借助定義，妙破問(wèn)題

?安徽省臨泉田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué) 石朝陽(yáng)

定義是相關(guān)知識(shí)的理論基礎(chǔ)和精神靈魂，借助定義，回歸本質(zhì)，往往是破解問(wèn)題的一個(gè)基本切入點(diǎn).圓錐曲線(xiàn)中的拋物線(xiàn)，其定義很好地反映了曲線(xiàn)的本質(zhì)特征，揭示了曲線(xiàn)存在的幾何性質(zhì)與規(guī)律.回歸拋物線(xiàn)定義，應(yīng)用拋物線(xiàn)定義，實(shí)現(xiàn)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與該點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離之間的合理轉(zhuǎn)化，即實(shí)現(xiàn)“兩點(diǎn)距離”和“點(diǎn)線(xiàn)距離”之間的合理轉(zhuǎn)化，是破解拋物線(xiàn)問(wèn)題中非常常用的一個(gè)技巧方法.

1 線(xiàn)段長(zhǎng)度的計(jì)算

例1[2021屆廣東省(新高考)高三衛(wèi)冕聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷·16]已知拋物線(xiàn)x2=8y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，點(diǎn)P是l上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF的垂線(xiàn)交x軸的正半軸于點(diǎn)A，AF交拋物線(xiàn)于點(diǎn)B，PB與y軸平行，則|FA|=.

分析：作出對(duì)應(yīng)的圖形，通過(guò)輔助線(xiàn)的構(gòu)建，借助拋物線(xiàn)定義的轉(zhuǎn)化，結(jié)合平面幾何知識(shí)，利用角的等價(jià)轉(zhuǎn)化確定直角三角形的性質(zhì)，并利用平行關(guān)系以及梯形中位線(xiàn)的性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合，巧妙求解.

解析：如圖1，由題意可得F(0，2)，設(shè)直線(xiàn)l與y軸的交點(diǎn)為D，可得|OD|=|OF|=2.過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為E.

圖1

根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，可得|BF|=|BP|，從而∠BFP=∠BPF.

又PA⊥PF，則有∠BFP+∠BAP=∠BPF+∠BPA，可得∠BAP=∠BPA，從而|BA|=|BP|.

易知PB是Rt△APF斜邊AF上的中線(xiàn)，可得B是AF的中點(diǎn).又PB與y軸平行，可得P是DE的中點(diǎn).所以|FA|=2|PB|=|DF|+|OD|=4+2=6.

故填答案：6.

點(diǎn)評(píng)：合理借助拋物線(xiàn)的定義，實(shí)現(xiàn)線(xiàn)段長(zhǎng)度之間的轉(zhuǎn)化，利用平面幾何知識(shí)，數(shù)形結(jié)合，直觀(guān)想象，可以很好地加以分析與處理.在實(shí)際利用拋物線(xiàn)定義時(shí)，為了實(shí)現(xiàn)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與該點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離之間的轉(zhuǎn)化，經(jīng)常要通過(guò)輔助線(xiàn)的構(gòu)建來(lái)達(dá)到目的.

2 參數(shù)取值的求解

例2[2021屆廣東省佛山市高中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(二)高三數(shù)學(xué)試卷·15]已知拋物線(xiàn)C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，K為C的準(zhǔn)線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)K且傾斜角為45°的直線(xiàn)與C僅有一個(gè)公共點(diǎn)P(3，t)，則t=.

分析：根據(jù)題目條件作出對(duì)應(yīng)的圖形，過(guò)切點(diǎn)作直線(xiàn)垂直于拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，利用三角形形狀的判定，設(shè)出對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)，并結(jié)合拋物線(xiàn)的定義以及題目條件，利用余弦定理在△PKF中建立關(guān)系式，進(jìn)而確定兩參數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合題目條件中切點(diǎn)的坐標(biāo)信息加以綜合，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)值.

圖2

故填答案：6.

點(diǎn)評(píng)：利用平面幾何法破解與拋物線(xiàn)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常通過(guò)拋物線(xiàn)的定義巧妙轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合，直觀(guān)想象，有機(jī)“串聯(lián)”起解三角形、平面向量、平面解析幾何等相關(guān)知識(shí)，結(jié)合平面幾何圖形與性質(zhì)，綜合相關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.

3 最值問(wèn)題的確定

例3(2021屆山東省濟(jì)南市高三十一校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷·15)已知點(diǎn)M(-4，-2)，拋物線(xiàn)x2=4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，P為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)P作PQ⊥l，點(diǎn)Q為垂足，過(guò)P作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)l1，l1與l交于點(diǎn)R，則|QR|+|MR|的最小值為.

分析：根據(jù)題目條件，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及兩直線(xiàn)垂直的斜率關(guān)系來(lái)確定直線(xiàn)的垂直問(wèn)題，利用拋物線(xiàn)的定義以及平面幾何的性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合來(lái)確定線(xiàn)段長(zhǎng)度的和式的最值問(wèn)題.

圖3

故填答案：5.

點(diǎn)評(píng)：確定拋物線(xiàn)上一些相關(guān)線(xiàn)段長(zhǎng)度代數(shù)式的最值問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常借助拋物線(xiàn)的定義，把對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段加以合理轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與該點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離之間的轉(zhuǎn)化，并與其他線(xiàn)段加以有機(jī)融合，或數(shù)形結(jié)合，或利用幾何意義，或不等式放縮，直觀(guān)想象，邏輯推理，巧妙確定.

4 取值范圍中的應(yīng)用

分析：借助圖形直觀(guān)，通過(guò)輔助線(xiàn)的構(gòu)建，結(jié)合拋物線(xiàn)定義加以轉(zhuǎn)化，合理借助梯形性質(zhì)，利用余弦定理建立關(guān)系式，結(jié)合基本不等式加以合理放縮，進(jìn)而建立相應(yīng)的不等式，得以判斷對(duì)應(yīng)線(xiàn)段比值的取值范圍問(wèn)題.

解析：如圖4，設(shè)|AF|=a，|BF|=b，過(guò)點(diǎn)A，B分別作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)AQ，BP，垂足分別為Q，P.

圖4

根據(jù)拋物線(xiàn)定義，可得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|.

所以，在梯形ABPQ中，有2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.

故填答案：(0，1].

點(diǎn)評(píng)：巧妙融合拋物線(xiàn)的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、基本不等式以及余弦定理等相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，借助拋物線(xiàn)的定義加以合理轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合，合理放縮，為線(xiàn)段比值取值范圍的確定提供條件.

利用拋物線(xiàn)定義，往往能達(dá)到回歸問(wèn)題本質(zhì)的目的.借助合理構(gòu)建“兩點(diǎn)距離”和“點(diǎn)線(xiàn)距離”之間的關(guān)系，特別是在破解一些拋物線(xiàn)中與焦點(diǎn)有關(guān)的線(xiàn)段長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí)有奇效，實(shí)現(xiàn)有機(jī)轉(zhuǎn)化，巧妙應(yīng)用.在有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用時(shí)，借助定義，合理轉(zhuǎn)化，巧妙應(yīng)用，全面融合數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).