2022年高考數(shù)學(xué)北京卷第10題賞析*

?北京市第五中學(xué) 許文軍

1 真題呈現(xiàn)

A.[-5，3] B.[-3，5] C.[-6，4] D.[-4，6]

此題以直角三角形為問題背景，結(jié)合單位圓上動(dòng)點(diǎn)的“動(dòng)”，帶領(lǐng)平面向量數(shù)量積的“靜”，串聯(lián)起平面幾何的“形”與平面向量數(shù)量積的“數(shù)”，動(dòng)靜結(jié)合，數(shù)形轉(zhuǎn)化，展示一幅動(dòng)人的畫卷.

本題難度中等，切入點(diǎn)眾多，可以借助平面向量中常用的基底思維、坐標(biāo)思維以及極化恒等式思維等來展開與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)問題的解決，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步加以深入與拓展，形成良好的思維習(xí)慣，收獲更多的知識(shí)、思想方法與能力等.

2 真題破解

方法1：基底法.

解后反思：根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，抓住平面圖形的幾何特征，通過基底的選取與轉(zhuǎn)化，利用平面向量的數(shù)量積公式加以展開與轉(zhuǎn)化.再結(jié)合平面向量夾角的轉(zhuǎn)化，以及三角函數(shù)中輔助角公式的應(yīng)用，借助三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定對(duì)應(yīng)的取值范圍.基底法是破解平面向量問題最常用的基本技巧方法，也是平面向量中“形”的特征的重要體現(xiàn).

方法2：坐標(biāo)法.

解析：如圖1所示，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系xCy，則A(3，0)，B(0，4).

圖1

由PC=1，可設(shè)P(cosθ，sinθ)，θ∈[0，2π)，則

解后反思：根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)建，確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，借助坐標(biāo)法合理表示對(duì)應(yīng)的平面向量，通過坐標(biāo)運(yùn)算來分析與解決平面向量中的相關(guān)問題.坐標(biāo)法是平面向量“數(shù)”的性質(zhì)的重要體現(xiàn)，以“數(shù)”的運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)“形”的特征，達(dá)到解決問題的目的.

方法3：極化恒等式法.

解析：由△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，可得AB=5.

圖2

利用平面向量中的極化恒等式，可得

解后反思：根據(jù)平面向量中的極化恒等式，將平面向量的數(shù)量積由平面向量的線性運(yùn)算的模導(dǎo)出，合理溝通平面向量的數(shù)量積與線性運(yùn)算之間的聯(lián)系，是解決平面向量數(shù)量積問題的一種有力手段.抓住平面向量中的極化恒等式，建立起平面向量與幾何長(zhǎng)度(數(shù)量)之間的橋梁，有效實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合與合理轉(zhuǎn)化，也為問題的深入、拓展與提升提供理論支持.

3 變式拓展

探究1結(jié)合以上高考真題以及相應(yīng)的極化恒等式法的破解，將問題中的數(shù)據(jù)加以一般化，可以得到下面更具一般性的結(jié)論.

利用平面向量中的極化恒等式，可得

探究2保留高考真題的情境與設(shè)置，只改變?nèi)切沃薪堑亩葦?shù)，其他條件不改變，可以得到以下對(duì)應(yīng)的變式問題，考查的基本知識(shí)點(diǎn)與能力點(diǎn)更多，難度更大.

利用余弦定理，可得

圖3

利用平面向量中的極化恒等式，可得

4 教學(xué)啟示

4.1 技巧策略，歸納總結(jié)

解決此類平面向量數(shù)量積的值、最值或取值范圍等問題，常見的技巧策略總結(jié)如下：

(1)坐標(biāo)法.借助平面直角坐標(biāo)系的合理構(gòu)建，利用坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為相關(guān)的函數(shù)(或三角函數(shù))問題來求解.此方法比較容易想到，特別在涉及一些有直角、垂直等要素的平面幾何圖形時(shí)，經(jīng)常采用此方法來解決.

(2)基底法.借助平面向量基底的合理選擇，利用平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積公式等，結(jié)合平面幾何特征與圖形直觀來求解.此方法的關(guān)鍵就是進(jìn)行平面向量的合理轉(zhuǎn)化，思維量相對(duì)復(fù)雜一些，也是比較常用的一種方法.

4.2一題多變，深入探究

對(duì)于平面向量的一些創(chuàng)新、綜合與應(yīng)用問題，可以合理深入挖掘，形成變式拓展，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，從更多層面、更多視角進(jìn)行深入思考.題目背景、條件要素、結(jié)論創(chuàng)設(shè)等各個(gè)視角都可以加以拓展，真正實(shí)現(xiàn)“一題多變”“一題多得”的良好效果，達(dá)到做一題、懂一片、會(huì)一類，脫離“題海戰(zhàn)術(shù)”，拓寬數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，切實(shí)提高數(shù)學(xué)能力，真正達(dá)到舉一反三、融會(huì)貫通的效果.