強(qiáng)化學(xué)生模型意識(shí)

◇周 琳（福建：廈門實(shí)驗(yàn)中學(xué) 小學(xué)部）

2022年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確地將“三會(huì)”提升為學(xué)生核心素養(yǎng)進(jìn)行培養(yǎng)，其中“會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”是最能體現(xiàn)時(shí)代特征的一個(gè)目標(biāo)，而數(shù)學(xué)建模則是數(shù)學(xué)語言表達(dá)的最高層次。當(dāng)下，義務(wù)教育階段雖未將數(shù)學(xué)建模直接明確地引入學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)任務(wù)，但是學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界已經(jīng)充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模最重要的教育價(jià)值。通過概括總結(jié)，可將小學(xué)數(shù)學(xué)語言簡(jiǎn)化表達(dá)為數(shù)據(jù)意識(shí)、模型意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)。如何進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)模型意識(shí)的培養(yǎng)，以優(yōu)化課堂教學(xué)環(huán)節(jié)、提高課堂教學(xué)實(shí)效？筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)談幾點(diǎn)策略。

一、觸形找?！獜默F(xiàn)實(shí)到抽象，初步感知模型

數(shù)學(xué)模型離不開數(shù)學(xué)語言，使用抽象的、概括的、近似的描述方法描述現(xiàn)實(shí)世界中研究對(duì)象的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式，構(gòu)成了數(shù)學(xué)模型的獨(dú)特?cái)?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。使用模型的描述方法，將數(shù)學(xué)中所創(chuàng)造的語言、符號(hào)和方法用之于現(xiàn)實(shí)世界中的問題，從而搭建起數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的直接聯(lián)系，宛若知識(shí)海洋的擺渡舟。具體到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)之中所使用的文本概念、數(shù)量關(guān)系式、方程、圖表、運(yùn)算法則、計(jì)算公式等都是數(shù)學(xué)模型。不難發(fā)現(xiàn)，我們所稱的“數(shù)學(xué)教學(xué)”，其本身即包含數(shù)學(xué)模型的指導(dǎo)運(yùn)用，模型概念并未懸浮于數(shù)學(xué)概念的天空中，其定義簡(jiǎn)單至來源于隨處可見的生活。所以，我們?cè)谂囵B(yǎng)學(xué)生模型意識(shí)的時(shí)候，要從現(xiàn)實(shí)到抽象，讓學(xué)生初步感知模型。

從日常生活原型到數(shù)學(xué)模型，需要經(jīng)歷簡(jiǎn)化、抽象的過程。對(duì)于小學(xué)生，教師更應(yīng)采用循序漸進(jìn)的教學(xué)方法，從真實(shí)的情境出發(fā)，從現(xiàn)實(shí)到抽象，讓其初步感知模型，為后續(xù)模型的建立做好鋪墊。培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)，要以學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活的情境，讓學(xué)生從中感受到生活中的原型，再慢慢抽象出來。

以教學(xué)《周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)》為例，在學(xué)生認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)概念時(shí)，教師可以創(chuàng)設(shè)運(yùn)動(dòng)會(huì)的情境，喚醒學(xué)生記憶，將已有的生活經(jīng)驗(yàn)作為基礎(chǔ)，觸摸到生活中的形。教師可以結(jié)合動(dòng)畫展示，通過對(duì)幾位運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)路線對(duì)比，讓學(xué)生能夠充分感知：什么是泳池的一圈？一圈有什么特點(diǎn)？學(xué)生結(jié)合自己體育課上跑步的經(jīng)驗(yàn)，用自己的語言進(jìn)行生動(dòng)描述，如小鴨沒有沿著邊運(yùn)動(dòng)，小兔沒有跑完泳池的一圈，小貓多跑了一點(diǎn)、超過了一圈，只有小豬跑的路線才是完整的一圈，等等。這時(shí)候，學(xué)生通過觀察對(duì)比，將生活中的原型逐步抽象出來，初步感知一周，為之后周長(zhǎng)模型的建立奠定了基礎(chǔ)。

緊接著，教師追問學(xué)生一周有著怎樣的特點(diǎn)。學(xué)生通過觀察，以形觸型，并用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)：“要從起點(diǎn)回到起點(diǎn)，這樣才算一周。且不論從哪一點(diǎn)出發(fā)，只要最終回到起點(diǎn)，就是它的一周?！碑?dāng)學(xué)生有了一周的模型后，再讓學(xué)生理解物體表面一周的長(zhǎng)度叫作周長(zhǎng)，他們對(duì)這一概念的理解便簡(jiǎn)單了許多。當(dāng)學(xué)生有了初步的模型，教師再從生活中具體的物體，抽象到圖形，讓學(xué)生閉眼想象、充分感知：如果拿掉這些物品，只剩下圖形，這些圖形的一周在哪里？

學(xué)生通過觀察、對(duì)比、描、摸、指等多元?jiǎng)幼鞅碚鬟^程，充分經(jīng)歷由具象到表象、再到抽象的過程，周長(zhǎng)的模型呼之欲出。這為之后學(xué)生解決周長(zhǎng)計(jì)算問題打好了基礎(chǔ)，同時(shí)為其日后學(xué)習(xí)面積模型做好示范，避免了兩種模型混淆。學(xué)生通過觸現(xiàn)實(shí)的形，抽象出了數(shù)學(xué)的型，這體現(xiàn)了從現(xiàn)實(shí)到抽象的模型感知教育方法。

二、立型建模——從猜想到驗(yàn)證，充分建立模型

史寧中教授提出：現(xiàn)代數(shù)學(xué)得以健康發(fā)展的重要源泉，離不開數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與應(yīng)用。具體而言，數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)在于幫助學(xué)生建立起“數(shù)學(xué)模型”思想，將一系列的數(shù)學(xué)模型的理解、把握過程，貫穿到學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)之中，從而極大地提高學(xué)生模型意識(shí)的建立。小學(xué)階段的模型意識(shí)不能過分地追求復(fù)雜化概念的滲入，而應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)起學(xué)生普遍而扎實(shí)的初步模型思想感悟。因此，在小學(xué)課堂中，教師可以讓學(xué)生在公式、法則推導(dǎo)的過程中感悟模型的普遍意義。同時(shí)，可以將數(shù)學(xué)模型用于解決一類具體而明確問題的思想，引入數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用的基本路徑之中，培養(yǎng)起學(xué)生日常生活的數(shù)學(xué)模型思想，啟發(fā)學(xué)生處理生活中的方方面面問題，真正行之有效地將數(shù)學(xué)概念與現(xiàn)實(shí)生活相結(jié)合。

比如，在教學(xué)《平行四邊形的面積》時(shí)，教師可以從貼近學(xué)生生活的現(xiàn)實(shí)情境中引入。例如：學(xué)校勞動(dòng)實(shí)踐基地中有兩塊菜地，它們分別是長(zhǎng)方形和平行四邊形，要比較兩塊菜地誰大誰小，就要求它們的面積。學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)基礎(chǔ)，能夠快速答出長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬，但是對(duì)于平行四邊形的面積，他們卻不太確定。此時(shí)，不妨放心地讓學(xué)生先行研究“如何得出平行四邊形的面積”這一問題，學(xué)生可能會(huì)提出鄰邊相乘或者底乘高的想法。這時(shí)教師可以通過“數(shù)一數(shù)”的方式，借用方格紙格數(shù)，讓學(xué)生數(shù)出平行四邊形的面積。采用對(duì)比觀察的方式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步啟發(fā)公式猜想：平行四邊形面積的計(jì)算方式為底乘高。再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究：究竟平行四邊形的面積計(jì)算方式是不是底乘高？是不是所有的平行四邊形都適用呢？此時(shí)，再讓學(xué)生將方格紙畫一畫、剪一剪、拼一拼，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形后，雖然它的形狀變了，但是面積不變，轉(zhuǎn)化后長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是原來平行四邊形的底，長(zhǎng)方形的寬是轉(zhuǎn)化前平行四邊形的高。由此，學(xué)生可以推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式模型確實(shí)是底乘高，之前的猜想得以驗(yàn)證。

從猜想到驗(yàn)證，學(xué)生通過數(shù)、畫、剪、拼等數(shù)學(xué)操作活動(dòng)，充分體驗(yàn)了將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的過程。長(zhǎng)方形與平行四邊形關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，離不開學(xué)生在此體會(huì)過程中的分析、對(duì)比及概括，這將有助于學(xué)生充分建立起平行四邊形的面積模型，并且抽象成用含有字母的公式來概括表示。在此過程中，學(xué)生并非簡(jiǎn)單地得出數(shù)學(xué)公式結(jié)論，而是在思維的激蕩中充分地進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)，其相關(guān)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得到了進(jìn)一步深化與提高。

再比如，在教學(xué)《長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)》時(shí)，可以先放手讓學(xué)生思考如何計(jì)算長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。此時(shí)學(xué)生會(huì)有多種想法：有的學(xué)生認(rèn)為周長(zhǎng)的計(jì)算為長(zhǎng)+長(zhǎng)+寬+寬；有的則認(rèn)為可以長(zhǎng)+寬+長(zhǎng)+寬，總之要把四條邊加起來；但是也有的學(xué)生通過觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，只要算出一組長(zhǎng)+寬即可，然后可以將所得數(shù)值乘二。教師此時(shí)可以通過把一個(gè)長(zhǎng)方形的四條邊展開來驗(yàn)證學(xué)生的想法，逐步建立起長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)模型為：（長(zhǎng)+寬）×2。同時(shí)，通過長(zhǎng)方形周長(zhǎng)模型的展示，也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)正方形周長(zhǎng)、平行四邊形周長(zhǎng)及其他圖形的周長(zhǎng)，奠定了良好的模型基礎(chǔ)。因此，教師在日常課堂教學(xué)活動(dòng)中要有意地將模型意識(shí)培養(yǎng)與知識(shí)講授相結(jié)合，給予學(xué)生充分的時(shí)間觀察、猜想、操作、驗(yàn)證、表達(dá)，進(jìn)而充分建立起數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)。

三、踐行用?！獜睦斫獾竭\(yùn)用，形成模型意識(shí)

新課標(biāo)指出：模型意識(shí)有助于開展跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，是形成模型觀念的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。如何定義小學(xué)數(shù)學(xué)建模？其不僅僅是讓學(xué)生掌握新知識(shí)，更在于提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，從而形成新思想，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。學(xué)生在此學(xué)習(xí)過程中，將深度轉(zhuǎn)化從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”，掌握學(xué)習(xí)方法；從“理解”到“運(yùn)用”，真正地將知識(shí)融入生活中。體驗(yàn)是新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)的方法重點(diǎn)，學(xué)生不僅應(yīng)當(dāng)在學(xué)習(xí)過程獲得新的數(shù)學(xué)知識(shí)，其所能收獲的數(shù)學(xué)體驗(yàn)亦是教學(xué)重點(diǎn)。要引導(dǎo)學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，理解數(shù)學(xué)、將數(shù)學(xué)運(yùn)用到生活中，學(xué)會(huì)應(yīng)用模型解決實(shí)際生活中的一類問題，真正地將學(xué)生對(duì)知識(shí)被動(dòng)化接受轉(zhuǎn)化成主動(dòng)吸收，充分建立起學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

在《怎樣拼，周長(zhǎng)最短》一課的教學(xué)中，如果一下子給學(xué)生16 個(gè)小正方形拼擺，學(xué)生不易抓住本質(zhì)，感覺無從下手。因此，可以化繁為簡(jiǎn)，從較少的個(gè)數(shù)拼起，有層次地引導(dǎo)學(xué)生。學(xué)生通過拼、算、比等活動(dòng)，逐步建立起拼成正方形或越接近正方形時(shí)周長(zhǎng)最短的模型。學(xué)生從最簡(jiǎn)單的4 個(gè)小正方形開始，在動(dòng)手拼擺4 個(gè)小正方形的活動(dòng)體驗(yàn)中，通過觀察發(fā)現(xiàn)，隱藏的邊的組數(shù)越多，周長(zhǎng)越短，從而抓住了周長(zhǎng)之所以會(huì)變化，是因?yàn)橹睾系倪叺慕M數(shù)在變化的本質(zhì)。進(jìn)而再到16 個(gè)小正方形的拼擺，學(xué)生通過在格子圖中畫一畫來模擬拼擺，在小組交流匯報(bào)中，對(duì)比不同的拼法，他們會(huì)發(fā)現(xiàn)拼成正方形時(shí)周長(zhǎng)最短，因?yàn)榇藭r(shí)重合的邊的組數(shù)最多。此時(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)只要拼成正方形周長(zhǎng)就最短的模型。如果該課只到此結(jié)束，未免可惜，因?yàn)檫@是對(duì)特殊個(gè)數(shù)的小正方形進(jìn)行拼擺，模型并不完全。如果小正方形的個(gè)數(shù)沒有辦法拼成正方形，什么時(shí)候周長(zhǎng)才是最短的呢？所以該課最后通過12 個(gè)小正方形的拼擺去完善模型，學(xué)生在此會(huì)有一個(gè)小小的認(rèn)知沖突：如果是12 個(gè)小正方形拼擺，沒有辦法拼成正方形，但是會(huì)發(fā)現(xiàn)只要拼得越接近正方形，拼成圖形的周長(zhǎng)就越短。而之所以這樣，其本質(zhì)都是因?yàn)槠磾[后，隱藏的邊的組數(shù)越多，周長(zhǎng)就越短。

有了這樣一步一步有層次的模型的建立，學(xué)生在日后生活中遇到此類問題，便會(huì)用該節(jié)課學(xué)到的模型去解決。例如：對(duì)兩幅長(zhǎng)方形的美術(shù)作品進(jìn)行拼擺，怎樣拼才能讓拼成后的圖形周長(zhǎng)最短？學(xué)生就會(huì)想到將兩條長(zhǎng)邊藏起來，這樣隱藏的邊最長(zhǎng)，周長(zhǎng)就會(huì)最短。

再比如，包裝盒子時(shí)，怎樣捆繩子最節(jié)省材料？學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，捆盒子的繩子其實(shí)就是在圍這些盒子的周長(zhǎng)，要最節(jié)省材料，就是讓盒子拼擺后周長(zhǎng)最短。學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這類問題其實(shí)就是《怎樣拼，周長(zhǎng)最短》一課的延伸，關(guān)鍵在于如何讓隱藏的邊的組數(shù)最多，它拼成后的周長(zhǎng)便會(huì)最短。讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的模型和方法解釋生活中的大量現(xiàn)實(shí)問題，這便是培養(yǎng)學(xué)生模型意識(shí)的意義。

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，它起源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，得到研究的對(duì)象及關(guān)系；數(shù)學(xué)的結(jié)論和方法來源于對(duì)現(xiàn)實(shí)研究對(duì)象的運(yùn)算、模型建構(gòu)及概括推理，引導(dǎo)模型意識(shí)深入滲透到學(xué)生的日常生活中，學(xué)生在收獲數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，更獲得了解決現(xiàn)實(shí)問題的能力。不同的學(xué)段，對(duì)應(yīng)階段的學(xué)生特點(diǎn)不同，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)段特征、學(xué)生不同的發(fā)展水平，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)，讓學(xué)生積極主動(dòng)地探索、獲取新知識(shí)，并將收獲的知識(shí)運(yùn)用于生活。