基于高階思維培養(yǎng)的數(shù)學(xué)深度教學(xué)

【摘 要】通過勾股定理三種典型教學(xué)案例的比較可發(fā)現(xiàn)，由低階思維爬升至高階思維，抓“四基”提“四能”，加強“五個重視”（重視活動、合作、思維、感悟、質(zhì)疑），可以使人文精神、探究精神、科學(xué)精神等入心入腦形成自覺意識，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)深度教學(xué)的基本路徑。

【關(guān)鍵詞】低階思維；高階思維；深度教學(xué)；初中數(shù)學(xué)

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2023）07-0042-05

【作者簡介】賈保柱，江蘇省昆山市婁江實驗學(xué)校（江蘇昆山，215300）教師，正高級教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）出臺后，初中數(shù)學(xué)教育的發(fā)展變革大約有兩個方向。第一，橫向人文統(tǒng)整的初中數(shù)學(xué)教學(xué)。［1］ 第二，以低階思維奠基，重視高階思維發(fā)展的縱向深度教學(xué)。那么，這樣的教學(xué)距離深度教學(xué)，距離新課標理念還有多遠？

課程改革20年的理論依據(jù)主要來自人本主義、建構(gòu)主義、多元智能理論、教育目標分類學(xué)等。其中布魯姆的“教育目標分類學(xué)”將思維過程具體化為6個教學(xué)目標。其中記憶、理解、應(yīng)用是低階思維；分析、綜合、評價和創(chuàng)造為高階思維，主要指向創(chuàng)新能力、問題求解能力、決策力和批判性思維能力等。2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》的課程理念，大多生長于這些理論。課程理念雖然不足千字，但其中“活動”出現(xiàn)6次、“合作探究”出現(xiàn)4次、“思維”出現(xiàn)5次、“感悟”出現(xiàn)3次、“創(chuàng)新質(zhì)疑”出現(xiàn)3次。這些反復(fù)出現(xiàn)的關(guān)鍵詞，依然是新課標中的熱詞，并且加持“深度學(xué)習(xí)”理論作為依據(jù)的特征比較明顯，指引數(shù)學(xué)教育重視引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)，發(fā)展各種關(guān)鍵能力。

2019年《關(guān)于深化教育教學(xué)改革全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見》把“五育”并舉、立德樹人作為國家戰(zhàn)略層面對教育的要求。新課標將正確價值觀、數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和必備品格作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的主要目標。由此可以看出情感、意志、價值觀等已經(jīng)成為必備品格的主要內(nèi)涵，是從低階思維到高階思維，走向深度教學(xué)的“最后一公里”。

如果我們以低階思維為基礎(chǔ)，以高階思維為杠桿，在教學(xué)活動中重視學(xué)生的活動、重視學(xué)生的合作、重視學(xué)生的體驗與感悟、重視學(xué)生的質(zhì)疑（在“五個重視”［2］中：活動、合作，為了探究；重視思維主要是指低階思維、高階思維；感悟需要經(jīng)歷體驗；質(zhì)疑能夠培育創(chuàng)新），那么我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅可以實現(xiàn)由低階思維到高階思維的系列培育，還能培養(yǎng)合作精神、質(zhì)疑精神，觸及學(xué)生的心靈深處。［3］ 這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)在發(fā)展學(xué)生的理性思維的同時，還有助于培養(yǎng)學(xué)生的情感態(tài)度和價值觀，提升其思想水平和精神境界，從而實現(xiàn)深度教學(xué)。下面，筆者以“勾股定理”三種不同的教學(xué)為例，探索從高階思維教學(xué)逐步走向深度教學(xué)的基本路徑。

一、問題提出：基于勾股定理的三種典型教學(xué)

（一）教學(xué)案例一

1.三角形三邊關(guān)系復(fù)習(xí)與運用

學(xué)校數(shù)學(xué)實驗室正在裝修，需要一個三角形框架作為裝飾，三角形的兩條邊要求為15cm和20cm，你知道第三邊的范圍嗎？依據(jù)是什么？

2.教師提問

直角三角形三邊關(guān)系會有更特殊的結(jié)論嗎？

3.引導(dǎo)學(xué)生猜想

一般直角三角形三邊外作正方形，有類似關(guān)系S1 + S3 = S2。（如圖1）

由S1 + S3 = S2，得a2 + b2 = c2（我們稱之為“勾股定理”）。

4.總統(tǒng)證法介紹（如圖2）

5.勾股定理公式變式推導(dǎo)

直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，有c = [a2+b2]，b = [c2-a2]，a = [c2-b2]。

6.勾股定理的運用

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a=3，b=4，求c。變式運用：已知a∶b=3∶4，c=10，求a、b。

（2）分類求邊：在Rt△ABC中，已知a=3，b=4，求c。

（3）面積法求高：直角三角形兩直邊6、8，求斜邊上高。

（4）一般三角形求高：三角形三邊6、7、8，求6上的高。

（5）“趙爽弦圖”應(yīng)用。

圖3是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的。在Rt△ABC中，若直角邊AC=6，BC=5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍。得到如圖4所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”。則這個風(fēng)車的外圍周長是多少？

（6）實際應(yīng)用（方程建模）：梯子問題、荷花問題、折紙問題。

（7）面積法證明勾股定理。

（二）教學(xué)案例二

1.講述畢達哥拉斯的故事

畢達哥拉斯應(yīng)邀參加聚會，休息時隨意在方格地板上畫正方形（如圖5），發(fā)現(xiàn)以等腰直角三角形三邊向外作正方形面積之間的關(guān)系，猜想出直角三角形三邊平方的關(guān)系。

2.再找3、4、5這樣的整數(shù)邊，用割補法得面積關(guān)系SA+SB=SC，推知勾股定理a?+b?=c?

3.引導(dǎo)學(xué)生理解勾股定理公式變式

4.勾股定理的運用

（1）計算勾股樹面積。

如圖6是一棵勾股樹。其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形A、B、C、D的面積分別為2、5、1、2，則最大的正方形E的面積是? ? ? ?。

（2）知兩邊求第三邊。

（3）分類求邊。在 Rt△ABC中，已知 a=3、b=4，求c。

（4）面積求高。直角三角形兩直邊長度為6和8，求斜邊上高。

（5）數(shù)學(xué)史介紹：①用“趙爽弦圖”證明勾股定理；②弦圖運用練習(xí)。

（三）教學(xué)案例三

教師在課前向?qū)W生展示美麗的勾股樹。

1.介紹數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯的故事。（前文已提及，在此不再呈現(xiàn)）

2.教師帶領(lǐng)學(xué)生，在格點圖中探索直邊長度為3、4的外作正方形的面積關(guān)系，類比猜想直角三角形三邊關(guān)系也成立

如圖7和圖8，教師示范“補”的驗證、學(xué)生獨立嘗試 “割”的驗證。

3.引導(dǎo)學(xué)生嘗試探求直邊為其他整數(shù)時，外作三個正方形的面積關(guān)系

仿照上面探索：在方格紙上，畫一個頂點都在格點上的直角三角形，并分別以這個直角三角形的各邊為一邊向三角形外作正方形。

學(xué)生任意選擇一組直邊整數(shù)數(shù)值，在格點圖中繼續(xù)類似探索，自主使用“補”或“割”的方法。

學(xué)生展示探索成果的同時，教師引導(dǎo)學(xué)生思考由斜邊向外作正方形的頂點為什么一定在格點上。

4.探索直邊長不為整數(shù)時是否成立

學(xué)生提問：邊長不為整數(shù)時，不便于用格點圖形和面積法，a2+b2=c2還成立嗎？教師借助幾何畫板進行驗證演示SA+SB=SC，從而完善證明。

5.猜測鈍角三角形、銳角三角形時，以上三邊關(guān)系式是否成立

通過驗證強化勾股定理使用的條件是直角三角形。（如圖9）

6.以上猜想驗證，需要嚴謹證明

不借助格點圖形的勾股定理證法探索，古今中外都有。

（1）“趙爽弦圖”證法介紹。

（2）歐幾里得證法介紹。

7.公式變式，簡單運用

（1）勾股樹面積計算。

（2）分類求邊：在 Rt△ABC中，已知 a=3，b=4，求c。

（3）直角三角形面積法求高：直角三角形兩直邊長度分別為6和8，求斜邊上高。

（4）勾股法求高：三角形三邊長分別為6、7、8，求邊6上的高及三角形面積。

（5）“趙爽弦圖” 運用練習(xí)。

8.拓展延伸

由于勾股定理的特征a2+b2=c2，有的地區(qū)也叫作“三平方定理”。邊的平方，啟發(fā)人們的證明思路多與面積有關(guān)。請大家課后了解“劉徽證法”等多種證法，以及不用面積證明勾股定理的方法，如射影法等。

二、教學(xué)理念的選擇與側(cè)重

勾股定理幾乎是全世界中學(xué)數(shù)學(xué)課程都要介紹的內(nèi)容，在數(shù)學(xué)教育中具有特殊的地位。

（一）從文化的選擇看

雖然三種教學(xué)中都有數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)史的滲透，但是選擇的時機和重視程度不同。從教學(xué)設(shè)計的側(cè)重可以看出，三個案例對勾股定理的文化教育目標和德育目標有明顯不同。案例一，點到為止，“趙爽弦圖”沒有發(fā)揮激勵學(xué)生科學(xué)探究精神或文化自信的德育功能；案例二和案例三，畢達哥拉斯的探究習(xí)慣的榜樣作用和“趙爽弦圖”的文化自信的德育功能都有一定程度的體現(xiàn)。

教學(xué)重點選擇不同。案例一的教學(xué)重點在運用勾股定理，一節(jié)課的三分之二以上的時間是逐步加深各種運用，應(yīng)試特征明顯。案例二的定理推導(dǎo)與運用各占半課時，學(xué)生有割補法解決問題的經(jīng)驗積累，但定理的發(fā)現(xiàn)僅僅有整數(shù)邊的情形，存在邏輯上的缺陷。案例三則側(cè)重在定理的發(fā)現(xiàn)探究過程，注重邏輯的完整性，不僅有觀察習(xí)慣的養(yǎng)成教育，而且在定理發(fā)現(xiàn)過程中有從特殊（等腰直角三角形）到一般（一般直角三角形）的邏輯完整的探究過程體驗，能夠培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究所需要的嚴謹精神。

（二）從教學(xué)目標分類標準看

案例一，重心在理解、運用上，以低階思維的培養(yǎng)為主。從現(xiàn)實的課堂成績測試去看，學(xué)生解題適用能力較強，因而是多數(shù)教師日常教學(xué)的選擇。

案例二，有對定理的分析、綜合、體驗、探究，但是不充分、不完整，流于形式，失去了對學(xué)生高階思維培養(yǎng)的好時機。雖然有割補法的體驗，但是從單位時間的教學(xué)效果看，屬于低效的教學(xué)行為。由于練習(xí)數(shù)量和種類少于案例一，因此估計當(dāng)堂測試的成績應(yīng)該低于案例一。

案例三中定理的發(fā)現(xiàn)、猜測、探究、分析、綜合的過程是完整的。從方格紙中猜測、驗證探索，到不借助方格紙的一般情形的探究，給了學(xué)生一次邏輯完整的科學(xué)研究的體驗，用去整節(jié)課超過三分之二的時間，但很有意義，是值得的，因為定理運用的典型性、啟發(fā)性，落實的時間也足夠充分，這節(jié)課的測驗成績雖然不會高于前兩個方案，但也不會太低。向未來看，學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展能力應(yīng)該好于前兩個案例。

更為重要的是，案例三中，教師預(yù)設(shè)了引導(dǎo)學(xué)生反思的兩個問題：“斜邊外作正方形頂點為什么一定在格點上？非直角三角形有沒有類似的結(jié)論？”反思習(xí)慣的養(yǎng)成，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力至關(guān)重要。由此可見，案例三關(guān)注到了新課標中創(chuàng)新能力培養(yǎng)的高層次目標，是有深度的，是對學(xué)生創(chuàng)新力的保護和培育。

宏觀審視案例三的教學(xué)流程，可以看到，有定理的理解及變式運用，是低階思維的培養(yǎng)和奠基；案例三再現(xiàn)了科學(xué)家善于觀察、巧妙利用方格紙工具作出的合理猜想與合作探究，邏輯完整的分析、綜合、評價（質(zhì)疑），有深度地實現(xiàn)了高階思維能力的培養(yǎng)。割補法的運用體驗、從特殊到一般的探究歸納經(jīng)驗，是方法論的培育。數(shù)學(xué)文化滲透中，學(xué)生自主探索的體驗、像科學(xué)家那樣成功獲得科學(xué)結(jié)論的愉悅心情，激發(fā)出的民族自豪感、愛國情懷和科學(xué)意識，觸及學(xué)生的心靈。因而這節(jié)課的教學(xué)具備深度教學(xué)的主要特征：深入理解、深度思考，觸及心靈的探究精神、科學(xué)精神、嚴謹精神、人文精神。［4］

三、初中數(shù)學(xué)深度教學(xué)的理想

筆者認為，把高階思維和探究體驗作為實現(xiàn)深度教學(xué)的階梯，優(yōu)化教學(xué)過程，可實現(xiàn)理想的課程設(shè)計。

關(guān)于“四基”。本課的基礎(chǔ)知識教學(xué)，是勾股定理的理解、記憶、運用。涉及的基本技能包括面積法、割補法、變式法、構(gòu)造法等，都是解決問題的基本方法和數(shù)學(xué)工具。涉及的基本數(shù)學(xué)思想有特殊到一般、一般到特殊、補型思想、數(shù)形結(jié)合等。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是，探索勾股定理的過程，有完整的邏輯鏈條。

關(guān)于“四能”。通過數(shù)學(xué)家觀察地磚的猜想、探索、驗證的過程，將發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，滲透在教學(xué)之中，學(xué)生有體驗，有感悟，更有自主探究的愿望。畢達哥拉斯做客時所體現(xiàn)的探究習(xí)慣，學(xué)生需要習(xí)得與養(yǎng)成。質(zhì)疑整數(shù)直邊時正方形頂點一定在格點的原因，是創(chuàng)新能力的體現(xiàn)。而通過聯(lián)想、質(zhì)疑銳角三角形和鈍角三角形的結(jié)論，也是創(chuàng)新精神的體現(xiàn)。同時，學(xué)生也獲得了一個認識：證明正確的猜想需要完整邏輯，而證明錯誤的猜想只需要舉反例。這些科學(xué)意識和科學(xué)精神，屬于核心素養(yǎng)和必備品格。

深度教學(xué)應(yīng)該“深”在哪里？從“勾股定理”一課看，深度教學(xué)應(yīng)該“深”在重要的人類文化遺產(chǎn)的傳承；應(yīng)該“深”在體驗科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一般過程、自覺意識和理性精神；應(yīng)該“深”在觸及學(xué)生心靈深處，滌蕩情感，鍛造價值觀。

從低階到高階，強“四基”，提“四能”，更要做好五個重視“活動、合作、思維、感悟、質(zhì)疑”［4］，這是數(shù)學(xué)通向深度教學(xué)的基本路徑。有體驗、有感悟，自覺質(zhì)疑、自覺創(chuàng)新，有情感參與、有人文情懷滲透［5］，觸及學(xué)生心靈深處，綻放理性精神和科學(xué)精神，是數(shù)學(xué)教育深度教學(xué)的航標燈。

【參考文獻】

［1］賈保柱.后課改時代人文統(tǒng)整的初中數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2021（12）：1-3.

［2］賈保柱.初中數(shù)學(xué)突出核心能力教學(xué)評價的探索［J］.江蘇教育，2015（6）：41-42.

［3］劉月霞，郭華. 深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2018：34-45.

［4］賈保柱.活動，讓數(shù)學(xué)課堂更美好［J］.教育研究與評論，2012（9）：82-85.

［5］賈保柱.人文教育必要的烏托邦［J］.江蘇教育，2011（1）：58.