培育量感：面積教學(xué)的新方向

林嚇妹

長(zhǎng)方形和正方形面積的教學(xué)是整個(gè)面積大單元教學(xué)的起始課。在以往的教學(xué)中，一般是先用面積單位測(cè)量長(zhǎng)方形面積，計(jì)數(shù)所用面積單位的個(gè)數(shù)有兩種方法：一是直接數(shù)出個(gè)數(shù)，這是計(jì)數(shù)水平；二是數(shù)出每行的個(gè)數(shù)和行數(shù)，用乘法計(jì)算出個(gè)數(shù)，這是運(yùn)算水平。雖然它也強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)度量的意義，滲透度量意識(shí)，但僅是在認(rèn)識(shí)度量單位，而對(duì)于面積計(jì)算并沒有突出度量的操作。從對(duì)一維長(zhǎng)度的度量到對(duì)二維面積的度量，是學(xué)生認(rèn)識(shí)上的一次飛躍，是學(xué)生在面積方面的量感發(fā)展。本文以人教版數(shù)學(xué)教材三年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)方形和正方形面積的計(jì)算”為例，論述如何培養(yǎng)學(xué)生的量感。

一、面積的量感

數(shù)感和量感都是數(shù)的表達(dá)，數(shù)感可以把數(shù)的后綴名詞去掉，而量感則是數(shù)要帶著其后綴名詞。所以說，數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，數(shù)量是度量的結(jié)果，數(shù)是對(duì)度量結(jié)果的一種符號(hào)表達(dá)。傳統(tǒng)的度量是對(duì)幾何的長(zhǎng)度、面積、體積等的度量。培養(yǎng)學(xué)生的量感主要有三個(gè)方面：一是統(tǒng)一度量單位，二是選擇度量單位進(jìn)行度量，三是合理得到度量的結(jié)果。

度量物體的長(zhǎng)度，常用的工具是米尺等計(jì)量長(zhǎng)度的儀器。必須提及的是，之所以說數(shù)學(xué)課本的長(zhǎng)是26 cm，是因?yàn)槊壮叩拈L(zhǎng)度是26 cm，它的數(shù)量正好與課本的長(zhǎng)度相等。度量物體的面積有類似于米尺的面積測(cè)量工具嗎？為了教學(xué)方便，教師可以印刷一些面積是1 cm2的方格紙讓學(xué)生用于測(cè)量平面圖形的面積。實(shí)際上，面積測(cè)量工具并不存在，特別是面積是1 m2的測(cè)量工具。

使用面積是1 cm2的方格紙進(jìn)行度量，測(cè)量對(duì)象長(zhǎng)方形角的頂點(diǎn)與方格紙交點(diǎn)重合，相鄰的兩邊與網(wǎng)格線重合。操作之后，學(xué)生要數(shù)出每行的個(gè)數(shù)和行數(shù)，從而感悟到面積也是通過兩點(diǎn)間的距離而得到的，這還是一個(gè)二維空間。若學(xué)生的認(rèn)知只處于計(jì)數(shù)水平，“求面積的大小就是求一個(gè)圖形包含面積單位的個(gè)數(shù)”，那么他可能無法培育出面積的量感。因?yàn)槊娣e的量感不僅有數(shù)量上的多少關(guān)系，還有空間上的大小關(guān)系。

為了培育量感，教學(xué)時(shí)教師可以把面積的度量變成綜合與實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生以主題的形式進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)，先根據(jù)圖形的大小選擇合適的面積單位，接著用選定的面積單位進(jìn)行實(shí)際操作，再通過加法或乘法運(yùn)算合理地得到度量的結(jié)果。經(jīng)過多次重復(fù)操作之后，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用不完全歸納法進(jìn)行推理，進(jìn)而得到長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式。

二、基于培育量感的教學(xué)探究

面積是重要的乘法結(jié)構(gòu)，而乘法結(jié)構(gòu)是在加法結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。量度的積是由兩個(gè)測(cè)量空間的笛卡兒組合（即長(zhǎng)度M1、寬度M2）形成面積M3而構(gòu)成的一個(gè)結(jié)構(gòu)。教學(xué)時(shí)，教師要突出對(duì)乘法結(jié)構(gòu)的認(rèn)知。

（一）選擇工具

教師提出問題：我們的數(shù)學(xué)書封面、課桌面、教室地面都是長(zhǎng)方形，用面積分別是1 cm2的正方形、1 dm2的正方形、1 m2的正方形作為測(cè)量工具，要測(cè)量它們的面積，所使用的測(cè)量工具一樣嗎？

學(xué)生的答案可能有：數(shù)學(xué)書封面比較小，用面積是1 cm2的正方形測(cè)量；教室地面最大，用面積是1 m2的正方形測(cè)量；那么，課桌面就用面積是1 dm2的正方形量。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生明確度量對(duì)象，體會(huì)事物的可測(cè)量屬性，并形成對(duì)面積大小關(guān)系的直觀感知，根據(jù)實(shí)際需要選用不同的面積單位作為度量工具。

（二）度量的操作

教師拿出5 cm×3 cm的長(zhǎng)方形紙片，學(xué)生用面積是1 cm2的正方形紙片度量。度量時(shí)，正方形的頂角與長(zhǎng)方形的頂角重合，用筆在長(zhǎng)方形紙片上畫出面積是1 cm2的正方形，沿著長(zhǎng)邊平移正方形紙片，再畫一個(gè)正方形，一行正好是5 cm2；沿著短邊平移正方形紙片，再畫一個(gè)正方形，正好是3行?；蛘哂妹啃「衩娣e是1 cm2的方格紙進(jìn)行整體度量，在度量時(shí)，長(zhǎng)方形角的頂點(diǎn)與方格紙交點(diǎn)重合，相鄰的兩邊與網(wǎng)格線重合，學(xué)生經(jīng)過觀察會(huì)認(rèn)識(shí)到：每行有5 cm2，有3行。

【設(shè)計(jì)意圖】用1個(gè)單位的正方形紙片把既定的圖形鋪滿，這是面積度量的本原方法。教師還可把面積的度量變成綜合與實(shí)踐活動(dòng)，幫助學(xué)生在活動(dòng)中發(fā)展量感。在度量過程中，學(xué)生要用好后綴詞——計(jì)量單位，它是數(shù)感與量感的根本區(qū)別。把長(zhǎng)方形面積分兩類：每行的面積數(shù)和行數(shù)，為歸納面積計(jì)算公式創(chuàng)造條件，學(xué)生可以體會(huì)面積是一個(gè)二維空間。

（三）度量結(jié)果數(shù)學(xué)化表達(dá)

教師引導(dǎo)學(xué)生把上述度量結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)化表達(dá)，加法算式為：5＋5＋5=15（cm2）；乘法算式為：5×3=15（cm2）。

練一練。學(xué)生用面積是1 dm2的正方形紙片在課桌上度量出6 dm×4 dm=24 dm2的部分，加深體會(huì)度量的積的實(shí)際意義。教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)上述例子進(jìn)行歸納概括：長(zhǎng)方形的面積=每行面積單位數(shù)×行數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】度量的積是學(xué)生認(rèn)識(shí)和掌握長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式的前提條件。運(yùn)用加法意義和乘法意義進(jìn)行列式計(jì)算，歸納面積計(jì)算公式就水到渠成了。

（四）面積再理解

教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)5 cm×3 cm長(zhǎng)方形紙片的度量過程及其結(jié)果進(jìn)行反思性思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：度量得到的每行有5 cm2，它正好對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)5 cm；而度量得到的3行，它正好對(duì)應(yīng)寬3 cm。據(jù)此，學(xué)生提出數(shù)學(xué)猜想：長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬。

接著，學(xué)生對(duì)課桌的度量過程及其結(jié)果進(jìn)行反思，再一次驗(yàn)證猜想。這時(shí)，有學(xué)生可能提出新的面積度量方法，即只需運(yùn)用直尺或米尺就可度量出長(zhǎng)方形的兩條鄰邊的長(zhǎng)度，根據(jù)邊的長(zhǎng)度推想出：每行的面積數(shù)和行數(shù)，再計(jì)算它們的積。

教師引導(dǎo)學(xué)生用米尺度量出教室的長(zhǎng)為8 m、寬為6 m，推想出：每行有8 m2，有6行，面積是48 m2。學(xué)生運(yùn)用不完全歸納法，概括長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式是：長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬。

教師拿出一張A4紙（30 cm×21 cm），剪下一個(gè)最大的正方形，折一折，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：長(zhǎng)與寬相等。學(xué)生進(jìn)而推導(dǎo)出正方形的面積計(jì)算公式是：正方形的面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)。最終引導(dǎo)學(xué)生理解度量的積，即每行有21 cm2，有21行。

【設(shè)計(jì)意圖】長(zhǎng)度M1、寬度M2如何形成面積M3？是相鄰兩條邊的長(zhǎng)度相乘得出來的嗎？5 cm×3 cm怎么會(huì)變成15 cm2？從直觀上看，長(zhǎng)方形的面積是長(zhǎng)與寬的積；從本質(zhì)上看，長(zhǎng)方形的面積是每行面積單位數(shù)和行數(shù)的積，只是每行面積單位數(shù)和行數(shù)與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬相等。長(zhǎng)方形的面積可以用長(zhǎng)度單位進(jìn)行間接度量，學(xué)生就能感悟到面積的本質(zhì)還是兩點(diǎn)間的距離。

三、對(duì)平面圖形面積教學(xué)的啟示

（一）為什么數(shù)方格

數(shù)方格的實(shí)質(zhì)是數(shù)單位面積。數(shù)方格是學(xué)習(xí)求圖形面積的重要方法，特別是在“用線性測(cè)量的方法測(cè)量面積”之前；數(shù)方格還用于推導(dǎo)長(zhǎng)方形、平行四邊形等平面圖形的面積公式。除此之外，數(shù)方格還有許多奧秘需要進(jìn)一步研究。

1.對(duì)方格的認(rèn)識(shí)

尺子是長(zhǎng)度的測(cè)量工具，把尺子上的長(zhǎng)度映射到物體上就得到物體的長(zhǎng)度。一般地，在面積的教學(xué)中，只有面積單位，而沒有像尺子那樣的面積測(cè)量工具。為了適應(yīng)教學(xué)的需要，教師可以自制面積的測(cè)量工具——打印面積是1 cm2的方格紙或購買網(wǎng)格坐標(biāo)計(jì)算紙。方格的幾何特征是有4個(gè)直角、4條邊相等，方格的面積單位意義是可用“1”表示。因此，一個(gè)方格表示1個(gè)面積單位，一些方格則表示像尺子那樣的面積測(cè)量工具。教學(xué)時(shí)，教師先要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)方格的幾何特征和面積單位意義，然后才能把作為測(cè)量對(duì)象的平面圖形放置在方格紙上，最終通過計(jì)算方格的數(shù)量從而確定平面圖形的面積。

2.數(shù)方格要分類

數(shù)方格有兩種方式：一是不分類，即每個(gè)方格都是表示1個(gè)面積單位，這種具有同一性的認(rèn)知，可以作為數(shù)的認(rèn)識(shí)的“幾何直觀”使用，它不一定要賦予面積單位的意義。此時(shí)，學(xué)生的認(rèn)知處于計(jì)數(shù)水平。二是有分類，即方格按“行”分類，第一行方格為一類，第二行方格則為另一類，這兩類方格為全異關(guān)系，所以，可以合并起來用加法計(jì)算；方格有b行，就是分b類。在面積測(cè)量時(shí)，每行有a個(gè)面積單位，可以轉(zhuǎn)換圖形的長(zhǎng)為a個(gè)長(zhǎng)度單位；有b行，可以轉(zhuǎn)換圖形的長(zhǎng)為b個(gè)長(zhǎng)度單位。方格的分類與圖形的長(zhǎng)、寬建立了必然的聯(lián)系，學(xué)生就學(xué)會(huì)“用線性測(cè)量的方法測(cè)量面積”。教學(xué)時(shí)，教師要讓學(xué)生的認(rèn)知從計(jì)數(shù)水平上升到運(yùn)算水平，進(jìn)而探究和掌握?qǐng)D形的面積公式。

3.用方格測(cè)量

用方格紙測(cè)量圖形的面積有操作的基本要求，即圖形有一個(gè)角的頂點(diǎn)與方格的一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)重合，圖形有一條邊與方格的一條網(wǎng)格線重合。測(cè)量過程中，方格的數(shù)量有多少，那么圖形的面積就有多少，其結(jié)果可以表征為數(shù)方格。數(shù)方格的過程與結(jié)果，常常成為探究圖形的面積公式的路徑。教學(xué)時(shí)，教師要讓學(xué)生經(jīng)歷用方格測(cè)量面積的過程，否則“只是簡(jiǎn)單地‘告訴’學(xué)生圖形的面積公式，這對(duì)學(xué)生來說，即使不是毫無意義，也是意義甚微的?！?/p>

數(shù)方格還有一個(gè)教學(xué)目的是讓學(xué)生不數(shù)方格，并學(xué)會(huì)用長(zhǎng)度單位進(jìn)行間接的度量，提煉出圖形的面積公式，利用公式計(jì)算面積。進(jìn)一步說，最終是達(dá)到用面積單位的直接測(cè)量與用長(zhǎng)度單位的間接測(cè)量這兩個(gè)測(cè)量方法之間的統(tǒng)一。有了這個(gè)統(tǒng)一，學(xué)生就能將圖形的長(zhǎng)度和寬度自動(dòng)地想象成用面積單位度量的樣子，形成面積的量感。

（二）圓的面積如何數(shù)方格

用數(shù)方格的方法度量直線圖形，教學(xué)時(shí)比較容易操作，學(xué)生也比較容易理解，因?yàn)槿我獾闹本€圖形總有關(guān)鍵點(diǎn)可以與網(wǎng)線點(diǎn)重合。圓是曲線圖形，它沒有直角，還能不能用方格紙度量其面積，并使得所有的圖形面積具有面積度量的一致性？在這里，考驗(yàn)著學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。在圓上所有的點(diǎn)都是平等的，確實(shí)沒有關(guān)鍵點(diǎn)，但在圓的內(nèi)部卻有一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，那就是圓心。圓心的作用不僅決定著圓形所在的位置，它還是用面積單位進(jìn)行度量的關(guān)鍵點(diǎn)，在方格紙上圓心與網(wǎng)格點(diǎn)重合，可以結(jié)合估算度量圓的面積。當(dāng)然，比較有智慧的學(xué)生也可能以圓上的任意點(diǎn)作為關(guān)鍵點(diǎn)，使得圓的直徑及其切線分別與方格紙兩垂線重合，在外方內(nèi)圓的圖形里探究圓的面積的度量。

（三）不規(guī)則圖形如何數(shù)方格

規(guī)則的圖形可以用數(shù)方格的方法度量面積，其實(shí)不規(guī)則圖形也可以使用這種方法。通過圖形的中心點(diǎn)度量其面積是任意圖形的面積度量通用的方法，即以不規(guī)則圖形的合適位置為中心點(diǎn)作垂線，中心點(diǎn)與方格紙的網(wǎng)格點(diǎn)重合，垂線與方格紙的網(wǎng)格線重合，再結(jié)合移多補(bǔ)少的方法，不規(guī)則圖形的面積就度量出來了。

綜上所述，圖形的面積教學(xué)要讓學(xué)生“經(jīng)歷選擇面積單位進(jìn)行測(cè)量的過程，理解面積的意義，形成量感”，這是面積教學(xué)的新方向。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）