?甘肅省武山縣第一高級中學 馬青湖
借助概率、統(tǒng)計中的相關知識,科學決策現(xiàn)實生活中的開放性問題,是近年高考中比較常見的一類創(chuàng)新性應用問題.此類開放性決策問題,要用數(shù)據說話,根據相應的數(shù)據支撐,計算事件發(fā)生的概率或者均值等數(shù)據;同時表達要準確,開放性決策的理由陳述不能偏離主旨,要加以合理科學決策.
例1(2021屆山東省德州市高三一模數(shù)學試題)2021年春晚首次采用“云”傳播,“云”互動形式,實現(xiàn)隔空連線心意相通,全球華人心連心“云團圓”,共享新春氛圍,“云課堂”亦是一種真正完全突破時空限制的全方位互動性學習模式.某市隨機抽取200人對“云課堂”倡議的了解情況進行了問卷調查,記Y表示了解,N表示不了解,統(tǒng)計結果如表1,2所示:
表1
(1)請根據所提供的數(shù)據,完成上面的2×2列聯(lián)表(表2),并判斷是否有99%的把握認為對“云課堂”倡議的了解情況與性別有關系;
表2
(2)用樣本估計總體,將頻率視為概率,在男性市民和女性市民中各隨機抽取4人,記“4名男性中恰有3人了解云課堂倡議”的概率為P1,“4名女性中恰有3人了解云課堂倡議”的概率為P2.試求出P1與P2,并判斷二者哪個更優(yōu)秀.
附:臨界值參考表及參考公式:
P(K2≥K0)0.100.050.0250.0100.0050.001K02.7063.8415.0246.6357.87910.828
解析:(1)列聯(lián)表的填寫結果如表3.
表3
對照臨界值表知,有99%的把握認為對“云課堂”倡議了解情況與性別有關系.
顯然P1>P2,第一種更優(yōu)秀.
點評:借助概率合理決策實際應用問題,根據不同問題所對應的事件概率的求解,借助代數(shù)運算,利用概率大小的比較與分析,作出合理科學的決策.
例2數(shù)據統(tǒng)計圖1中,折線圖是某公司從2010年到2019年這10年研發(fā)投入占當年總營收的百分比,條形圖是當年研發(fā)投入的確切數(shù)值(單位:億元).
圖1
(1)從2010年至2019年中隨機選取兩個年份,設X表示其中研發(fā)投入超過500億元的年份的個數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望;
(2)據統(tǒng)計圖中的信息,結合統(tǒng)計學知識,判斷該公司在發(fā)展過程中是否重視研發(fā)投入,并說明理由.
所以X的分布列為:
X012P295929
(2)從兩個方面可以看出,該公司是比較重視研發(fā)投入的:
①從2010年至2019年,每年的研發(fā)投入是逐年增加的(2018年除外),并且增加的幅度總體上逐漸加大;
②研發(fā)投入占當年總營收的比例總體上也是逐漸增加的,雖然2015年以后有些波動,但是總體占比還是較高的.
點評:借助樣本估計合理決策實際應用問題.通過樣本的平均值、眾數(shù)、中位數(shù)等數(shù)據信息的運算,或利用圖表信息,直觀、合理比較,科學決策.
例3[2021屆山東省淄博市高三上學期教學質量摸底檢測(零模)數(shù)學試題]某商場在“雙十二”進行促銷活動,現(xiàn)有甲、乙兩個盒子,甲盒中有3紅2白共5個小球,乙盒中有1紅4白共5個小球,這些小球除顏色外完全相同.有兩種活動規(guī)則:
規(guī)則一:顧客先從甲盒中隨機摸取一個小球,從第二次摸球起,若前一次摸到紅球,則還從該盒中摸取一個球,若前一次摸到白球,則從另一個盒中摸取一個球,每摸出1個紅球獎勵100元,每個顧客只有3次摸球機會(每次摸球都不放回);
規(guī)則二:顧客先從甲盒中隨機摸取一個小球,從第二次摸球起,若前一次摸到紅球,則要從甲盒中摸球一個,若前一次摸到白球,則要從乙盒中摸球一個,每摸出1個紅球獎勵100元,每個顧客只有3次摸球機會(每次摸球都不放回).
(1)按照“規(guī)則一”,求一名顧客摸球獲獎勵金額的數(shù)學期望;
(2)請問顧客選擇哪種規(guī)則進行抽獎更有利,并說明理由.
隨機變量X的分布列為:
X0123P22514251350110
(2)若選規(guī)則二,設顧客經過3次摸球后摸取的紅球個數(shù)為Y,則Y可以取0,1,2,3,有
隨機變量Y的分布列為:
X0123P6251750825110
因為E(100X)>E(100Y),所以選擇規(guī)則一更有利.
點評:根據實際問題合理選擇,利用問題中數(shù)學期望最大(或最小)的方案作為最優(yōu)決策方案,在數(shù)學期望相同的情況下,則進一步選擇方差值最小(或最大)的方案作為最優(yōu)決策方案.
借助概率統(tǒng)計知識,在解決日常生活、社會活動和經濟活動等中的開放性應用問題時,選擇科學的最佳的決策方案,體現(xiàn)創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應用,提升數(shù)學能力,培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng).