“螺旋式”提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)策略
——以“計數(shù)原理”的教學(xué)為例

?天津市濱海新區(qū)田家炳中學(xué) 滿 玉 紀(jì)昌武

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》明確提出數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想,是形成理性思維的重要基礎(chǔ),反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征,貫穿在數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中[1].高中階段學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平的達成具有階段性、連續(xù)性、整合性等特點,單元教學(xué)理念與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，二者相互映照，推動了“螺旋式”提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)教學(xué)策略的形成.

1 “整體設(shè)計促課時教學(xué)”策略為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)萌生提供沃土

單元教學(xué)理念下的數(shù)學(xué)課堂從整體上構(gòu)建縱向貫通、橫向關(guān)聯(lián)的知識體系，注重概念體系的連貫性、數(shù)學(xué)思想方法的一致性，使重要的思想方法得到螺旋上升式的重現(xiàn)，為“螺旋式”培養(yǎng)和提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)提供了良好環(huán)境.

1.1 利用章首課，形成對“兩個計數(shù)原理”的初步認(rèn)識

高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第三冊第六章“計數(shù)原理”，屬于“概率與統(tǒng)計”主線內(nèi)容.從單元教學(xué)的視角來看，章首課融入了兩個計數(shù)原理的引入、概述以及學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo)等內(nèi)容.這樣開篇可以突出章節(jié)核心知識、核心研究方法，幫助學(xué)生抽象概括出概念，自主構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu).

關(guān)于“計數(shù)原理”的教學(xué)，最為重要的一環(huán)就是結(jié)合具體情境問題，讓學(xué)生先經(jīng)歷從具體情境中分析、比較問題特征及解決問題的基本環(huán)節(jié)，然后再從特殊到一般，抽象概括出兩個基本原理.整個過程始終要把兩個計數(shù)原理的構(gòu)建和理解放在突出位置，并給學(xué)生提供辨別易混淆概念、分析和解決問題的機會.比如“分類加法計數(shù)原理”與“分步乘法計數(shù)原理”概念的辨析，引導(dǎo)學(xué)生把實際背景問題抽象為“分類”和“分步”兩類問題，根據(jù)計數(shù)原理來分析、解決.這樣加強一般觀念的指導(dǎo)，對學(xué)生發(fā)展理性思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)，學(xué)會用數(shù)學(xué)的方式觀察、思考、分析以及發(fā)現(xiàn)和提出問題等都有著重要的指導(dǎo)作用.

1.2 理清知識脈絡(luò)，加強課時教學(xué)規(guī)劃設(shè)計

基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué),要求教師能從一節(jié)一節(jié)的教學(xué)中跳出來,以“主題(單元)”作為開展教學(xué)的基本思考對象[2].單元教學(xué)視角下,“計數(shù)原理”一章的數(shù)學(xué)概念構(gòu)成邏輯連貫的學(xué)習(xí)內(nèi)容.分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理、排列、排列數(shù)、組合、組合數(shù)、二項式定理相關(guān)概念等，形成環(huán)環(huán)相扣的數(shù)學(xué)概念體系.課堂教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生自覺建立一個較為系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu),以富有邏輯的“問題鏈”為線索,探究原理的抽象、基本性質(zhì)以及相關(guān)知識應(yīng)用等.

單元理念下的課時教學(xué)更加注重知識發(fā)生、發(fā)展順序和知識間的邏輯關(guān)系,更加關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程、思維發(fā)展以及素養(yǎng)的達成.課堂教學(xué)中，在兩個原理的探究過程、探究方法以及生發(fā)出的思維生長點的引領(lǐng)下，排列與組合、二項式定理相繼鋪展開來，學(xué)生抽象素養(yǎng)得以“螺旋式”不斷發(fā)展提升.如在“排列與組合”的教學(xué)中，突出兩個原理的基礎(chǔ)作用，強化知識間的聯(lián)系.學(xué)生感受到排列與組合是兩類特殊的計數(shù)問題，既是兩個原理的應(yīng)用又是新知的起始，是解決特定條件下計數(shù)問題“求簡”思維的產(chǎn)物.排列與組合概念形成的過程，就是數(shù)學(xué)不斷抽象完善的過程.學(xué)生再一次經(jīng)歷抽象過程.單元整體設(shè)計思想為學(xué)生抽象素養(yǎng)“螺旋式”發(fā)展的萌生提供了良田沃土.

2 “情境+問題導(dǎo)向”策略為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)螺旋式發(fā)展創(chuàng)設(shè)空間

單元教學(xué)更加重視“問題”的設(shè)置，注重創(chuàng)設(shè)情境并挖掘情境中蘊含的新知識要素及本質(zhì).如在“計數(shù)原理”教學(xué)中,從整體上設(shè)計系列化教學(xué)活動，形成“情境+問題導(dǎo)向”的互動探究式教學(xué)策略.其主要表現(xiàn)為：課堂教學(xué)方式注重啟發(fā)引導(dǎo)；學(xué)習(xí)方式關(guān)注學(xué)生思維過程；育人方式表現(xiàn)為德育、價值觀、文化教育三結(jié)合的實踐性教學(xué)活動.

2.1 單元教學(xué)理念下優(yōu)化構(gòu)建概念的問題情境

單元教學(xué)理念下構(gòu)建概念，創(chuàng)設(shè)問題情境時，一方面要難易適度、自然流暢，滿足“導(dǎo)而弗牽，強而弗抑，開而弗達”的要求.另一方面，從課時角度來說，第一個問題要有統(tǒng)攝性、貫穿性，能起到先行組織者的作用，隨后的一系列問題要引導(dǎo)學(xué)生的思維逐步走向所學(xué)知識的本質(zhì)；從單元角度來說，系列問題要富有邏輯性、層次性和系統(tǒng)性.“計數(shù)原理”概念構(gòu)建方式可以總結(jié)為：先經(jīng)歷問題的背景，提煉問題特征，即“完成一件事是什么”及“或”“和”的含義，然后探究方法，即“解決問題的方法和步驟是什么？”，引導(dǎo)學(xué)生思考探究數(shù)學(xué)的方法及解決問題的方法和步驟，再從特殊到一般得出原理.幫助學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗，自主抽象出數(shù)學(xué)概念、命題和方法.

2.2 合理設(shè)置情境和問題是突破難點的關(guān)鍵

問題不一定都是“問”，可以根據(jù)需要給出引導(dǎo)性陳述[3].單元教學(xué)理念下的情境與問題更加注重情境設(shè)置的合理性，能恰時恰點地提出問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識發(fā)生發(fā)展的過程，從而突破教學(xué)難點，促進思維發(fā)展.

例如，組合數(shù)公式的推導(dǎo)，有些學(xué)生會感到學(xué)習(xí)困難，“發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的基礎(chǔ)是對排列與組合關(guān)系的觀察與分析，而這種觀察和分析來自課堂教學(xué)合理設(shè)置情境和問題.從具體的“從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系”出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從具體到抽象，發(fā)現(xiàn)從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)與組合數(shù)之間的關(guān)系，并抽象概括出一般的方法，然后從特殊到一般，推廣到一般情形，突破難點的同時，使學(xué)生能夠參與到學(xué)習(xí)活動中來，真正展開數(shù)學(xué)思維，促使數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)得到深化提高.

2.3 把握“提問”的層次和質(zhì)量，不斷發(fā)展學(xué)生的思維

情境與問題設(shè)置的目的是激發(fā)學(xué)生發(fā)散思維和積極參與，鼓勵學(xué)生獨立思考，歸納概括結(jié)論.提問的層次過低或過高，次數(shù)過多或過少，都不利于學(xué)生素養(yǎng)的提升.例如，在“計數(shù)原理”教學(xué)中，注重以問題激發(fā)學(xué)生認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力，構(gòu)建系列化的“情境+問題”，以貼近學(xué)生生活實際，連續(xù)的、環(huán)環(huán)相扣的問題鏈為載體，以學(xué)生為主體，創(chuàng)設(shè)有效問題情境.問題目標(biāo)性強，富有邏輯性和啟發(fā)性，學(xué)生在問題的引導(dǎo)下能夠主動參與概念發(fā)生、發(fā)展的過程.同時，在提問中注重滲透“特殊與一般”“分類討論”“轉(zhuǎn)化與化歸”等重要數(shù)學(xué)思想和類比的學(xué)習(xí)方法.學(xué)生掌握知識的同時，數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)獲得累積性、可持續(xù)性的提升.

3 “關(guān)注過程促深度學(xué)習(xí)”策略，促進數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)螺旋式深化提升

新課改的大背景下，教師應(yīng)該更加注重知識的生成過程，更加重視學(xué)生思維的發(fā)展、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的提升，使教學(xué)過程成為幫助學(xué)生完成“知何由以知其所以然”的過程,加強深度學(xué)習(xí).

3.1 歸納式建構(gòu)概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

課堂教學(xué)中,讓學(xué)生充分理解概念，構(gòu)建概念的理解過程十分重要.兩個計數(shù)原理構(gòu)建的方式可以概括為：經(jīng)歷問題的背景─提煉問題特征—探究計數(shù)的方法—得到解決計數(shù)問題的方法和步驟—從特殊到一般得出原理—推廣到一般結(jié)論.這對后續(xù)學(xué)習(xí)有重要的指導(dǎo)意義.如“排列”的教學(xué)中，借鑒兩個計數(shù)原理,先引導(dǎo)學(xué)生分析一些典型事例，創(chuàng)建問題情境提出問題：為了減少繁瑣，在計數(shù)原理指導(dǎo)下，有沒有更為簡潔的方法？引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一系列活動，歸結(jié)為“將元素按照一定的順序排成一列”的問題，再次引導(dǎo)思考，歸納共同點，最后抽象概括出一般概念.突出概念的抽象過程，揭示概念構(gòu)建過程的本質(zhì)特征，有利于學(xué)生感悟知識間的聯(lián)系和區(qū)別，構(gòu)建此類概念的經(jīng)驗思維，培養(yǎng)和提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，從而推動深度學(xué)習(xí).

3.2 加強獲得數(shù)學(xué)對象的過程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

合理抽象研究對象的過程就是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)核心概念的過程，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的主要契機.“四基”“四能”只有通過“思維過程的教學(xué)”才能落實.學(xué)生好的思維品質(zhì)、思維習(xí)慣，也都是在過程中形成的.如單元教學(xué)視角下“組合”一課的教學(xué)，完整的過程體現(xiàn)在明線與暗線的有機融合之中.明線為：實際問題—組合概念—組合與排列的關(guān)系—組合與兩個計數(shù)原理的聯(lián)系—組合的應(yīng)用.暗線為:實際問題—“從特殊到一般”研究方法—“轉(zhuǎn)化與化歸”思想方法—計數(shù)問題本質(zhì).組合概念形成的過程，就是數(shù)學(xué)不斷抽象完善的過程.學(xué)生真正參與到知識發(fā)生發(fā)展的過程中，實現(xiàn)自我認(rèn)知，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

3.3 抓核心概念促思維發(fā)展，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

兩個計數(shù)原理是本單元的核心概念，是根據(jù)具體實例抽象概括而來的，關(guān)注概念的形成過程尤其重要.概念中的“完成一件事”比較抽象，在教學(xué)中要注意結(jié)合實例讓學(xué)生辨析.在概念和例題的研究中，要求學(xué)生先思考并說出“要完成的一件事是什么”，逐步加強抽象思維.只有準(zhǔn)確理解了什么叫“要完成的一件事”，才能進一步分析可以用什么方法完成，是否需要分類或分步，從而確定用哪個計數(shù)原理解決問題.

排列和組合是兩類特殊而重要的計數(shù)問題，教學(xué)中首先從簡化運算的角度了解研究排列組合的必要性，加強思維邏輯性，提高學(xué)習(xí)興趣，然后通過具體實例抽象概括出排列、組合的概念.應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理得出排列數(shù)、排列數(shù)公式,再應(yīng)用分步計數(shù)原理和排列數(shù)公式推出組合數(shù)公式.整個過程中兩個基本想法貫穿始終.第一，排列組合是根據(jù)一類問題的特點和規(guī)律，在兩個計數(shù)原理基礎(chǔ)上的簡便計數(shù)方法；第二，不斷強化應(yīng)用兩個計數(shù)原理思考和解決問題的意識.

“二項式定理”的學(xué)習(xí)也是應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決問題的典型過程，其基本思路是“先猜后證”.其中“猜想”的依據(jù),一方面是通過觀察(a+b)n中n分別取1～4時的展開式,概括共同特征歸納得出；另一方面是運用多項式乘法法則和兩個計數(shù)原理對(a+b)n展開式項的特征進行分析而來.學(xué)生對二項式定理展開式與兩個計數(shù)原理之間的內(nèi)在聯(lián)系獲得了認(rèn)知基礎(chǔ)，也為后面的證明奠定了基本思路.在這個過程中學(xué)生抽象歸納能力和聯(lián)系發(fā)展思維得到雙重提升.

這樣，通過引導(dǎo)學(xué)生“追本溯源”，抓數(shù)學(xué)核心概念，把排列、組合、二項式定理的研究引導(dǎo)到如何應(yīng)用兩個計數(shù)原理的思考上來，從而落實深度學(xué)習(xí).新概念的形成過程又是兩個計數(shù)原理的應(yīng)用過程，在這個過程中,數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)既是六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的領(lǐng)跑者,同時又與其他素養(yǎng)以“螺旋式”相融并進.

4 “融合信息技術(shù)，豐富育人環(huán)境”策略為數(shù)學(xué)抽象螺旋式提升保駕護航

高中數(shù)學(xué)課堂融合信息技術(shù)，利用多媒體課件進行知識、思想和方法的“類比”，并給學(xué)生思考留白,能夠有效促進師生交流、生生交流，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維.如“組合”一課，在“應(yīng)用提升”環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生重回引例實際問題，引例問題是數(shù)學(xué)抽象的起點，而抽象出的概念、結(jié)論又服務(wù)于實際問題，再次從實際問題中抽象出組合問題，學(xué)生思維、素養(yǎng)得到螺旋式上升.課前引入和課后小結(jié)遙相呼應(yīng)，利用課件PPT動態(tài)梳理舊知，建立知識框架，引導(dǎo)學(xué)生將新知納入其中，更好地體現(xiàn)了知識的系統(tǒng)化和邏輯性，為抽象素養(yǎng)的落實起到了積極的促進作用.

借助信息技術(shù)的直觀性、形象性，可以有意識地結(jié)合校域、班域設(shè)計問題，將德育教育、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、文化價值滲透蘊含于課堂教學(xué)之中.信息技術(shù)與課程的融合是時代發(fā)展對數(shù)學(xué)課程改革提出的要求，對促進學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力等都有著積極的作用，尤其是為螺旋式提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)發(fā)揮著保駕護航的作用.

真正的思維發(fā)展不是短暫的感悟，而是持續(xù)力量的積聚.正如馬克思主義哲學(xué)所指出的，事物自身的發(fā)展，其方向和趨勢是前進的、上升的，是一個螺旋式曲折前進的過程.數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)不可能一蹴而就，而是循序漸進以“螺旋式”上升發(fā)展的.教師的教學(xué)策略則給予“螺旋式上升”持續(xù)的力量,助推學(xué)生數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)逐漸向著更高遠處不斷提升.