數(shù)學(xué)概念教學(xué)探究
——以三角函數(shù)的概念為例

?青島大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 鄭舒婷 李明蘭

1 問題提出

數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念的理解程度對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維產(chǎn)生直接的影響，因此，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識教與學(xué)中的核心部分.美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基(EdDubinsky)在皮亞杰提出的“反思性抽象”的基礎(chǔ)上提出了四個階段的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)[1].Vinner和Hershkowitz于1980年提出了概念表象和概念定義理論，概念表象和概念定義是同一概念的兩個方面，是概念形成的共同體.教育部于2020年頒布了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(下文簡稱“《課標(biāo)》”)，根據(jù)《課標(biāo)》的相關(guān)要求和規(guī)定，對人教A版教科書進(jìn)行了全面的修訂，三角函數(shù)的內(nèi)容變化較大，三角函數(shù)的概念更加凸顯函數(shù)的本質(zhì)，學(xué)生對于三角函數(shù)概念的理解存在困難.因此本研究以三角函數(shù)的概念為例，把概念理解模型融合到APOS理論的四階段中來指導(dǎo)數(shù)學(xué)概念教學(xué).

2 理論基礎(chǔ)

APOS理論是一種建構(gòu)主義數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論，數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)需要經(jīng)歷四個階段，分別為操作(Action)、過程(Process)、對象(Object)、圖式(Schema)這四個階段，該理論的主要心理機制為內(nèi)化與凝聚[1].APOS理論的四個階段在學(xué)生數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中能很好地體現(xiàn)學(xué)生真實的思維活動，為學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)概念，形成豐富且正確的概念表象提供了可能，最終期望達(dá)到對概念的靈活使用.Vinner和Hershkowitz于1980年提出了概念表象和概念定義理論，后由Tall和Vinner于1981年對該理論進(jìn)行了發(fā)展，Morre于1994年對該理論進(jìn)行了修定，他認(rèn)為除了概念定義和概念表象外還存在概念理解的第三個方面，“概念使用”，也就是利用概念定義來解決數(shù)學(xué)任務(wù)，比如定義產(chǎn)生證明和定義構(gòu)造例子等[1].概念定義是直接描述的，它是以詞語和符號的形式，被教師或教科書用來定義數(shù)學(xué)概念的[1].概念表象并非直接描述，它是個體頭腦中與概念有關(guān)的整個認(rèn)知結(jié)構(gòu)，包含思維圖像、相關(guān)性質(zhì)和過程等[1].在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程中，有的學(xué)生通過死記硬背有定義而無表象，有的學(xué)生通過直觀感受只有表象而無定義，學(xué)生無法深度理解數(shù)學(xué)概念，更無法靈活地使用數(shù)學(xué)概念.因此，教學(xué)中要將APOS理論與概念理解模式相融合，利用APOS理論指導(dǎo)概念教學(xué)的過程，在“操作”“過程”等階段中形成正確的概念表象并正確理解概念定義，在“對象”和“圖式”階段，幫助學(xué)生正確使用概念，形成概念網(wǎng)絡(luò).

3 數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程設(shè)計

3.1 創(chuàng)設(shè)活動情境，滲透表象和定義

這里的“活動”是指個體通過一步一步的外顯性(或記憶性)指令去變換一個客觀的數(shù)學(xué)對象[2].教師通過創(chuàng)設(shè)活動情境，促使學(xué)生動手操作，直觀地感知概念，并且在其操作過程中滲透概念的本質(zhì).舉例來說，在三角函數(shù)概念的教學(xué)中，教師通過多媒體展示生活中的周期現(xiàn)象，如齒輪的旋轉(zhuǎn)、摩天輪的轉(zhuǎn)動、交變電流等.這些周而復(fù)始的現(xiàn)實問題無法用已經(jīng)學(xué)過的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)等來刻畫，那么該用什么樣的函數(shù)模型來研究這些周期性的變化呢？這樣設(shè)計的意圖在于讓學(xué)生明確接下來學(xué)習(xí)三角函數(shù)的必要性，初步感受現(xiàn)實生活中的周期現(xiàn)象，并在頭腦中形成三角函數(shù)這一概念的正確表象，即三角函數(shù)是刻畫勻速圓周運動或周期變化現(xiàn)象等的函數(shù)模型.

3.2 呈現(xiàn)探究過程，歸納概念特征

當(dāng)多次重復(fù)某一操作，這種類似機械化的操作就會被內(nèi)化為一種稱作“程序”的心理結(jié)構(gòu)，頭腦中的這一“程序”便可以指揮學(xué)生的行動，而不需要外顯的指令進(jìn)行具體的操作，有的學(xué)生甚至可以逆轉(zhuǎn)程序或與其他相關(guān)程序結(jié)合.

舉例來說，在三角函數(shù)的教學(xué)中，學(xué)生可以從函數(shù)的角度重新認(rèn)識銳角三角函數(shù)，可以設(shè)置如下問題.

問題1你能從函數(shù)三要素的角度來解釋銳角三角函數(shù)嗎？

問題2你能用平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)嗎？

在問題2中教師可提示“單位圓”，同時引出用單位圓上點的坐標(biāo)來定義任意角的三角函數(shù)，給出三角函數(shù)的定義.接下來，就需要來說明定義的合理性.

問題3你能從函數(shù)的角度來說明對于角終邊上任意一點P(x,y)和任意角α之間的關(guān)系嗎？

3.3 建構(gòu)對象整體，把握概念本質(zhì)

當(dāng)個體能把這個“過程”作為一個整體進(jìn)行操作和轉(zhuǎn)換的時候，這個過程就凝聚為一種心理“對象”，這時，個體可以操控對象去實施各種相關(guān)的數(shù)學(xué)運算[2].舉例來說，在三角函數(shù)概念的教學(xué)中，通過前兩個階段已經(jīng)明確了三角函數(shù)的定義，現(xiàn)進(jìn)行任意角三角函數(shù)概念的初步應(yīng)用.

例1y=sinα和z=sinβ表示同一個函數(shù)嗎？

例3已知角θ的終邊過點P(-12,5)，求角θ的三角函數(shù)值.

該階段的設(shè)計意圖在于通過例1，讓學(xué)生深刻認(rèn)識到三角函數(shù)定義的形式和三角函數(shù)的本質(zhì)之間的關(guān)系，讓學(xué)生明確三角函數(shù)概念的函數(shù)本質(zhì).例2、例3則是三角函數(shù)概念的簡單應(yīng)用，并歸納出用定義求解三角函數(shù)值的步驟，加深對三角函數(shù)概念的整體認(rèn)識.

3.4 建立綜合圖式，形成概念網(wǎng)絡(luò)

一個數(shù)學(xué)概念的“圖式”是由相應(yīng)的活動、過程、對象以及相關(guān)的圖式所形成個體頭腦中的認(rèn)知框架，其作用和特點就是決定某些刺激是否屬于這個圖式，從而就會作出不同的反應(yīng)[1].舉例說明，在三角函數(shù)教學(xué)中，將任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)進(jìn)行比較，探究二者之間的的聯(lián)系與區(qū)別.其次，還可以引導(dǎo)學(xué)生思考三角函數(shù)的“多元聯(lián)系表示”[3]，即豐富學(xué)生的概念表象來幫助學(xué)生深入理解概念，正確使用概念.

經(jīng)過活動、過程、對象這三個階段，此時三角函數(shù)的概念已經(jīng)以一種綜合的圖式存儲在學(xué)生的頭腦中.這一綜合圖式不僅包括學(xué)生已有函數(shù)的相關(guān)知識、銳角三角函數(shù)的知識，還包括新建構(gòu)的任意角的三角函數(shù)的概念、基本性質(zhì)以及任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系.

4 結(jié)束語

APOS理論不僅適用于大學(xué)教學(xué)，同樣適用于中學(xué)階段數(shù)學(xué)概念的教學(xué).在APOS理論概念學(xué)習(xí)四階段的指導(dǎo)下，幫助學(xué)生形成正確的概念表象，并通過概念使用加深對概念的理解，把握概念的本質(zhì)，將不同的概念不斷地納入到學(xué)生的概念系統(tǒng)中，形成自己的概念網(wǎng)絡(luò).