初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的思考與優(yōu)化

□江蘇省南京市高淳區(qū)第三中學(xué) 卞生林

數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)教育階段一門十分重要的應(yīng)用學(xué)科，作為一門具有工具屬性的學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅能對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)與綜合能力的發(fā)展起到十分重要的推動(dòng)作用，也能對(duì)人類科學(xué)的進(jìn)步與人類社會(huì)的發(fā)展產(chǎn)生巨大影響，因此也受到了更多人的關(guān)注。初中階段是學(xué)生習(xí)慣養(yǎng)成與思維開發(fā)的重要階段，學(xué)校教育將直接影響到學(xué)生個(gè)人能力和綜合素質(zhì)的發(fā)展?；谶@樣的大背景，初中數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)需要將更多的注意力放在對(duì)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式的調(diào)整上，尤其是在解題部分。數(shù)學(xué)本身是一門特殊的語言，是以數(shù)字和數(shù)學(xué)符號(hào)為傳遞信息的載體，解題就是對(duì)這門特殊語言的轉(zhuǎn)化和應(yīng)用。因此，本文從初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)出發(fā)，思考現(xiàn)階段初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中存在的問題，探究?jī)?yōu)化初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)內(nèi)容和模式的策略與路徑，以期實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生解題思維的全面培養(yǎng)。

一、初中階段常見的數(shù)學(xué)解題思維

（一）數(shù)形結(jié)合思維

數(shù)形結(jié)合是常用于解答各類數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)解題思維，立足于“數(shù)”和“形”這兩個(gè)最基本的數(shù)學(xué)研究對(duì)象，重點(diǎn)研究并利用兩者的聯(lián)系，大致可以分為借助數(shù)的精確性來闡述形的特定屬性、借助形的直觀性來闡述數(shù)的特定關(guān)系兩種情況，即具有以數(shù)解形和以形助數(shù)兩條路徑分支。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思維，數(shù)學(xué)中包括集合、函數(shù)、方程與不等式、三角函數(shù)、線性規(guī)劃、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、絕對(duì)值、分?jǐn)?shù)應(yīng)用等在內(nèi)的各類問題都可以被簡(jiǎn)單化或具體化，因此數(shù)形結(jié)合思維是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中必須形成的一種思維。

（二）分類討論思維

分類討論思維是在對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象性質(zhì)差異的研究中提煉與延伸出來的，強(qiáng)調(diào)對(duì)不同情況的具體分析與具體討論。在數(shù)學(xué)中，分類討論思維常出現(xiàn)在給出數(shù)學(xué)概念、證明數(shù)學(xué)定理和講解數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)，因此分類討論思維既是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)解題策略，能夠?yàn)閷W(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念理解的深化和對(duì)數(shù)學(xué)概念實(shí)質(zhì)的掌握提供助力，進(jìn)而提升學(xué)生分析問題與解決問題的能力。在分類討論思維的應(yīng)用或培養(yǎng)中，循序漸進(jìn)、由易到難、由簡(jiǎn)到繁是教師需要遵循的幾個(gè)基本原則，先打基礎(chǔ)再推質(zhì)變。

（三）歸納轉(zhuǎn)化思維

數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基礎(chǔ)特征是復(fù)雜但有邏輯，即數(shù)學(xué)領(lǐng)域的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)都不是獨(dú)立存在的，不同知識(shí)點(diǎn)之間必然會(huì)存在一個(gè)或多個(gè)共同點(diǎn)，或是共同的研究對(duì)象，或是共同的應(yīng)用方向，又或是共同的邏輯推導(dǎo)規(guī)律，這些共同點(diǎn)將歸納轉(zhuǎn)化思維推上了數(shù)學(xué)解題過程中的重要地位。各知識(shí)點(diǎn)之間的相互聯(lián)系與相互制約的邏輯為學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的歸納和轉(zhuǎn)化提供了依據(jù)，在解題過程中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)或數(shù)學(xué)問題的恰當(dāng)處理就能實(shí)現(xiàn)化難為易和化繁為簡(jiǎn)，具體體現(xiàn)在代換轉(zhuǎn)化、動(dòng)靜轉(zhuǎn)化、已知與未知轉(zhuǎn)化、具體與抽象轉(zhuǎn)化、特殊與一般轉(zhuǎn)化、部分與整體轉(zhuǎn)化等。

二、現(xiàn)階段初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中存在的問題

（一）弱化了學(xué)生的知識(shí)理解

與同為初中階段主要課程的語文相比，數(shù)學(xué)學(xué)科有著更強(qiáng)的理論性與邏輯性，需要向?qū)W生傳授更多基礎(chǔ)理論知識(shí)，并在傳授基礎(chǔ)理論知識(shí)的過程中教會(huì)學(xué)生如何轉(zhuǎn)化與應(yīng)用這些知識(shí)，因此學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解將對(duì)整體的教學(xué)效果產(chǎn)生關(guān)鍵性影響。但從現(xiàn)階段初中數(shù)學(xué)課堂上的解題教學(xué)實(shí)踐來看，部分教師在教學(xué)過程中有意無意地弱化了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的解析很多時(shí)候也都停留在表層，使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解變得膚淺與片面。部分學(xué)生在思考數(shù)學(xué)問題時(shí)容易產(chǎn)生錯(cuò)誤或片面的認(rèn)知，既難以準(zhǔn)確把握題干中的關(guān)鍵信息，也難以準(zhǔn)確聯(lián)想到能用于解決問題的知識(shí)點(diǎn)，始終都處于被動(dòng)的狀態(tài)，整體的效率低下，很難達(dá)到理想效果。

（二）弱化了學(xué)生的思維拓展

解題教學(xué)的立足點(diǎn)是對(duì)知識(shí)的遷移和應(yīng)用，數(shù)學(xué)知識(shí)本身是成體系的，各知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)聯(lián)將其串聯(lián)了起來，形成了相對(duì)完整的框架與體系，而大部分?jǐn)?shù)學(xué)問題中考查的內(nèi)容也是同一體系中存在邏輯關(guān)聯(lián)的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，靈活和多變。但從現(xiàn)階段初中數(shù)學(xué)課堂上的解題教學(xué)實(shí)踐來看，部分教師對(duì)學(xué)生解題思維和解題能力的培養(yǎng)是通過“題海戰(zhàn)術(shù)”來實(shí)現(xiàn)的，不是在理論講解之后設(shè)置大量的習(xí)題練習(xí)以形成模式化的解題思路，就是直接向?qū)W生灌輸一套模式化的解題方式，這樣的教學(xué)雖然能夠在短期內(nèi)提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的效率與能力，但會(huì)禁錮學(xué)生的思維，甚至逐步懶化學(xué)生的思維，喪失主動(dòng)思考的意識(shí)與能力，進(jìn)而在遇到新的題型時(shí)因?yàn)檎也坏娇梢詤⒖嫉哪０宥鵁o法解題。

（三）弱化了學(xué)生的發(fā)散創(chuàng)新

數(shù)學(xué)學(xué)科中的各知識(shí)點(diǎn)之間存在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬯P(guān)系，整體呈現(xiàn)出的是一種發(fā)散式的結(jié)構(gòu)體系，由一個(gè)知識(shí)點(diǎn)向另一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的推導(dǎo)有著特定的方法，與人本身的思維及思維模式具有一定相似性，因此數(shù)學(xué)從來都是開發(fā)學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思考能力的主要課程載體。但從現(xiàn)階段初中數(shù)學(xué)課堂上的解題教學(xué)實(shí)踐來看，部分教師都沒有對(duì)學(xué)生發(fā)散思考與創(chuàng)新思考能力的發(fā)展給予足夠重視，相比于教會(huì)學(xué)生用發(fā)散思維來思考問題，更偏向讓學(xué)生記憶解題方法、解題過程和最終結(jié)論，即更注重抽象、復(fù)雜數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為直觀、簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)果而不是過程，對(duì)學(xué)生思維的進(jìn)一步開發(fā)和能力的進(jìn)一步提升造成阻礙，不利于學(xué)生的全面發(fā)展。

三、優(yōu)化初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的有效策略

解題教學(xué)主要指的是教師對(duì)書本或教輔資料上某些經(jīng)典例題的解析，通過直接引導(dǎo)來教會(huì)學(xué)生如何拆解題干、如何提取關(guān)鍵信息和如何將知識(shí)點(diǎn)套入題目中，以提高學(xué)生思考問題與解決問題的效率和準(zhǔn)確性。通常情況下，初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)活動(dòng)的主要構(gòu)成是舉例說明和相互討論，主要目的是更快、更準(zhǔn)確地解答問題。但因?yàn)槭軕?yīng)試教育理念影響，解題教學(xué)過程中出現(xiàn)了知識(shí)理解被弱化、思維拓展被弱化和發(fā)散創(chuàng)新被弱化的問題，本應(yīng)當(dāng)?shù)玫綇?qiáng)調(diào)的“創(chuàng)造性”和“創(chuàng)新性”被掩蓋與隱藏，學(xué)生在課堂上能學(xué)習(xí)到的只有針對(duì)特定類型題目的固定思維模式和固定解題方式，難以舉一反三，從根本上掌握全類型數(shù)學(xué)題的思考與解決方式?；诖?，教師需要以現(xiàn)狀為前提對(duì)解題教學(xué)進(jìn)行優(yōu)化，站在多個(gè)不同視角下展開更多思考。

（一）打破單一思維模式，引導(dǎo)學(xué)生多角度地思考題干

針對(duì)不同的數(shù)學(xué)問題，為了實(shí)現(xiàn)最快、最準(zhǔn)確和最輕松的解題，教師需要及時(shí)轉(zhuǎn)變思維，用與題目?jī)?nèi)容和考查點(diǎn)最適配的思維模式展開思考。而多角度、多思維模式的思考能夠體現(xiàn)一個(gè)人最真實(shí)的能力水平和知識(shí)掌握情況，在設(shè)計(jì)與開展解題教學(xué)活動(dòng)時(shí)，教師需要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化處理，打破單一的解題思維模式，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去拆解與思考題干，進(jìn)而掌握更多的解題方法與解題技巧。

以蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第一章“一元二次方程”教學(xué)為例，教師可以基于對(duì)學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)來設(shè)置由多種不同解法的數(shù)學(xué)題目，引導(dǎo)學(xué)生基于未知數(shù)x 的設(shè)置探尋題目的不同解法。教師可以為學(xué)生設(shè)置題目：兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)相乘得到的結(jié)果是483，求這兩個(gè)數(shù)的具體數(shù)值。在遷移一元二次方程相關(guān)知識(shí)點(diǎn)求值的過程中，假設(shè)最小的奇數(shù)為x，那么另一個(gè)奇數(shù)可以寫作x+2，然后得到x（x+2）=483，進(jìn)而得出x=±21，最終得出兩個(gè)奇數(shù)的數(shù)值，21、23 或-21、-23。假設(shè)x 為任意一個(gè)整數(shù)，那么題目中要求的兩個(gè)奇數(shù)分別是2x+1 和2x-1，然后得到（2x+1）（2x-1）=483，進(jìn)而得出x=±11，最終得出2x+1 的數(shù)值為±23，2x-1 的數(shù)值為±21。這種一題多解式的教學(xué)不僅有助于增強(qiáng)學(xué)生多角度思考問題的意識(shí)，也有助于提升學(xué)生多解法解決問題的能力。

（二）聚焦學(xué)生知識(shí)理解，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)完整知識(shí)體系

快速、準(zhǔn)確解題的前提是具有扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)，學(xué)生解題能力的高低在很大程度上取決于知識(shí)水平的高低，尤其指的是學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解深度?；诖耍處熜枰獜闹R(shí)理解入手，將課堂教學(xué)的重點(diǎn)聚焦于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解上，通過教學(xué)來保證學(xué)生知其然也知其所以然，為學(xué)生建構(gòu)更加完整的知識(shí)體系、解題能力的持續(xù)性提升奠定基礎(chǔ)。

以蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第2 章第4 課“絕對(duì)值與相反數(shù)”教學(xué)為例，在對(duì)存在絕對(duì)值有注重考查相反數(shù)的數(shù)學(xué)問題的思考與解決中，教師尤其需要注重提升和鞏固學(xué)生對(duì)有理數(shù)的各基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的理解，通過提問的方式引導(dǎo)學(xué)生回憶基本概念，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)完整知識(shí)體系的建構(gòu)。教師可以先為學(xué)生設(shè)置題目：（a-5）2+|b+4|=0，求ba的值。在具體的教學(xué)中，教師需要先引導(dǎo)學(xué)生思考兩個(gè)數(shù)在什么情況下相加才等于零，深化學(xué)生對(duì)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加等于零這一概念的認(rèn)知，再依據(jù)基礎(chǔ)運(yùn)算規(guī)律在判斷（a-5）2和|b+4|的正負(fù)，鞏固學(xué)生對(duì)一個(gè)數(shù)的平方值必定非負(fù)和一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值必定非負(fù)這兩個(gè)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知，最后基于當(dāng)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于零時(shí)，這兩個(gè)數(shù)必定都等于零的基本概念來引導(dǎo)學(xué)生解題，從（a-5）2=0 和|b+4|=0 這兩個(gè)算式中得出a=5，b=-4，ba=（-4）5=-1024。這種教學(xué)方式能夠在解題的過程中實(shí)現(xiàn)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固。

（三）設(shè)置學(xué)生互動(dòng)小組，引導(dǎo)學(xué)生合作探究課堂例題

解題教學(xué)的關(guān)鍵在于對(duì)學(xué)生思維的拓展和開發(fā)，而一個(gè)人的思考必然存在局限，容易陷入誤區(qū)，為了最大化開發(fā)學(xué)生思維，教師需要有意識(shí)地為學(xué)生建構(gòu)互動(dòng)空間，即通過設(shè)置學(xué)生互動(dòng)小組的方式引導(dǎo)學(xué)生合作探究課堂例題，通過小組內(nèi)不同學(xué)生思維的碰撞發(fā)散學(xué)生思維，拓寬學(xué)生的解題思路。

以蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第5 章“二次函數(shù)”教學(xué)為例，函數(shù)是數(shù)學(xué)知識(shí)體系中一個(gè)十分重要的知識(shí)模塊，而二次函數(shù)又是常用的數(shù)學(xué)函數(shù)之一，表達(dá)式為y=ax2+bx+c（且a ≠0），圖像是一條對(duì)稱軸平行或重合于y 軸的拋物線。在函數(shù)相關(guān)數(shù)學(xué)問題的思考與解決中，二次函數(shù)對(duì)于多數(shù)初中生來說具有難度，為此教師可以先為學(xué)生設(shè)置題目：已知一家商店在銷售一種每千克成本為40 元的產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)反饋來看，如果每千克的售價(jià)為50 元，那么一個(gè)月能夠售出500 千克產(chǎn)品，在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上升1 元，月銷售量就會(huì)減少10 千克，如果在成本不超過10000 元的情況下，想要獲得8000 元的利潤(rùn)，產(chǎn)品售價(jià)應(yīng)當(dāng)定為多少？設(shè)置好題目后再以學(xué)生的思維和能力為依據(jù)將其劃分為平均水平相當(dāng)?shù)男〗M，依托小組合作與互助來提升所有學(xué)生的解題能力。

（四）整合同類數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生在類比中總結(jié)規(guī)律

數(shù)學(xué)中的類比實(shí)際上指的是對(duì)兩個(gè)具有相同或相似特征事物的對(duì)比，或者是以某一事物已知特征出發(fā)對(duì)另一事物相應(yīng)特征的推測(cè)，通常建立在兩個(gè)特殊事物間的比較和分析上，不需要對(duì)大量特殊事物的一般規(guī)律展開分析與研究。從解題教學(xué)的視角看，教師需要通過同類數(shù)學(xué)問題的整合來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比，進(jìn)而提升學(xué)生快速發(fā)現(xiàn)問題和快速提取關(guān)鍵信息的能力。

以蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第2 章第1 課“正數(shù)與負(fù)數(shù)”教學(xué)為例，正數(shù)與負(fù)數(shù)是用于表述意義相反的量，一個(gè)數(shù)前面有“﹢”號(hào)或沒有符號(hào)即為正數(shù)，前面有“-”號(hào)即為負(fù)數(shù)，通常情況下正數(shù)和負(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)題目中不會(huì)單獨(dú)存在。在指向?qū)W(xué)生解題思維與解題能力培養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用繪圖和類比的方法總結(jié)規(guī)律，并以此深化學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的理解，諸如對(duì)“假設(shè)a、b 兩個(gè)數(shù)存在a ＞0，b ＜0 且|a|＜|b|的關(guān)系，求a+b、-b/a、0 之間的關(guān)系”這一問題的解析，教師需要引入類比思維，指導(dǎo)學(xué)生展開擴(kuò)展式思考與分析，以此實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生思維與能力的全面培養(yǎng)。

（五）堅(jiān)持分類互斥原則，引導(dǎo)學(xué)生分類討論開發(fā)思維

結(jié)合實(shí)際來看，初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的優(yōu)化也可以從培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思維入手。將分類討論思想運(yùn)用于初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的過程中，教師還需要堅(jiān)持幾項(xiàng)基本原則，包括統(tǒng)一性、相稱性、多層次、互斥性等原則，以發(fā)揮分類討論思想提高初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)質(zhì)效的優(yōu)勢(shì)和作用。

以考查幾何知識(shí)的數(shù)學(xué)問題為例，教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類討論的方式優(yōu)化課堂教學(xué)與開發(fā)學(xué)生思維。例如，在對(duì)“一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是6 和8，求第三條邊的邊長(zhǎng)”這一問題的思考與解析中，教師需要基于分類討論來引導(dǎo)學(xué)生思考延伸問題“當(dāng)?shù)谌龡l邊是斜邊時(shí)要怎么求邊長(zhǎng)？如果第三條邊是直角邊又要怎么求邊長(zhǎng)？”通過提問和設(shè)置問題情境的方式增強(qiáng)學(xué)生對(duì)幾何題解題思路的有效感知，進(jìn)而達(dá)成以分類討論為基礎(chǔ)優(yōu)化教學(xué)與開發(fā)學(xué)生思維的目標(biāo)。

四、結(jié)語

綜上所述，解題教學(xué)之于數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性不言而喻。進(jìn)入初中學(xué)習(xí)階段以后，學(xué)生需要學(xué)習(xí)和掌握的不再只是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算，還包括多個(gè)復(fù)雜、抽象的概念、定理和公式，遇到的數(shù)學(xué)問題也更具有綜合性。因此，教師需要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生綜合思維的培養(yǎng)，深入進(jìn)行研究反思和經(jīng)驗(yàn)重組，基于學(xué)生思維認(rèn)知的實(shí)際水平和實(shí)際發(fā)展情況合理安排教學(xué)內(nèi)容，合理選擇教學(xué)模式，最大化地發(fā)揮課堂教學(xué)的作用與價(jià)值，為學(xué)生思維的發(fā)展和能力的提升提供助力，提升學(xué)生解決綜合性數(shù)學(xué)問題的能力。