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平和發(fā)展規(guī)律，調(diào)整教學(xué)策略和方法，將“有結(jié)構(gòu)地教”轉(zhuǎn)變成“有結(jié)構(gòu)地學(xué)”。

1.在認(rèn)知的重構(gòu)中構(gòu)建學(xué)程

美國(guó)教育心理學(xué)家?jiàn)W蘇泊爾指出：“影響學(xué)習(xí)唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么。要探明這一點(diǎn)，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué)?！痹谶M(jìn)行圖形概念課的教學(xué)時(shí)，學(xué)生往往已經(jīng)具備了一定的生活經(jīng)驗(yàn)，對(duì)圖形有了基本的認(rèn)識(shí)。為此，教學(xué)該部分內(nèi)容的過(guò)程其實(shí)是對(duì)學(xué)生認(rèn)知重構(gòu)的一種引導(dǎo)。引導(dǎo)過(guò)程要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使他們?cè)谡莆招轮R(shí)的同時(shí)，不斷豐富和優(yōu)化原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

例如，教學(xué)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級(jí)上冊(cè)“梯形的認(rèn)識(shí)”時(shí)，本課的重點(diǎn)是在學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)一般梯形的基礎(chǔ)上提煉梯形的基本特征，構(gòu)建梯形的概念。為此，教師可以設(shè)計(jì)如下學(xué)程：（1）在點(diǎn)子圖上畫(huà)梯形；（2）比較作品，提煉梯形的共性特征；（3）在辨析中概括梯形概念；（4）畫(huà)特殊的梯形，再次辨析強(qiáng)化概念；（5）認(rèn)識(shí)梯形的組成部分完善概念；（6）鞏固練習(xí)強(qiáng)化概念。以上設(shè)計(jì)遵循認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，先將公認(rèn)是梯形的選出來(lái)，提煉共性特征；再利用該特征去判斷有爭(zhēng)議的作品，在辨析中逐步構(gòu)建梯形的概念；最后，讓學(xué)生利用概念創(chuàng)造特殊的梯形，再進(jìn)行二次辨析，完善概念。整個(gè)過(guò)程，梯形的概念在反復(fù)的辨析強(qiáng)化中螺旋上升（如圖1）。

2.在本質(zhì)的探索中構(gòu)建學(xué)程

在圖形領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)遇到學(xué)生已經(jīng)“知道”公式和結(jié)果的情況。此時(shí)如果我們還是當(dāng)作學(xué)生“未知”去設(shè)計(jì)學(xué)程，就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中失去興趣，喪失學(xué)習(xí)的動(dòng)力與熱情，影響學(xué)習(xí)效果。此時(shí)，只要我們轉(zhuǎn)變教學(xué)的結(jié)構(gòu)，變“正敘”為“倒敘”，從已知出發(fā)，帶領(lǐng)學(xué)生探尋知識(shí)背后的內(nèi)在本質(zhì)，就能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的深度理解與應(yīng)用。

例如，教學(xué)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材三年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)方形和正方形的面積”時(shí)，許多學(xué)生已經(jīng)提前知曉長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算公式。對(duì)此，教師可以做如下設(shè)計(jì)：（1）會(huì)計(jì)算長(zhǎng)方形和正方形的面積嗎？計(jì)算公式是什么？（2）出示題組，全班學(xué)生練習(xí)。（3）還有什么問(wèn)題沒(méi)解決？引出問(wèn)題：為什么長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬？這樣的設(shè)計(jì)（如圖2），就是在正視學(xué)生起點(diǎn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)生生互學(xué)的方式，直接揭示面積公式，將所有的學(xué)生拉至同一起跑線。將公式的習(xí)得從課的終點(diǎn)變?yōu)槠瘘c(diǎn)。將“為什么這么算？”作為本節(jié)課探究的核心問(wèn)題，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘長(zhǎng)方形和正方形面積計(jì)算的本質(zhì)（如圖2）。

3.在思維沖突中構(gòu)建學(xué)程

學(xué)習(xí)過(guò)程實(shí)際上就是認(rèn)知沖突不斷被激活再化解的過(guò)程。而這些激烈的沖突點(diǎn)往往是最佳的學(xué)材，可以轉(zhuǎn)化為一節(jié)課的核心問(wèn)題，從而引發(fā)學(xué)生的深度思考。因此，教師可以基于學(xué)生思維的沖突點(diǎn)，構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的學(xué)程。

例如，教學(xué)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形的面積”時(shí)，由于受到長(zhǎng)方形和正方形面積公式的負(fù)遷移影響，許多學(xué)生想當(dāng)然地認(rèn)為平行四邊形的面積就是相鄰的兩條邊相乘。由此，教師可以利用這一思維上的沖突點(diǎn)，設(shè)計(jì)如下學(xué)程：（1）出示一個(gè)平行四邊形，請(qǐng)學(xué)生量一量、算一算它的面積；（2）辨析結(jié)果，引發(fā)沖突：鄰邊相乘和底乘高，哪種算法正確？（3）驗(yàn)證說(shuō)理。這樣的設(shè)計(jì)（如圖3），就是通過(guò)求一個(gè)平行四邊形的面積引發(fā)學(xué)生的思維沖突，讓學(xué)生在主動(dòng)論證觀點(diǎn)的驅(qū)動(dòng)下深入探索，最終在解決問(wèn)題的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化構(gòu)建。

三、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)化“體系”，讓知識(shí)的構(gòu)建更加立體

結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)能使認(rèn)知結(jié)成清晰的脈絡(luò)，形成多維、立體、交叉的體系，這樣的認(rèn)知體系超越課時(shí)、超越單元，甚至跨越學(xué)段。奧蘇伯爾認(rèn)為，學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)就是學(xué)生認(rèn)知的組織和重新組織，組織和重新組織的過(guò)程就是新舊知識(shí)相互聯(lián)系、相互作用的過(guò)程。為此，教師要站在高位研讀教材，考慮教材的“前后左右”，挖掘各文本背后所隱含的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建更加立體、多維的知識(shí)體系。

1.橫向遷移，突破認(rèn)知拐點(diǎn)

遷移的思維方法是將一種情境中得到的方法、結(jié)論應(yīng)用在另一種情境中的認(rèn)知活動(dòng)過(guò)程。在圖形領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中，有些內(nèi)容看似是兩個(gè)完全不同的維度，關(guān)聯(lián)并不明顯，但是如果進(jìn)行深入分析、比較，就會(huì)發(fā)現(xiàn)隱藏在它們背后的共性。橫向遷移這些共性的思想或方法能幫助學(xué)生突破認(rèn)知拐點(diǎn)，形成并行的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

例如，教學(xué)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材三年級(jí)下冊(cè)“面積的認(rèn)識(shí)”時(shí)，其中一項(xiàng)重要任務(wù)就是幫助學(xué)生將度量的認(rèn)知從一維跨向二維。這就需要對(duì)度量方法進(jìn)行橫向遷移。教師可以在布置度量圖形大小的任務(wù)之前，帶領(lǐng)學(xué)生回顧長(zhǎng)度的度量方法。學(xué)生可能會(huì)用手去度量，看看有幾拃；也可能用尺子測(cè)量，看看具體有多長(zhǎng)。此時(shí)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考：這些度量工具有什么共同的特點(diǎn)？學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是手還是尺子，其實(shí)都是用線去量線。由此遷移過(guò)來(lái)，度量面積的大小，就應(yīng)該是用面去量面。同理，這樣的方法還可以遷移到體積的度量，從而幫助學(xué)生建立從一維到三維度量的結(jié)構(gòu)性認(rèn)知。

2.縱向貫通，疏通知識(shí)脈絡(luò)

數(shù)學(xué)學(xué)科的每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都不是獨(dú)立存在的，我們總是能溯其源、尋其根。教師要帶領(lǐng)學(xué)生貫通知識(shí)點(diǎn)的前后聯(lián)系，讓新知識(shí)納入原有知識(shí)結(jié)構(gòu)中同化。例如，教學(xué)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)“多邊形的面積”時(shí)，教師就要對(duì)該單元的知識(shí)進(jìn)行梳理（如圖4），幫助學(xué)生厘清本單元的知識(shí)脈絡(luò)。尤其是幫助學(xué)生體會(huì)單元的核心數(shù)學(xué)思想方法——轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生明白，是轉(zhuǎn)化的思想將單元的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)串成線、結(jié)成網(wǎng)。此外，教師還要帶領(lǐng)學(xué)生梳理、歸納轉(zhuǎn)化的具體實(shí)施策略，包括割補(bǔ)法、剪拼法、分割法、等積變換等，以及各個(gè)面積公式的內(nèi)在聯(lián)系。從而實(shí)現(xiàn)平面幾何圖形面積知識(shí)體系的立體構(gòu)建。

3.多向拓展，融通數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)體系龐大且繁雜，它除了自身內(nèi)部關(guān)聯(lián)緊密，還與其他學(xué)科，甚至與生活、文化都息息相關(guān)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確提出，教師要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展前沿與數(shù)學(xué)文化，繼承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化。為此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要把握知識(shí)的內(nèi)外關(guān)聯(lián)，適時(shí)滲透數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生了解知識(shí)背后的相關(guān)歷史，體會(huì)其承載的思想與文化，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生文化素養(yǎng)。

例如，在教學(xué)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級(jí)上冊(cè)“公頃和平方千米”時(shí)，教師給學(xué)生滲透中國(guó)傳統(tǒng)的土地面積單位：畝、分、厘的相關(guān)知識(shí)。讓學(xué)生了解人們常說(shuō)的“一畝三分地”到底有多大，同時(shí)了解古代“井田制”的由來(lái)，及土地丈量單位的歷史演化過(guò)程。在數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)中，提升學(xué)生的民族自豪感和文化自信。

（作者單位：浙江省溫州市甌海區(qū)南白象新生小學(xué) 江蘇省揚(yáng)州市育才小學(xué)）