“強(qiáng)基計劃”數(shù)學(xué)專題講座(三)
——“強(qiáng)基”數(shù)學(xué)試題中的轉(zhuǎn)化與化歸之美賞析

■江蘇省無錫市第一中學(xué) 錢 銘

■江南大學(xué)理學(xué)院 謝廣喜

轉(zhuǎn)化與化歸是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思維方法,幾乎所有數(shù)學(xué)問題的求解都是不同層次命題之間轉(zhuǎn)化與化歸的表現(xiàn)。已故著名的中國數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)這樣說:處理復(fù)雜的問題要善于“退”,足夠地“退”,“退”到最原始而不失去重要性的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅。他這里所說的“退”,其實就是轉(zhuǎn)化與化歸的一種具體形式。例如我們熟知的消元法、配方法、換元法(注意換元前后問題的等價性)、定義法、參數(shù)分離法、調(diào)整系數(shù)法(常用于處理不等式求最值問題)等,以及其他適當(dāng)?shù)暮愕茸儞Q技巧,總而言之,只要是解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題所需要的,可以不拘一格,加減乘除總相宜。

當(dāng)然,不同的人實現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化與化歸的具體形式,需要結(jié)合每個人的具體情況進(jìn)行具體分析。一般來說,掌握的解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的典型模式越多,知道的數(shù)學(xué)知識越多,往往實現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的效率越高。

例1(2022 年上海交大“強(qiáng)基計劃”試題改編)已知x,y,z均為正數(shù),則的最小值為_____。

評注:這里的改編指的是“強(qiáng)基”試卷中原題是選擇題,在這里被改為填空題而已,并無實質(zhì)性改變,求解問題的關(guān)鍵在于如何確定我們解題過程中引入待定的調(diào)整系數(shù)。

例2(2022 年南京大學(xué)“強(qiáng)基計劃”初試數(shù)學(xué)第2題)已知,則函數(shù)y=sin2θcosθ的最大值是_____。

評注:解題時利用了三個變量的基本不等式。三個變量的基本不等式在解“強(qiáng)基計劃”試題時經(jīng)常用到。當(dāng)然,本題也可等價化為y=(1-cos2θ)cosθ,再用求導(dǎo)辦法求解,解題過程略。

例3(2022 年上海交大“強(qiáng)基計劃”數(shù)學(xué)試題)在△ABC中,M為平面內(nèi)一點,且

圖1

評注:我們這里僅僅是利用了高中數(shù)學(xué)教材中平面向量的一個基本二級結(jié)論:如果A,B,C是平面上相異不共線三點,平面向量(其中λ為任意實數(shù)),則P點落在AB連線上(此時P,A,B三點共線)。同學(xué)們也可以利用這個結(jié)論迅速求解2022年新高考Ⅰ卷第3題(限于篇幅,解題過程略)。

例4(2022 年上海交大“強(qiáng)基計劃”數(shù)學(xué)試題改編)雙曲線的焦點分別為A,B,點C在雙曲線上,cos∠ACB=,則△ABC的周長為_____。

解析:由對稱性,不妨僅考慮|CA|>|CB|這種情況,由題意知8,下面解題的關(guān)鍵在于求出|CA|+|CB|,由定義及前面的假設(shè)得|CA|-|CB|=2a=4。①在△ABC中由余弦定理得|AB|2=|CA|2+|CB|2-2|CA|·|CB|cos∠ACB。②

由①可得(|CA|+|CB|)2-4|CA|·|CB|=16。

由②可得64=(|CA|+|CB|)2-兩式直接相減得|CA|·|CB|=60,進(jìn)而得|CA|+|CB|=

故△ABC的周長為24。

評注:本題基于雙曲線的基本定義以及余弦定理解題,屬于圓錐曲線試題中的基本類型。

有的數(shù)學(xué)問題表面上看似乎很不容易,但只要我們對原問題稍微加以變換,就很容易揭開那貌似神秘的面紗。從根本上來說,專題二中提到的基于夾逼法解題也是轉(zhuǎn)化與化歸的一種具體形式,只是由于情況特殊而單獨(dú)列出進(jìn)行了討論,這里不再重復(fù)。

例5(2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第7題)若a>0,b>0,且關(guān)于x的方程恰有三個不同的實數(shù)解x1,x2,x3,x1

評注:作為填空題,我們以上解法只利用問題成立的必要條件,也即我們并沒有關(guān)心當(dāng)b=16,a=128 時關(guān)于x的方程恰有3 個不同的實數(shù)解(除非試題本身就有問題),以上解法似乎比參考答案的辦法還簡捷一些。此處我們利用了一個十分基本的重要結(jié)論:函數(shù)f(x)無論是奇函數(shù)還是偶函數(shù),如果其零點為奇數(shù)個,其必要條件為有一個零點是x=0。2017年全國Ⅲ卷理數(shù)第11題也可用此法求解,過程略。

例 6(2020 年北京大學(xué))方程的實根個數(shù)是( )。

A.1 B.2

C.3 D.以上三個答案都不對

解析:先將每個根號下的部分配方,然后利用絕對值不等式的一個重要結(jié)論:

?x∈R,|x-a|+|x-b|≥|a-b|,a,b∈R。尤其是當(dāng)a

例7(2022年北京大學(xué)“強(qiáng)基計劃”數(shù)學(xué)試題改編)若△ABC的三條邊成等差數(shù)列,則cosA+cosB+cosC的取值范圍為____。

解析:基于對稱性,不妨設(shè)△ABC的三條邊滿足a≤b≤c,再由于角度是三角形的相似變換不變量,我們總可以找到一個與△ABC相似的△A′B′C′,則A=A′,B=B′,C=C′。結(jié)合△ABC的三條邊成等差數(shù)列,則△A′B′C′的三條邊從小到大也依次成等差數(shù)列,而△A′B′C′的三條邊可表示為1-d,,其中d的取值范圍由三角形中任意兩邊之和大于第三邊得到。

評注:解題的關(guān)鍵在于如何消元,以上解法是從三角形相似變換的不變量入手,快速消元。其實就算想不到這一點也可以解出來,因為三角形的三條邊是三個變量,已知條件指出三條邊成等差數(shù)列提供了一個約束條件,而余弦函數(shù)是三條邊齊次分式函數(shù),可以再消去一個變量,這樣最終表達(dá)式可以表達(dá)為“一個”字母變量(整體形式上的)的函數(shù),只是表達(dá)形式及變化過程稍顯復(fù)雜而已。

例8(2022 年北京大學(xué)“強(qiáng)基計劃”試題)已知[x]表示不超過x的最大整數(shù),比如[1.2]=1,[-1.2]=-2,若,則[α12]=( )。

A.321 B.322

C.323 D.以上都不對

解析:由題意知,平方再化簡得α2-α-1=0,這是滿足的一個一元二次方程。據(jù)此,我們先化簡α12,由于α12=(α+1)6=(α2+2α+1)3=(3α+2)3=27α3+3·2·(3α)2+3·22·(3α)+8=27α·(α+1)+54(α+1)+36α+8=27(α+1)+27α+54(α+1)+36α+8=144α+89。

評注:以上解法是未參加過高中數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)的同學(xué)也可以接受的解法。

例9(2022年清華大學(xué)TACA“丘成桐班”數(shù)學(xué)二第1 題改編)設(shè)a,b,c是方程x3-3x2-2x+1=0 的全部復(fù)根,則

評注:本題是由最近舉辦的高中數(shù)學(xué)教師基本功大賽的一道試題簡單改編而來,以上解法充分體現(xiàn)了化歸思想的應(yīng)用(將多個變量轉(zhuǎn)化為一個變量,將一個變量的多個三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個三角函數(shù)的形式,最后利用我們熟知的基本不等式收尾)。必須指出,在(* *)式中進(jìn)行放縮2sinBsinC=cos(B-C)+cosA≤1+cosA處理,結(jié)果將必然是失敗的,因為由已知a+2b=2c得a=2(c-b)>0,故不可能有B=C的情形出現(xiàn),相應(yīng)不等式就不可能取得等號。

我們認(rèn)為,過猶不及,凡事都必須注意一個度,有關(guān)問題的具體背景下到底應(yīng)該如何轉(zhuǎn)化才較為快捷,這個不可一概而論,只有結(jié)合具體問題的具體情境,制定機(jī)動靈活的戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù),才是我們克敵制勝的法寶。離開具體問題這個大前提,空洞地談規(guī)則容易成為僵化的教條,形成死板的思維形式,這些都毫無疑問不利于我們進(jìn)一步前進(jìn)。

【創(chuàng)新有源泉、經(jīng)典永流傳】

2.(2019年清華大學(xué))若正實數(shù)a,b滿足ab(a+8b)=20,則a+3b的最小值是____。

簡解:用調(diào)整系數(shù)法創(chuàng)建三元基本不等式的使用情境,實現(xiàn)目標(biāo)和條件等式的有機(jī)聯(lián)系(關(guān)鍵是不等式能取等號)。引入調(diào)整系數(shù)λ1,λ2>0(待定),可將條件變?yōu)棣?a·λ2b·(a+8b)=20λ1λ2,令λ1a=λ2b=a+8b,且,解出待定系數(shù)λ1=5,λ2=10(限于篇幅,待定系數(shù)具體求解過程從略)。

從而由ab(a+8b)=20,得5a·10b·(a+8b)=1 000,于是有:

1 000=5a·10b· (a+8b)≤,即2a+6b≥10,所以a+3b的最小值是5,當(dāng)且僅當(dāng)a=2,b=1時取得此最小值。

3.(2020 年北京大學(xué))求19x+93y=4xy的整數(shù)解組數(shù)。

簡解:由已知可得16xy-4×19x-4×93y+19×93=19×93,也即為:

評注:破解形如Axy+Bx+Cy+D=0(A,B,C,D∈Z),A≠0,不定方程整數(shù)解(正整數(shù)解)的關(guān)鍵是將因式分解,即將其化為A2xy+ABx+ACy+BC=BC-DA,也即(Ax+C)(Ay+B)=BC-DA,對右邊分解質(zhì)因數(shù)即可。

評注:破解這道題的關(guān)鍵是利用了平面上兩點連線的垂直平分線的定義,論證的書寫形式就簡捷不少,顯然,這道題也可以看成是由1992年全國高考數(shù)學(xué)試卷最后一題簡單改編而來。

5.(2018 年北京大學(xué))把正整數(shù)數(shù)列中的非完全平方數(shù)從小到大排成一個數(shù)列{an}(n≥1)。例如a1=2,a2=3,a3=5,a4=6,則a2018的值為( )。

A.2 061 B.2 062

C.2 063 D.前三個都不對

簡解:我們注意到442=1 936,452=2 025,462=2 116,即小于等于2 018的正整數(shù)中有44 個平方數(shù)。對于2 018 這個數(shù)僅對應(yīng)新數(shù)列中的第2 018-44=1 974項,應(yīng)從2 019這個數(shù)開始向后平移44個自然數(shù),其中僅有一個452=2 025,故a2018=2 018+44+1=2 063,選C。

6.(2020年北京大學(xué))設(shè)a,b,c,d是方程x4+2x3+3x2+4x+5=0的四個復(fù)根,則的值為( )。

簡解:對于這道題,目標(biāo)表達(dá)式不宜直接進(jìn)行通分化簡,而應(yīng)先做一些簡單的恒等變換。

接下來,我們通過對方程進(jìn)行恒等變換,從而計算減少量。令x+2=t,于是原方程變?yōu)?t-2)4+2(t-2)3+3(t-2)2+4(t-2)+5=0,化簡得t4-6t3+15t2-16t+9=0,顯然t=0不是方程的解。

等式兩邊同時除以t4,得:

7.(2015 年北大博雅自主招生試題)現(xiàn)在要登上10 級臺階,每次只能登1 級或2級,則不同的登法共有_____種。

簡解:本題以斐波那契數(shù)列為背景,記滿足要求的登臺級種數(shù)為an(n≥1)。顯然有a1=1,a2=2,當(dāng)n≥3 時有an=an-1+an-2(對于這個等式的理解是:登到n級臺階,有兩類辦法:一是第一步跨2級,接著后面的問題有an-2種,另一類辦法是第一步跨1級,后面對應(yīng)an-1種,利用乘法原理與加法原理),于是易得出{an}各項依次為1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…,第10項是89。答案為89。

顯然要滿足題意,必要條件是m為偶數(shù),綜合前面的信息,故可記m=2k(其中k為正整數(shù)),此時a=2k2+1,b=2k2-4k,c=2k2+4k。

于是a2+b2+c2=(2k2+1)2+(2k2-4k)2+(2k2+4k)2=12k4+36k2+1。

由正整數(shù)b=2k2-4k≥1知,必須k≥3,于是當(dāng)k=3時,目標(biāo)表達(dá)式取得最小值1 297。

這是一個正整數(shù)背景下的多變量問題,最后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題(當(dāng)然情境特殊,較為簡單),在實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的過程中,如何靈活地處置條件信息“三個連續(xù)自然數(shù)”尤其重要,它是本題實現(xiàn)三個變量統(tǒng)一表達(dá)的關(guān)鍵切入點。