幫助學(xué)生積累思維活動經(jīng)驗

徐留軍 徐軍華

〔摘? ? 要〕數(shù)學(xué)思維著眼于生活經(jīng)驗，著手于思考過程，著力于問題解決，是在生活數(shù)學(xué)化過程中形成的一種方法性、策略性、思想性的思考方式。教師在教學(xué)中要根據(jù)問題性質(zhì)的不同，選用合適的教學(xué)方法，引發(fā)學(xué)生思考，關(guān)注生活經(jīng)驗，更關(guān)注數(shù)學(xué)思考；關(guān)注直觀經(jīng)驗，更關(guān)注問題本質(zhì)；關(guān)注學(xué)習(xí)結(jié)果，更關(guān)注學(xué)習(xí)過程，助力學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律、形成研究方法、探究思維策略、感悟數(shù)學(xué)思想。由于思維活動經(jīng)驗的碎片化、個性化、隱形化等特征的客觀存在，就更需要教師助力學(xué)生對思維過程進(jìn)行提煉與整合、反思與總結(jié)，積淀解決問題的數(shù)學(xué)直覺和一般策略，豐富其思維活動經(jīng)驗。

〔關(guān)鍵詞〕思維活動經(jīng)驗；提煉與整合；反思與總結(jié)；積累

〔中圖分類號〕? G424? ? ? ? ? ? ? ?〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕? A? ? ? ? 〔文章編號〕? 1674-6317? （2023）? 08-0121-03

著名教育家杜威先生認(rèn)為，“教育就是經(jīng)驗的改造或改組”?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將基本活動經(jīng)驗的獲得作為總目標(biāo)之一，提出了會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界的學(xué)生核心素養(yǎng)。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)驗主要是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為研究對象，運用符號運算、形式推理、模型建構(gòu)，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、理解數(shù)學(xué)概念、總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問題的過程中所獲得的經(jīng)驗。它的核心是讓學(xué)生在解決不同問題的過程中形成自己的數(shù)學(xué)直覺，學(xué)會有針對性的、個性化的數(shù)學(xué)思考，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在此過程中，由于思維活動經(jīng)驗的碎片化、個性化、隱形化等特征的客觀存在，就更需要教師幫助學(xué)生對問題解決的過程進(jìn)行提煉與整合、反思與總結(jié)，積淀解決問題的數(shù)學(xué)直覺和一般策略，豐富其思維活動經(jīng)驗。

一、以生活經(jīng)驗為基礎(chǔ)，提供思維活動經(jīng)驗的原材料

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象。這一論述可以理解成這樣兩個方面：數(shù)學(xué)知識源于生活的抽象，數(shù)學(xué)的研究對象是抽象的生活；生活為數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)提供了現(xiàn)實支撐。因此，在小學(xué)階段特別是第一學(xué)段，由于學(xué)生年齡小，抽象思維、空間想象等能力欠缺，他們在解決定義概念型問題時，認(rèn)識往往會停留在淺表，缺乏深刻性。因此，教師可以根據(jù)學(xué)生知識學(xué)習(xí)以及認(rèn)知能力的需要，將數(shù)學(xué)知識與生活經(jīng)驗密切聯(lián)系，調(diào)動學(xué)生的多感官參與實踐，引發(fā)其對事物特征共性的思考和總結(jié)，經(jīng)歷抽象、概括的思維過程，降低對概念的理解難度。

例如：教師在蘇教版四年級下冊《認(rèn)識三角形》一課的教學(xué)中，常常會選擇以課件形式呈現(xiàn)大量生活中的三角形導(dǎo)入，引發(fā)學(xué)生對三角形外形的初步感知。但此時學(xué)生對三角形的認(rèn)識往往停留在表象，是感性的，缺乏理性的、數(shù)學(xué)化的思考。接著讓學(xué)生說說生活中類似的三角形，再根據(jù)剛才的直觀感知以及生活中有關(guān)三角形的經(jīng)驗嘗試畫出三角形，讓學(xué)生以這樣的方式充分挖掘認(rèn)識三角形的生活經(jīng)驗基礎(chǔ)以及知識基礎(chǔ)，完成生活知識數(shù)學(xué)化的第一步。事實上這看似飛躍的一步，其實還是建立在學(xué)生在1～2年級甚至幼兒園時期對三角形初步接觸和感知的基礎(chǔ)之上，他們并沒有實現(xiàn)對三角形認(rèn)識從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)換，形成對三角形本質(zhì)的認(rèn)識。在讓學(xué)生交流剛才畫出的圖形哪些是三角形并說出自己的想法之后，教師根據(jù)選擇出來的不同三角形，引導(dǎo)他們用數(shù)學(xué)的眼光有意識地觀察其中的數(shù)學(xué)元素（點、線段、角等）的共性，再在小組內(nèi)交流，嘗試用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)。最后，通過全班交流歸納出三角形的構(gòu)成以及特點，完成對三角形特征的數(shù)學(xué)化加工，從而得出結(jié)論：三條線段首尾相接圍成的圖形叫作三角形。

生活經(jīng)驗為學(xué)生認(rèn)識三角形提供了思維原材料和實踐經(jīng)驗基礎(chǔ)，他們將生活中的三角形依據(jù)以往認(rèn)識圖形的經(jīng)驗進(jìn)行抽象，運用方法的遷移，畫出三角形，最后將這些感性的素材進(jìn)行數(shù)學(xué)化的歸納與表達(dá)，建立起數(shù)學(xué)化的三角形概念。這樣，讓學(xué)生從生活經(jīng)驗開始，經(jīng)歷比較、分析等數(shù)學(xué)化的加工過程，實現(xiàn)理解數(shù)學(xué)概念與知識內(nèi)化的目標(biāo)，積累了從生活感知走向數(shù)學(xué)思考的思維活動經(jīng)驗。

二、以直觀感知為階梯，提供思維活動經(jīng)驗的墊腳石

直觀感知是對周圍事物直接的、表面的認(rèn)識，是感性的，這種認(rèn)識雖印象深刻，往往卻比較膚淺，不能很清楚地理解問題的本質(zhì)。通過直觀感知的階梯連接表面現(xiàn)象與本質(zhì)特征，溝通起知識和對象之間的聯(lián)系，更利于對知識的理解和建構(gòu)。于是在解決特征本質(zhì)類問題時，可以根據(jù)實際需要科學(xué)地利用直觀感知對于本質(zhì)理解的階梯作用，經(jīng)歷體驗、感悟的思維過程，掃除對其本質(zhì)和規(guī)律的認(rèn)知障礙。

例如：在學(xué)習(xí)了三角形穩(wěn)定性這一特征后，很多學(xué)生對這一概念的理解僅僅處于字面上，他們覺得穩(wěn)定性就是固定、不變形，并不能形成對“穩(wěn)定性”的數(shù)學(xué)化表達(dá)。記得我的一個學(xué)生提出了這樣的疑問：他拿出了一個焊接牢固的平行四邊形，對我說這個平行四邊形也很穩(wěn)定，同時又拿出一個沒有固定頂點的三角形，說這雖然是個三角形卻并不穩(wěn)定，一碰就散了。當(dāng)時我心中不禁微微一顫：他為什么會這樣想？細(xì)細(xì)一想，他在課堂學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)該是沒有真正地理解三角形的“穩(wěn)定性”，沒有對“穩(wěn)定性”形成數(shù)學(xué)化的本質(zhì)認(rèn)識，錯誤地將其與生活中物體的“牢固性”畫上了等號。于是我拿出了用扣條做成的一個平行四邊形和一個三角形模型，讓他先拉一拉平行四邊形模型（一拉就動），再拉一拉三角形模型，發(fā)現(xiàn)三角形卻不動（除非力量夠大把三角形模型拉壞）。他立刻就說：我懂了，平行四邊形能拉動，三角形拉不動?？雌饋泶藭r他對穩(wěn)定性的理解已經(jīng)建立起了豐富的表象，似乎比較成熟，但還是停留在固定不變形的狹隘理解上。我又拿出跟剛才制作的平行四邊形和三角形一樣的材料，讓他再制作一個平行四邊形和三角形。接著問：你能嘗試用數(shù)學(xué)的眼光觀察一下拉動前后圖形的變化嗎？（四邊形的形狀改變了，三角形形狀沒有變化）那這兩個平行四邊形呢？

（不一樣）三角形呢？（一樣）現(xiàn)在再想想三角形的穩(wěn)定性是什么？這個問題的提出立刻就把思維從表面現(xiàn)象（拉不動）的體驗引到對其本質(zhì)屬性（形狀一樣）的探究，促進(jìn)了學(xué)生對知識本質(zhì)的深度理解。他不僅知道了三角形的穩(wěn)定性就是當(dāng)三邊確定時，形狀就確定，還體會到學(xué)習(xí)要透過現(xiàn)象看本質(zhì)。

直觀感知為研究特征本質(zhì)類問題提供了階梯，學(xué)生在獲得大量與數(shù)學(xué)知識密切相關(guān)的感覺、知覺等初始體驗之后，通過教師的引導(dǎo)，經(jīng)歷知識認(rèn)識數(shù)學(xué)化的過程，將思維從表象引入對研究對象本質(zhì)的研究。這符合小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，破除了學(xué)生將事物表面現(xiàn)象與本質(zhì)屬性直接畫等號的錯誤認(rèn)識，降低了理解難度，促進(jìn)學(xué)生深刻認(rèn)知知識本質(zhì)，積累了從直觀感知走向本質(zhì)認(rèn)識的思維活動經(jīng)驗。

三、以邏輯推理為支柱，提供思維活動經(jīng)驗的“承重墻”

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：邏輯推理是數(shù)學(xué)思維的重要內(nèi)容。邏輯推理通常表現(xiàn)在對事物進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括。沒有觀察就沒有發(fā)現(xiàn)，觀察給思維提供了研究的原材料；沒有比較就沒有鑒別，比較可以對問題的理解更透徹；沒有分析就沒有認(rèn)知，分析能讓認(rèn)識變得深刻；沒有綜合就沒有整體，綜合能解釋整體和部分之間的聯(lián)系；沒有概括就沒有概念，概念能促進(jìn)邏輯思維的深入。正如魯賓斯坦所說：“思維是在概括中完成的?！?/p>

在解決推理類問題時，可以根據(jù)所需解決問題的特點、研究對象各方面獨立特征等要素，經(jīng)歷分析、綜合的思維過程，快速地找到解決問題的思路。

例如：在蘇教版五年級上冊《一一列舉的策略》一課的教學(xué)中，教師可提出問題：“王大叔用22根1?米長的木條圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？”學(xué)生獨立思考后提出，列舉的意圖很明顯地可以用“擺一擺”“畫一畫”及“算一算”的方法實現(xiàn)。接著，學(xué)生進(jìn)行操作實踐，通過具體的方法，感知到解決問題的關(guān)鍵是要知道長和寬的具體長度，再依據(jù)此數(shù)據(jù)算出具體的面積，最后通過比較，得出結(jié)論。在接下來的匯報環(huán)節(jié)，將學(xué)生的思考結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)板書（選擇性板書，一部分是有序列舉，一部分是雜亂記錄），學(xué)生通過觀察和比較，大多會認(rèn)同“有序列舉”，但此時的認(rèn)同也僅僅是建立在方便書寫、方便觀察的基礎(chǔ)之上。接著，讓學(xué)生在小組內(nèi)交流“有序”和“無序”列舉的正確率以及解題所花費的時間，突破表象深入思考“有序”和“無序”的利弊，以及對結(jié)果產(chǎn)生的影響。最后全班學(xué)生進(jìn)行交流、總結(jié)，從而感悟應(yīng)用一一列舉策略帶來的便利，體會策略的價值所在，進(jìn)而為其后來有意識地應(yīng)用策略提供可能。

四、以操作實踐為模型，提供思維活動經(jīng)驗的方法論

荷蘭籍?dāng)?shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出，“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一的方法是實行‘再創(chuàng)造’”。正如毛主席多次強(qiáng)調(diào)的，要在戰(zhàn)爭中學(xué)會戰(zhàn)爭，在游泳中學(xué)會游泳。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從自己的體驗出發(fā)，啟發(fā)他們遇到困難時可以適時地調(diào)整思維方向，以便形成正確的理論認(rèn)識。這樣，學(xué)生所獲得的知識遠(yuǎn)比別人強(qiáng)加硬塞理解得更加深刻和透徹，對所獲得的方法、策略和思想也更善于運用。因此，在解決策略提煉類問題時，要讓學(xué)生充分經(jīng)歷解決問題的過程，并加以回顧反思，讓學(xué)生經(jīng)歷探索、提煉的思維過程，感悟解決問題的一般策略。

例如：在《和的奇偶性》一課的教學(xué)中，教師以游戲開始，拿出一沓撲克牌（牌面數(shù)字均為偶數(shù)），讓學(xué)生任意摸兩張牌，如果和為奇數(shù)就能獲得獎品。經(jīng)歷多次的摸牌后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)和都是偶數(shù)，于是教師發(fā)問：此時你想說什么？學(xué)生回答：兩個加數(shù)是偶數(shù)，和也是偶數(shù)。因此教師說，看來需要奇數(shù)，于是又拿出了一沓牌面全是奇數(shù)的撲克讓學(xué)生去摸。學(xué)生重復(fù)多次發(fā)現(xiàn)結(jié)果仍然都是偶數(shù)，教師緊跟著發(fā)問：此時你又想說什么？學(xué)生回答：兩個加數(shù)全是奇數(shù)，和是偶數(shù)。教師繼續(xù)追問：如果你確定能獲獎，應(yīng)該怎么拿牌？學(xué)生回答：一個奇數(shù)一個偶數(shù)和就是奇數(shù)。這樣，通過游戲的形式引發(fā)學(xué)生對兩數(shù)相加和的規(guī)律猜測以及驗證。游戲繼續(xù)，教師讓學(xué)生先猜想：如果拿三次牌，按照牌面數(shù)字和為奇數(shù)就能獲得獎品的規(guī)則，有可能拿到獎品嗎？這引起學(xué)生對三個數(shù)甚至更多數(shù)相加和的奇偶規(guī)律猜想以及驗證，再讓學(xué)生自己設(shè)計一個游戲方案：確保任拿三張（兩張）牌，按照其牌面數(shù)字之和為奇數(shù)從而可以獲得獎品。通過引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象探尋數(shù)學(xué)規(guī)律，將前面小結(jié)出的規(guī)律進(jìn)行提煉，總結(jié)出和的奇偶性的一般規(guī)律。完成了和的奇偶性研究之后，教師指著課題——和的奇偶性問學(xué)生：1.研究了和的奇偶性，你還想研究什么？（學(xué)生回答：商的奇偶性、積的奇偶性、差的奇偶性）2.你想怎么研究？特別是第二個問題的提出，將學(xué)生的思維一下子拉向了深入，完成了思維方向從規(guī)律探索過程到方法和策略提煉的快速轉(zhuǎn)換。學(xué)生通過對剛才探索和的奇偶性的過程進(jìn)行總結(jié)，積累了思維活動經(jīng)驗，提煉出了探索規(guī)律的一般策略——初步感知、猜想規(guī)律、驗證規(guī)律、凝練提升，感悟到里面所蘊含的數(shù)形結(jié)合、歸納推理等數(shù)學(xué)思想。

實踐操作給學(xué)生學(xué)習(xí)解決問題的策略提供了方法模型，他們在解決問題的過程中，經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想、推理論證以及回顧反思等思維過程，不僅找到了解決問題的方法，更找到了解決類似問題的方向，得到了適用范圍更廣的一般思維方法，提煉出策略，積累了從探索過程走向策略提煉的思維活動經(jīng)驗。

總之，數(shù)學(xué)思維著眼于生活經(jīng)驗，著手于思考過程，著力于問題解決，是在生活數(shù)學(xué)化過程中形成的一種方法性、策略性、思想性的思考方式。教師在教學(xué)過程中，要根據(jù)問題性質(zhì)的不同，選用合適的教學(xué)方法，引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生在體驗、感悟、探索、抽象、提煉、概括等思考活動中不斷提升知識的厚度、思考的廣度、思想的深度。要關(guān)注生活經(jīng)驗，更要關(guān)注數(shù)學(xué)思考；要關(guān)注直觀經(jīng)驗，更要關(guān)注問題本質(zhì)；要關(guān)注學(xué)習(xí)結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)習(xí)過程，助力學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律、形成研究方法、提煉思維策略、感悟數(shù)學(xué)思想，積淀數(shù)學(xué)思維活動的經(jīng)驗。

參考文獻(xiàn)

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[3]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].上海：上海教育出版社，1995