基于觀念體系探索數(shù)學(xué)整體教學(xué)

張建明　周林

摘? 要：整體教學(xué)理論突出單元與課時的一致性和連貫性，鼓勵學(xué)生建構(gòu)知識間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，在認(rèn)識空間圖形基本位置關(guān)系的過程中，從現(xiàn)實世界中的長方體模型抽象空間圖形，通過其組成元素的關(guān)系研究其位置關(guān)系，借助直觀與操作，利用“三種語言”數(shù)學(xué)地認(rèn)識事物，在這個過程中挖掘內(nèi)蘊在概念和定理中的一般觀念，逐步發(fā)展學(xué)生的理性思維.

關(guān)鍵詞：整體教學(xué)；一般觀念；單元教學(xué)

一、研究的背景和依據(jù)

從當(dāng)前的教學(xué)來看，很多教師仍然沒有認(rèn)識到為何要實施單元整體下的課時教學(xué)，以及如何實施單元整體下的課時教學(xué).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）在“實施建議”中指出，教材編寫應(yīng)該體現(xiàn)整體性，注重教材的整體結(jié)構(gòu)與教學(xué)內(nèi)容的銜接；教師更要關(guān)注主題、單元的教學(xué)目標(biāo)，積極探索有利于學(xué)生學(xué)習(xí)的多樣化教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握教學(xué)內(nèi)容，實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

整體教學(xué)理論強調(diào)以“整體—部分—整體”的方式開展單元教學(xué)，突出單元與課時的一致性和連貫性，促使學(xué)生在理解內(nèi)容的基礎(chǔ)上建構(gòu)內(nèi)容間的結(jié)構(gòu)關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)并學(xué)會思考. 整體化有序設(shè)計單元教學(xué)有利于促進教師整體教學(xué)思維的形成.

單元教學(xué)的核心思想是系統(tǒng)思維. 這就要求教師在設(shè)計單元教學(xué)時要從整體視角分析單元內(nèi)容，深刻理解數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)及其本質(zhì)，明晰數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在內(nèi)容體系形成中表現(xiàn)出的連續(xù)性和階段性，幫助學(xué)生厘清知識的來龍去脈，建立知識間的聯(lián)系.

“觀念”泛指客觀世界在人頭腦中的反映，是在感覺和知覺基礎(chǔ)上形成的客觀事物的外部特征在人腦中重現(xiàn)的形象，即對事情的主觀與客觀認(rèn)識的系統(tǒng)化. 在日常生活中，人對于事物的直觀認(rèn)識就可以認(rèn)為是一種觀念，我們可以利用觀念系統(tǒng)（觀念體系）對事物進行決策、計劃、實踐、總結(jié)等. 觀念（體系）具有以下兩個顯著特征：（1）觀念是高度抽象的，具有系統(tǒng)性，與具體對象的聯(lián)系不是顯而易見的；（2）觀念體系源自一系列的具體對象，因此普適性是觀念體系最重要的特征之一.

觀念體系呈現(xiàn)在數(shù)學(xué)情境中形成數(shù)學(xué)一般觀念. 章建躍博士認(rèn)為，數(shù)學(xué)一般觀念是對數(shù)學(xué)內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想和方法的進一步提煉和概括，是研究數(shù)學(xué)對象的方法論. 這里強調(diào)了內(nèi)容與思想的概括及對研究方法的梳理，對提高學(xué)生思維的系統(tǒng)性和結(jié)構(gòu)性起到了引領(lǐng)性作用. 數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是發(fā)展學(xué)生的思維能力，在教學(xué)過程中要注重培養(yǎng)學(xué)生從基本概念、基本原理及其聯(lián)系性出發(fā)思考和解決問題的習(xí)慣. 因此，有必要在觀念體系，即數(shù)學(xué)一般觀念的指導(dǎo)下進行單元整體教學(xué)，挖掘蘊含在概念和定理中的一般觀念，逐步培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

二、數(shù)學(xué)一般觀念的重要性

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)學(xué)所能夠提供的觀察、思考和表達方式是人類有效探索自然的基本模式. 數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象，通過對數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象得到數(shù)學(xué)的研究對象及其關(guān)系：基于抽象結(jié)構(gòu)，通過對研究對象的符號運算、形式推理、模型構(gòu)建等形成數(shù)學(xué)的結(jié)論和方法，幫助人們認(rèn)識、理解和表達現(xiàn)實世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，通過引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷獨立的數(shù)學(xué)思維過程，促使學(xué)生理解數(shù)學(xué)基本概念和法則的發(fā)生與發(fā)展，以及數(shù)學(xué)基本概念之間和數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界之間的聯(lián)系，有意識地運用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實生活與其他學(xué)科中事物的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，進而逐步實現(xiàn)課程目標(biāo)，立足學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展，集中體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的育人價值.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有基礎(chǔ)性、適切性、可行性，同時具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同表現(xiàn)（如表1）.

由表1分析可知，小學(xué)階段側(cè)重對經(jīng)驗的感悟；初中階段側(cè)重對概念的理解；高中階段側(cè)重正確價值觀、必備品格和關(guān)鍵能力的形成. 這里體現(xiàn)了如下三個不同層次.

數(shù)學(xué)意識. 這是一種基于經(jīng)驗的感悟，是學(xué)生通過多次參與某種數(shù)學(xué)活動，逐步形成的對活動特征、過程和操作方法的感性認(rèn)識，其中既有感知的成分，又有思維的成分. 特點是具體化、個性化和波動性，還沒有形成明確的、穩(wěn)定的思考與做事原則.

數(shù)學(xué)觀念. 這是一種基于概念的理解，是學(xué)生通過對學(xué)科基本概念的理解，逐步形成的對學(xué)科特征、問題和思考方式的理性認(rèn)識. 特點是帶有學(xué)科特征，相對穩(wěn)定，對進行數(shù)學(xué)思考和解決數(shù)學(xué)問題有一定的指導(dǎo)作用. 以北師大版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“北師大版教材”）必修第二冊“空間圖形基本位置關(guān)系的認(rèn)識”一課為例，類比平面幾何中的位置關(guān)系：直線—直線的平行（平直性）—直線的垂直（對稱性），確定了本單元立體幾何中的位置關(guān)系研究的整體架構(gòu)：平面—直線、平面的平行—直線、平面的垂直. 具體過程是從現(xiàn)實世界中的長方體模型抽象出空間圖形，獲得幾何對象點、線、面. 通過基本圖形組成元素之間的相互關(guān)系，類比直線的位置關(guān)系的定義方式，從公共點、公共直線的角度研究空間基本圖形的位置關(guān)系. 借助直觀與操作，按照位置關(guān)系逐類展開研究，利用“三種語言”數(shù)學(xué)地認(rèn)識事物. 這是研究位置關(guān)系的一般路徑和方法，即直觀感知（識圖）—構(gòu)成要素之間的關(guān)系—操作確認(rèn)（抽象、畫圖）—數(shù)學(xué)表述（語言）.

關(guān)鍵能力. 這是一種基于問題解決的穩(wěn)定的心理特征，是學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的基礎(chǔ)上，通過數(shù)學(xué)活動和問題解決將數(shù)學(xué)基本思想方法內(nèi)化的結(jié)果. 其特點是可以外顯為問題的解決和思維品質(zhì).

在教學(xué)設(shè)計和課堂實施中，要通過啟發(fā)暴露數(shù)學(xué)概念、結(jié)論、應(yīng)用的形成與發(fā)展過程，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)基本思想，不斷積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展. 從義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)意識到高中階段的關(guān)鍵能力，需要體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容的邏輯體系，揭示數(shù)學(xué)內(nèi)容的發(fā)生、發(fā)展過程. 這就要求教師把教學(xué)內(nèi)容整合為連續(xù)的、緊密相關(guān)的學(xué)習(xí)進程. 因此，需要建立具有統(tǒng)攝性的數(shù)學(xué)一般觀念來指導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和探究活動，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí).

三、發(fā)展數(shù)學(xué)一般觀念的具體路徑

1. 從教材的整體結(jié)構(gòu)發(fā)展數(shù)學(xué)一般觀念

《標(biāo)準(zhǔn)》在“教材編寫建議”中提出了“教材編寫應(yīng)體現(xiàn)整體性”的要求，并指出高中數(shù)學(xué)主要內(nèi)容分為四條主線，它們既相對獨立，又相互聯(lián)系. 同時，教材各個章節(jié)的設(shè)計要體現(xiàn)三個關(guān)注：關(guān)注同一主線內(nèi)容的邏輯關(guān)系；關(guān)注不同主線內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系；關(guān)注不同數(shù)學(xué)知識所蘊含的通性通法和數(shù)學(xué)思想. 因此，數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)展開應(yīng)該循序漸進、螺旋上升，使教材成為一個有機的整體.

高中數(shù)學(xué)內(nèi)容四條主線中的函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計都有各自的基本路徑. 例如，在必修課程與選擇性必修課程中，突出幾何直觀與代數(shù)運算之間的融合，即通過形與數(shù)的結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，進而加強學(xué)生對數(shù)學(xué)整體性的理解. 幾何與代數(shù)主題的教學(xué)目的有兩點：一是為代數(shù)特別是線性代數(shù)的學(xué)習(xí)建立幾何直觀，這個幾何直觀對于學(xué)生的未來學(xué)習(xí)是非常重要的；二是讓學(xué)生知道如何用代數(shù)運算解決幾何問題，這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要研究手法.

在幾何與代數(shù)這一主題下涵蓋了平面向量、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等內(nèi)容. 下面主要以平面向量和立體幾何為例，說明教學(xué)基本框架的建構(gòu)過程.

向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和豐富的物理背景. 向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁. 因此，平面向量的學(xué)習(xí)包含物理路徑和數(shù)學(xué)路徑. 物理路徑主要是啟發(fā)學(xué)生思考如何抽象一個研究對象，以及如何通過類比的方法把物理情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)情境等. 具體教學(xué)路徑如圖1所示.

對于數(shù)學(xué)路徑，基于與數(shù)的研究類比和與幾何圖形的研究類比，可以得到以下兩種路徑：運算對象—運算法則和性質(zhì)—聯(lián)系和綜合—應(yīng)用；向量的圖形表示—幾何意義—幾何關(guān)系的向量表示—利用向量研究幾何圖形的性質(zhì)和度量.

直觀想象素養(yǎng)是立體幾何教學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要目標(biāo). 直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng). 直觀想象主要包括：借助空間認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化和運動規(guī)律；利用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問題；建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路. 因此，本單元的研究路徑可以從數(shù)與形兩個角度入手確定.

數(shù)式直觀：定性分析（定義、性質(zhì)、關(guān)系等）—定量分析（長度、角度等）.

圖形直觀：直觀感知（識圖）—操作確認(rèn)（畫圖）—思辨論證（證圖）.

歸納以上各條主線的研究路徑，確定其基本要點都是：背景（現(xiàn)實世界中的一類現(xiàn)象）—概念（研究對象）—性質(zhì)（要素、相關(guān)要素之間的關(guān)系或變化規(guī)律等）—結(jié)構(gòu)（相關(guān)知識之間的聯(lián)系）—應(yīng)用.

2. 從教材內(nèi)容的整體分析發(fā)展數(shù)學(xué)一般觀念

一般地，每一章內(nèi)容都有特定的研究對象. 教材的編寫首先需要構(gòu)建相應(yīng)的研究框架，設(shè)計研究路徑，然后再循序漸進地、有邏輯地安排具體內(nèi)容，并選取適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)素材創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生從情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，探索研究方法，獲得研究結(jié)果并用于解決問題. 因此，教師在使用教材時關(guān)鍵的環(huán)節(jié)就是對教材進行深度分析，從不同的視角解讀教材，揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，并在理解教材的基礎(chǔ)上，借助數(shù)學(xué)一般觀念的引領(lǐng)，逐步明確研究一個數(shù)學(xué)對象的基本框架和路徑，這對發(fā)展學(xué)生的理性思維起著至關(guān)重要的作用. 北師大版教材主要通過章引言和章小結(jié)這一頭一尾來呈現(xiàn)研究一個數(shù)學(xué)對象的基本路徑.“立體幾何初步”的章引言是：初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面幾何，研究了一些平面圖形的形狀、大小、位置關(guān)系，還有平面圖形的畫法、計算問題，……研究空間的各種幾何圖形的形狀和大小，研究這些圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系……

“立體幾何初步”一章將學(xué)習(xí)立體幾何的一些基礎(chǔ)知識，以具體的立體圖形特別是長方體為基礎(chǔ)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計算等方法，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識幾何體的基本元素（點、線、面），討論這些基本元素之間的位置關(guān)系（平行與垂直），討論基本圖形柱、錐、臺、球的簡單度量關(guān)系（表面積和體積）. 以提升學(xué)生的直觀想象和邏輯推理等素養(yǎng). 上述章引言給出了立體幾何的研究路徑：實際物體—抽象概念—判定與性質(zhì)—知識結(jié)構(gòu)—應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)一般觀念引領(lǐng)下的內(nèi)容組織與呈現(xiàn)方式.

本章小結(jié)包括“知識結(jié)構(gòu)”“學(xué)習(xí)要求”“需要關(guān)注的問題”三部分. 其中，“知識結(jié)構(gòu)”以框圖形式呈現(xiàn)本章的知識要點、脈絡(luò)結(jié)構(gòu)和相互聯(lián)系（如圖2），是本章的思維導(dǎo)圖，清晰地呈現(xiàn)了本章內(nèi)容的結(jié)構(gòu)、重要知識和研究路徑，有助于學(xué)生自我學(xué)習(xí)，形成對本章的認(rèn)知結(jié)構(gòu).“學(xué)習(xí)要求”是對“知識結(jié)構(gòu)”的細(xì)化，明確了本章內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想，是對本章內(nèi)容的整體概述.“需要關(guān)注的問題”是以本章的內(nèi)容結(jié)構(gòu)為線索，通過問題引導(dǎo)學(xué)生回顧知識，深化對本章主要內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的理解，同時鼓勵學(xué)生獨立思考、反思，借助復(fù)習(xí)參考題進行再學(xué)習(xí)，進而形成對本章知識與方法更完整的自我構(gòu)建. 這種對本章內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想和方法的滲透與提煉，正是數(shù)學(xué)一般觀念的“完美體現(xiàn)”.

3. 基于整體教學(xué)設(shè)計課時教學(xué)，發(fā)展數(shù)學(xué)一般觀念

數(shù)學(xué)一般觀念的建構(gòu)教學(xué)有利于增進學(xué)生對知識的深刻理解，發(fā)展學(xué)生的理性思維. 因此，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)一般觀念應(yīng)該是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的首要目標(biāo). 由于學(xué)科一般觀念具有全息性特點，這種全息性可以發(fā)展為很強的整體性、結(jié)構(gòu)性和綜合性，因此應(yīng)該通過綜合感知、整體感知，使學(xué)生對隱藏于數(shù)學(xué)對象深層的數(shù)學(xué)事物關(guān)系間的和諧性與規(guī)律性有深切感受，對隱藏于數(shù)學(xué)知識間的邏輯脈絡(luò)和演繹方式有深切感受. 下面就以“空間圖形基本位置關(guān)系的認(rèn)識”一課為例探索發(fā)展數(shù)學(xué)一般觀念的具體過程.

（1）教材分析.

在本節(jié)課之前的內(nèi)容是立體圖形的特征和直觀圖等，本節(jié)課利用學(xué)生熟悉的長方體模型進行教學(xué)，充分體現(xiàn)了對前面所學(xué)知識的延續(xù). 從對立體圖形的認(rèn)識擴展到對點、線、面的認(rèn)識，有效培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng). 本節(jié)課的內(nèi)容是后續(xù)幾節(jié)課內(nèi)容的統(tǒng)領(lǐng)性知識，本節(jié)課系統(tǒng)梳理了空間中點、線、面的位置關(guān)系. 本節(jié)課主要通過圖形特征進行教學(xué)，后續(xù)的章節(jié)則是通過嚴(yán)密的邏輯推理進行證明. 北師大版教材對這部分內(nèi)容按照“總—分”式的結(jié)構(gòu)進行處理，本節(jié)課就是“總”的部分.

（2）學(xué)情分析.

學(xué)生在初中階段接觸過平面幾何，已經(jīng)具備了基本的邏輯推理能力，為后續(xù)立體幾何相關(guān)命題的證明提供了必要的能力基礎(chǔ). 此類證明問題對學(xué)生來說具有一定的挑戰(zhàn)性，容易引起學(xué)生的興趣，學(xué)生可以保持強烈的欲望學(xué)習(xí)相應(yīng)的知識.

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了立體圖形中的頂點、棱、底面等幾何元素的相關(guān)概念，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了必要的理論基礎(chǔ). 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了集合及簡易邏輯等相關(guān)知識，對使用符號語言表達點、線、面的位置關(guān)系提供了必要的知識基礎(chǔ). 長方體中的線段與平面都是“有界”的，學(xué)生需要將其拓展至“無限”. 在前一節(jié)課中，通過“平面”的學(xué)習(xí)，學(xué)生也具備了一定的想象能力. 基于此，確定學(xué)生對于本節(jié)課知識的學(xué)習(xí)已經(jīng)做好了知識與能力方面的準(zhǔn)備.

（3）目標(biāo)分析.

通過觀察長方體的頂點、棱、面等幾何元素認(rèn)識空間中點、線、面等幾何元素的位置關(guān)系，據(jù)此獲得位置關(guān)系的分類方式和準(zhǔn)確定義；通過合作探究研究各類位置關(guān)系的文字語言、圖形語言和符號語言，并在交流的過程中不斷進行完善和精確；通過“有界”的圖形想象“無限”的幾何元素，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)；通過規(guī)范化的符號語言培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

（4）教學(xué)重點和教學(xué)難點.

教學(xué)重點：了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系.

教學(xué)難點：會用圖形語言、符號語言表示直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系.

直觀想象就是在幾何直觀的基礎(chǔ)上展開創(chuàng)造性想象，它是立體幾何教學(xué)中核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要目標(biāo). 對此，確定本節(jié)課的直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)要求：熟悉基本立體圖形，包括理解立體圖形的特征及其組成要素之間的相互關(guān)系；能準(zhǔn)確畫圖；能在頭腦中想象立體圖形中基本元素之間的位置關(guān)系.

明確研究對象和研究方法是立體幾何教學(xué)的核心. 對此，要啟發(fā)學(xué)生明確研究對象，即要研究什么問題，同時還要鼓勵學(xué)生知道怎么研究. 使學(xué)生體會立體幾何研究的基本思路和基本方法，逐步學(xué)會抽象數(shù)學(xué)對象、提出數(shù)學(xué)問題的方法，以提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力.

本節(jié)課基于逆向教學(xué)設(shè)計模型，從例題倒推教學(xué)任務(wù)，確定突破教學(xué)重點和教學(xué)難點的方法（重點探究直線與直線的位置關(guān)系，類比研究其他位置關(guān)系），設(shè)計學(xué)生活動（獨立思考、合作探究、正確畫圖），選擇合適的教學(xué)情境（以長方體為載體進行觀察、抽象和表述）.

（5）教學(xué)過程設(shè)計.

環(huán)節(jié)1：預(yù)習(xí)展示.

課前任務(wù)1：制作一個長方體模型.

課前任務(wù)2：畫一個長方體的直觀圖.

師生活動：要求學(xué)生展示預(yù)習(xí)成果，通過熟悉的立體圖形形成抽象幾何對象的一般方法.

師：基于課前任務(wù)，嘗試抽象出空間中點與直線的位置關(guān)系，分別用圖形語言、文字語言、符號語言加以描述. 類似地，進一步探究點與平面的位置關(guān)系.

師生活動：讓學(xué)生展示預(yù)習(xí)成果，感受學(xué)生表達和邏輯的嚴(yán)密性.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生從熟悉的立體圖形入手，在體會抽象幾何對象一般方法的同時，使用三種語言進行相關(guān)表述，為下面研究其他位置關(guān)系做鋪墊.

環(huán)節(jié)2：探究活動.

探究1：探究空間中直線與直線的位置關(guān)系.

師：觀察長方體模型及其直觀圖，你能發(fā)現(xiàn)其中的直線與直線之間有哪些位置關(guān)系嗎？

師生活動：讓學(xué)生展示思考成果，并讓學(xué)生之間相互評價，教師進行適當(dāng)補充.

【設(shè)計意圖】通過直線與直線位置關(guān)系的梳理與比較，明確直線與直線的位置與交點間的關(guān)系，進一步明確刻畫位置關(guān)系的一般方法，即利用空間圖形的組成要素進行描述.

師：通過探究，我們可以知道直線與直線之間的位置關(guān)系分為共面與異面兩種，而共面又分相交與平行. 其中，相交直線僅有一個交點，平行直線和異面直線都沒有交點. 大家嘗試使用“三種語言”表述直線與直線之間不同的位置關(guān)系.

師生活動：學(xué)生通過獨立思考和合作交流等方式完成任務(wù)，教師對學(xué)生表述不嚴(yán)謹(jǐn)之處給予補充、糾正.

【設(shè)計意圖】通過使用三種語言表述直線與直線之間的位置關(guān)系，讓學(xué)生進一步體會并掌握“三種語言”之間的轉(zhuǎn)化，尤其注意圖形語言的使用和符號語言的準(zhǔn)確度.

師：回顧點與直線、點與平面及直線與直線的位置關(guān)系的研究過程，其研究路徑是什么？

師生活動：師生共同回憶、總結(jié). 教師引導(dǎo)學(xué)生類比研究方法，進一步對直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系進行探究.

【設(shè)計意圖】幫助學(xué)生建立“模型—定義—表示”的位置關(guān)系研究路徑，這是形成數(shù)學(xué)一般觀念的具體途徑，也為后續(xù)研究做好鋪墊.

探究2：探究空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系.

師：類比空間中直線與直線位置關(guān)系的研究方法，大家嘗試以小組為單位繼續(xù)探究空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系. 在交流過程中，要注意分類的標(biāo)準(zhǔn)、圖形的畫法和語言的表述.

師：大家借助手中的長方體模型及教室內(nèi)的物體，舉例說明直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系.

師生活動：基于學(xué)生的合作探究，師生共同總結(jié)、歸納出直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系及相關(guān)內(nèi)容如表2和表3所示.

【設(shè)計意圖】通過公共點個數(shù)明確直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系，明晰研究點、線、面之間位置關(guān)系的一般方法.

環(huán)節(jié)3：目標(biāo)檢測.

練習(xí)：用符號語言表示圖3中各直線、平面之間的位置關(guān)系.

【設(shè)計意圖】明確直線、平面之間的位置關(guān)系，熟悉符號語言和圖形語言的轉(zhuǎn)化，為后續(xù)證明提供思想基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)4：反思升華.

利用以下問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容.

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些知識？

（2）如何對基本圖形的位置關(guān)系進行研究？

（3）本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，你認(rèn)為哪個概念最難理解？

【設(shè)計意圖】梳理知識，讓知識形成網(wǎng)絡(luò)，便于學(xué)生理解、記憶.

環(huán)節(jié)5：作業(yè)布置.

基礎(chǔ)性作業(yè)：北師大版教材第210頁練習(xí)第1題和第2題.

【設(shè)計意圖】進一步挖掘教材習(xí)題的示范功能，加深學(xué)生對三種語言的理解.

發(fā)展性作業(yè)：如圖4，在各小題后的橫線上填寫對應(yīng)的圖形序號.

（1）[A?α，a?α]：_____；

（2）[α?β=a，P?α且P?β]：_____；

（3）[a?α=A]：_____；

（4）[α?β=a，α?γ=c，β?γ=b，a?b?c=O]：_____ .

【設(shè)計意圖】鞏固學(xué)生對圖形語言和符號語言之間轉(zhuǎn)換的掌握.

探究性作業(yè)：思考如何用圖形語言表示異面直線.

【設(shè)計意圖】鞏固研究點、線、面位置關(guān)系的一般觀念，進一步培養(yǎng)學(xué)生運用圖形語言解決問題的能力.

四、結(jié)束語

數(shù)學(xué)教學(xué)要實現(xiàn)對學(xué)生相關(guān)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，發(fā)展學(xué)生的理性思維. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要注重觀念體系的引領(lǐng)作用，提高思維的系統(tǒng)性和結(jié)構(gòu)性，以更好地實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的育人目標(biāo).

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基金項目：安徽省淮北市教育科學(xué)研究課題——面向資優(yōu)生學(xué)科素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)與評價研究（HBJK2102018）.

作者簡介：張建明（1980— ），男，中學(xué)高級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)研究；

周林（1982— ），男，中學(xué)高級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)競賽研究.