PBL教學(xué)法在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程教學(xué)中的應(yīng)用

國洪松

（中國礦業(yè)大學(xué)（北京）理學(xué)院，北京 100083）

0 引言

傳統(tǒng)的教學(xué)模式，以教師講授為主，學(xué)生被動地接受新知識，可能會對知識背景理解不深刻，甚至感到內(nèi)容枯燥，失去了自主探索的興趣。PBL（Problem-Based Learning）教學(xué)法是一種基于問題導(dǎo)向、以學(xué)生為中心的教學(xué)方法，由教師提出實(shí)際問題，啟發(fā)學(xué)生自由討論，探索新知識的教學(xué)模式[1-2]。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是一門研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科[3-6]。很多概率統(tǒng)計模型都有著深刻的現(xiàn)實(shí)背景，如等可能概型、中心極限定理、三大導(dǎo)出分布等，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用[7-9]。但是在以往的教學(xué)中，教師急于講授概率論與數(shù)理統(tǒng)計的相關(guān)數(shù)學(xué)知識，往往把很多概念和定理結(jié)論全盤托出，而忽略了學(xué)生是否能夠理解和接受；學(xué)生也以考試為目的，對相關(guān)概念和性質(zhì)死記硬背，面對實(shí)際問題不會分析，不能正確建立數(shù)學(xué)模型，從而無從下手，沒有辦法解決。

如果在教學(xué)中能采用PBL教學(xué)法，將抽象的課程知識和實(shí)際問題相結(jié)合，啟發(fā)學(xué)生自主探索，建立數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)知識來解決實(shí)際問題，就能起到事半功倍的效果。本文主要探索PBL教學(xué)法在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)中的應(yīng)用，通過具體教學(xué)案例──條件概率，體現(xiàn)該教學(xué)方法的實(shí)施過程和效果。

1 PBL教學(xué)法的實(shí)施過程和教學(xué)案例—條件概率

由于條件概率在現(xiàn)實(shí)當(dāng)中有著廣泛的應(yīng)用，可以先給出引例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生分析問題和解決問題，進(jìn)一步引出條件概率的定義。

1.1 問題導(dǎo)入：創(chuàng)設(shè)問題情境

例1設(shè)有十張獎券，其中三張寫著中獎，其余寫著謝謝參與。甲乙兩人依次來抽獎，問：甲抽完獎券后，乙中獎的概率是多大？

1.2 分析問題

先由學(xué)生初步討論分析：甲先抽獎，由之前所學(xué)的等可能概型可知，甲中獎的概率為，因?yàn)槭且来纬楠?，那么會面臨這樣的問題：甲中獎與否，是否會影響乙中獎的概率？乙中獎的概率又是多大呢？

因?yàn)閮扇耸且来纬楠劊梢苑謨煞N情況來討論乙中獎的概率：如果甲中獎，則乙中獎的概率為；如果甲未中獎，則乙中獎的概率為。

教師創(chuàng)設(shè)情境，為導(dǎo)入新知做準(zhǔn)備。由實(shí)際問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而用概率論的知識來刻畫，并鼓勵學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律，增加學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

1.3 條件概率的定義和計算

定義A,B設(shè)是兩個事件，且P(A)>0稱

為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。

由條件概率的定義可知,條件概率的計算方法有兩種：

（1）按條件概率的含義，直接求出P(B|A)。這樣方法相當(dāng)于在縮減了的樣本空間S4中計算事件B的概率，如圖1所示：

圖1 條件概率示意圖

例2（續(xù)例1）設(shè)有十張獎券，其中三張寫著中獎，其余寫著謝謝參與。甲乙兩人依次來抽獎。求已知甲乙兩人中恰有一人中獎，中獎人是甲的概率。

分析：這個問題的解決關(guān)鍵是如何正確的建立數(shù)學(xué)模型，將所求問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)事件的條件概率。在講授這個問題的具體解決方法之前，可以讓學(xué)生分組討論，先鼓勵學(xué)生“猜測”所求概率（或者條件概率）可能是多少，再來引導(dǎo)建立數(shù)學(xué)模型，例如提出問題：怎樣才能將這樣的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為概率的問題呢？以及，如何用條件概率的定義確切地求解和計算該問題？

解：將十張獎券進(jìn)行標(biāo)號1，2，…，10，假設(shè)1，2，3號獎券上寫著中獎，其他號碼的獎券上寫著謝謝參與。用，表示甲和乙抽到的獎券號碼，則樣本空間。用表示事件“甲乙兩人恰有一人中獎”，表示事件“甲中獎”，則

對于這個問題，可以鼓勵學(xué)生利用兩種條件概率的求解方法，既可以加深對條件概率定義的理解，又可以幫助學(xué)生增強(qiáng)建立數(shù)學(xué)模型的能力。

1.4 條件概率與概率的關(guān)系

表1 條件概率與概率的關(guān)系

1.5 條件概率的性質(zhì)

條件概率作為一個集合函數(shù)，也有類似于概率的性質(zhì)，這些性質(zhì)都可以借助條件概率的定義和概率的性質(zhì)來證明，不僅能幫助我們計算更復(fù)雜的條件概率，還能有助于我們更好的理解條件概率的意義。

例3（續(xù)例2）設(shè)有十張獎券，其中三張寫著中獎，其余寫著謝謝參與。甲乙兩人依次來抽獎。求已知甲乙兩人中恰有一人中獎，中獎人是乙的概率。

分析：這個問題當(dāng)然可以類似于例2的方法用條件概率的定義求得。但在例2的基礎(chǔ)上，也可以用條件概率的性質(zhì)直接得到。

解：用A表示事件“甲乙兩人恰有一人中獎”，B表示事件“甲中獎”，在例2中已經(jīng)求得，即已知甲乙兩人中恰有一人中獎，中獎人是甲的概率為由條件概率的性質(zhì)可得

即，已知甲乙兩人中恰好有一人中獎，是乙中獎（甲未中獎）的概率也為。

在講解這個例題之前，可以先鼓勵學(xué)生用條件概率的定義，用類似于例2的方法求解一般，然后教師在啟發(fā)學(xué)生用條件概率的性質(zhì)直接求解，通過比較兩種計算方法，使學(xué)生加深對條件概率性質(zhì)的理解，將這些性質(zhì)更好地用于實(shí)際問題的解決中。

1.6 課后拓展

課后拓展1：隨機(jī)過程馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣。

因此，可得矩陣

課后拓展2：條件概率的謬論。

例5有某種重大疾病，可以通過醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)，來幫助推斷個體是否患有該病。但是檢驗(yàn)行為也有爭議性，因?yàn)橛袡z出假陽性結(jié)果的可能。設(shè)人群中有1%的人患此疾病，醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)出現(xiàn)假陽性和假陰性的概率都為0.01。人群中隨機(jī)挑選一人，進(jìn)行該項醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)。設(shè)表示事件“此人患病”，表示事件“此人檢驗(yàn)稱陽性”。由假設(shè)可知，。假陽性概率，假陰性概率.通過計算可得

從而可知，如果某人真的患病，則檢驗(yàn)出現(xiàn)陽性的概率為0.99。但是，已知某人檢驗(yàn)出結(jié)果呈陽性，此人真的患病的概率僅為0.5。兩個條件概率相差很大，而這樣的結(jié)果對很多人來說也是難以接受的?？梢娨欢ㄒ獜膶?shí)際出發(fā)，來理解條件概率的真正含義。

2 案例反思及教學(xué)效果評價

2.1 案例反思

通過PBL教學(xué)方法的實(shí)施，學(xué)生不僅能夠在理論層面上掌握條件概率的定義和性質(zhì)；而且在能力層面上能夠建立數(shù)學(xué)模型，利用條件概率解決實(shí)際問題；進(jìn)一步的，在思想層面上認(rèn)識到概率和條件概率辯證關(guān)系。在拓展閱讀中介紹了條件概率在馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率中的應(yīng)用，以及介紹了生活中常見的一類關(guān)于條件概率的謬論。一方面鼓勵學(xué)生認(rèn)真學(xué)習(xí)條件概率的知識，并給后續(xù)其他數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，另一方面，也啟發(fā)學(xué)生警惕對數(shù)學(xué)知識的模糊理解，通過認(rèn)真分析，保持頭腦清醒，就不會被謬論所誤導(dǎo)。

2.2 教學(xué)效果評價

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)中，采用PBL教學(xué)法，通過實(shí)例吸引學(xué)生注意力，以問題為導(dǎo)向，以學(xué)生為中心，以分析為重點(diǎn)，以應(yīng)用來鞏固拓展，引導(dǎo)學(xué)生思考、解決問題，進(jìn)而使學(xué)生較快理解與掌握概率統(tǒng)計知識的內(nèi)容及運(yùn)用。在案例中，通過條件概率謬論，加深對條件概率內(nèi)容的理解。在課堂教學(xué)中要讓學(xué)生多思、多練、多總結(jié)，并安排作業(yè)，讓學(xué)生在鞏固課堂學(xué)習(xí)，課后思考鍛煉學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。通過交流互動說明學(xué)生已大致掌握條件概率的概念、性質(zhì)和基本求解步驟，從而說明PBL教學(xué)法達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)成效。這種教學(xué)方法，不僅可以使學(xué)生加深了課程知識的理解，更能夠提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的興趣，提高了建立數(shù)學(xué)模型的技能，增強(qiáng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。