齊次化聯(lián)立速解內(nèi)準(zhǔn)圓問題*

?福建省莆田第一中學(xué) 林 敏

1 試題呈現(xiàn)與分析

(1)求橢圓C的方程；

當(dāng)切線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+m.

3m2=8+8k2.

設(shè)點(diǎn)M(x1,y1)，N(x2,y2)，聯(lián)立l與橢圓C的方程消y可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0，則

=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)

=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2

2 試題第(2)問的另解

本題第(2)問實(shí)際上需要證明OM⊥ON，即kOM·kON=-1，所以可以構(gòu)造一個(gè)以kOM和kON為兩根的一元二次方程，這正是齊次化聯(lián)立的用武之地，并且由于定點(diǎn)是原點(diǎn)，連平移坐標(biāo)系都省了.

解法2：設(shè)點(diǎn)M(x1,y1)，N(x2,y2)，顯然直線MN不經(jīng)過原點(diǎn)O，設(shè)lMN：mx+ny=1.

因?yàn)镸，N兩點(diǎn)不可能在y軸上,所以x1≠0，x2≠0.故方程兩邊同除以x2并整理得

故OM⊥ON.

評(píng)注：解法2比起傳統(tǒng)聯(lián)立方程計(jì)算向量積的做法要簡(jiǎn)潔很多，可見齊次化聯(lián)立的方法并不僅僅只是用來解決與橢圓上三點(diǎn)有關(guān)的斜率之積或斜率之和的問題，所以掌握解題技巧并不是關(guān)鍵，掌握齊次化構(gòu)造的解題思想才是關(guān)鍵！

3 深度探究

例1咋一看平平無奇，背景卻非常深厚，有很大的教學(xué)價(jià)值和研究空間，所以我們不妨一起做一個(gè)尋根探源活動(dòng)，通過探究活動(dòng)去還原它們本來的模樣[1].

由A，B兩點(diǎn)不可能在y軸上,得x1≠0，x2≠0，方程兩邊同除以x2并整理得

故OA⊥OB.

證明：同結(jié)論1證明過程,則

證明：過點(diǎn)O作OP⊥AB，同結(jié)論2證明，易得

結(jié)論4將上述證明過程中的b2替換為-b2，類似可證明雙曲線中的有關(guān)結(jié)論，在此不再贅述.

4 應(yīng)用拓展

圖1

(1)求橢圓C的方程；

(2)求證：直線MN過定點(diǎn).

(2)當(dāng)直線AB或CD的斜率為0時(shí)，直線MN為x軸.

當(dāng)直線AB與CD的斜率均存在時(shí),設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(xM,yM)，N(xN,yN)，則

故M，N均為曲線3x2-3x+4y2=0上的點(diǎn).

3x2-3x(mx+ny)+4y2=0.

5 小結(jié)

對(duì)于一些比較經(jīng)典的問題，教師不能僅僅“就題論題”，更要“就題論法”“就題論道”，要深入探究題目為什么這樣解.解法能否拓展和推廣.比如，齊次化聯(lián)立不一定要先平移坐標(biāo)系，也不一定只有橢圓上的某三個(gè)點(diǎn)滿足斜率之和或斜率之積為常數(shù)時(shí)才能使用齊次化聯(lián)立.如此，才能把培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng)落在實(shí)處，真正激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神和思維能力.