利用函數(shù)圖象求不等式解集

王益琴

［摘 要］利用函數(shù)圖象求不等式的解集是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)。文章結(jié)合幾道典型例題，探討如何利用函數(shù)求解不等式解集，以拓寬學(xué)生的思維，提升學(xué)生靈活處理問題的能力。

［關(guān)鍵詞］函數(shù)圖象；不等式；解集

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）35-0024-04

利用函數(shù)圖象求不等式的解集是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)，處理這一類問題，要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，通過將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，在觀察中獲取不等式的解集。下面筆者結(jié)合幾道典型例題，從五個方面進(jìn)行分析探討。

一、觀察兩個一次函數(shù)圖象得不等式解集

畫出一次函數(shù)[y=k1x+b]和[y=k2x+b]的圖象，通過觀察可以得到不等式[k1x+b>k2x+b]和[k1x+b0，k2x+b<0]和[k1x+b<0，k2x+b>0]的解集。

［例1］如圖1所示，在同一個坐標(biāo)系中，一次函數(shù)[y=k1x+b1]和[y=kx+b]的圖象分別與[x]軸交于點(diǎn)[A]、[B]，兩直線相交于點(diǎn)[C]，已知點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)[B]的坐標(biāo)為（2，0），觀察圖象并回答下列問題：（1）關(guān)于[x]的不等式[kx+b<0]的解集是? ? ? ；（2）直接寫出關(guān)于[x]的不等式組[kx+b>0，k1x+b1>0]的解集是? ?；（3）若點(diǎn)[C]的坐標(biāo)為（1，3），關(guān)于[x]的不等式[k1x+b1>kx+b]的解集是? ? ?。

分析：（1）不等式[kx+b<0]的解集，就是函數(shù)[y=kx+b]，當(dāng)[y<0]時(shí)，對應(yīng)[x]的取值范圍，據(jù)此可得到答案；（2）觀察兩個函數(shù)圖象在[x]軸上方部分對應(yīng)的自變量的取值范圍的公共部分，可以得到不等式組的解集；（3）觀察函數(shù)[y=k1x+b1]的圖象在函數(shù)[y=kx+b]圖象的上方時(shí)，對應(yīng)的自變量的取值范圍，可以得到不等式的解集。

解：（1）觀察[y=kx+b]的圖象，當(dāng)[x>2]時(shí)，[y<0]，所以關(guān)于[x]的不等式[kx+b<0]的解集為[x>2]。

（2）點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），觀察函數(shù)圖象，得[-10，k1x+b1>0]的解集[-1

（3）觀察函數(shù)圖象，可知當(dāng)[x>1]時(shí)，一次函數(shù)[y=k1x+b1]的圖象在一次函數(shù)[y=kx+b]圖象的上方，所以不等式[k1x+b1>kx+b]的解集是[x>1]。

二、觀察一次函數(shù)與絕對值函數(shù)的圖象得不等式的解集

對于含有絕對值的不等式，如何求其解集呢？可以將不等式化為絕對值與一個代數(shù)式的不等關(guān)系，然后畫出絕對值函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)圖象求解。

［例2］［問題提出］如何解不等式[x-1+x-3>x+2]？

預(yù)備知識1：圖2中給出了函數(shù)[y=x+1]和[y=2x+3]的圖象，觀察圖象，我們可得：當(dāng)[x>-2]時(shí)，函數(shù)[y=2x+3]的圖象在[y=x+1]圖象的上方，由此可知：不等式[2x+3>x+1]的解集為? ?。

預(yù)備知識2：函數(shù)[y=x=x（x≥0），-x（x<0），]稱為分段函數(shù)，其圖象如圖3所示，實(shí)際上對帶有絕對值的代數(shù)式的化簡，通常采用“零點(diǎn)分段”的辦法，將帶有絕對值符號的代數(shù)式在各“取值段”化簡，即可去掉絕對值符號。比如化簡[x-1+x-3]時(shí)，可令[x-1=0]和[x-3=0]，分別求得[x=1]和[x=3]（稱1、3分別是[x-1]和[x-3]的零點(diǎn)值），這樣可以就[x<1]，[1≤x<3]，[x≥3]三種情況進(jìn)行化簡，得[4-2x（x<1），2（1≤x<3），2x-4（x≥3）。]

預(yù)備知識3：函數(shù)[y=b]（[b]為常數(shù)）稱為常數(shù)函數(shù)，其圖象如圖4所示。

［知識遷移］如圖5所示，直線[y=x+1]與直線[y=ax+b]相交于點(diǎn)A（[m]，3），則關(guān)于[x]的不等式[x+1≤ax+b]的解集是? ? ?。

［問題解決］結(jié)合前面的預(yù)備知識，我們來研究怎樣解不等式[x-1+x-3>x+2]。在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)[y=x-1+x-3]的圖象，如圖6所示。在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)再作出直線[y=x+2]的圖象，如圖7所示，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)[y=x-1+x-3]與[y=x+2]的圖象有兩個交點(diǎn)，這兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別是? ? ?， ? ? ；通過觀察圖象，便可得到不等式[x-1+x-3>x+2]的解集。這個不等式的解集為 ? ? ? ?。

? ? ? ? ?

圖6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖7

分析：

［問題提出］當(dāng)[x>-2]時(shí)，函數(shù)[y=2x+3]的圖象在[y=x+1]的圖象上方，也就是[x>-2]時(shí)，[2x+3>x+1]。

［知識遷移］由點(diǎn)A（[m]，3）在[y=x+1]上，可求出m的值，觀察函數(shù)[y=ax+b]的圖象在[y=x+1]的圖象的上方時(shí)，對應(yīng)[x]的取值范圍，即可得到不等式的解集。

［問題解決］將絕對值函數(shù)化為[y=4-2x（x<1），2（1≤x<3），2x-4（x≥3），]觀察圖象，求直線[y=4-2x]與[y=x+2]的交點(diǎn)坐標(biāo)，直線[y=2x-4]與[y=x+2]的交點(diǎn)坐標(biāo)，觀察[y=x-1+x-3]的圖象在[y=x+2]的上方時(shí)對應(yīng)自變量的取值范圍。

解：［問題提出］如圖2所示，∵當(dāng)[x>-2]時(shí)，函數(shù)[y=2x+3]的圖象在[y=x+1]的圖象上方，∴不等式[2x+3>x+1]的解集為[x>-2]。

［知識遷移］如圖5所示，∵點(diǎn)A（[m]，3）在[y=x+1]上，∴[m+1=3]，解得[m=2]，∴A（2，3），∵當(dāng)[x≤2]時(shí)，函數(shù)[y=ax+b]的圖象在[y=x+1]的圖象的上方，∴不等式[ax+b≥x+1]，即[x+1≤ax+b]的解集為[x≤2]。

［問題解決］如圖6、圖7所示，設(shè)[y=x-1+x-3]，根據(jù)題意得[y=x-1+x-3=4-2x（x<1），2（1≤x<3），2x-4（x≥3），]由函數(shù)圖象得[y=4-2x]與[y=x+2]有交點(diǎn)，則[y=4-2x，y=x+2，]解得[x=23，y=83，][y=2x-4]與[y=x+2]有交點(diǎn)，則[y=2x-4，y=x+2，]解得[x=6，y=8，]

∴[y=x-1+x-3]與[y=x+2]的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為[23，83]和（6，8），由函數(shù)圖象可知，當(dāng)[x<23]時(shí)，[y=x-1+x-3]的圖象在[y=x+2]的上方；當(dāng)[x>6]時(shí)，[y=x-1+x-3]的圖象在[y=x+2]的上方，故不等式[x-1+x-3>x+2]的解集為[x<23]或[x>6]。

三、觀察反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象得不等式解集

反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，是反比例函數(shù)考查的重點(diǎn)，在這樣的試題中，一般會有這樣三個問題，求兩個函數(shù)表達(dá)式，求形成的三角形面積，求不等式的解集。求不等式的解集時(shí)，需要觀察兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，及兩個函數(shù)圖象的相互位置關(guān)系。

［例3］如圖8所示，一次函數(shù)[y1=k1x+b]的圖象與[x]軸、[y]軸分別交于[A]、[B]兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)[y2=k2x]的圖象分別交于[C]、[D]兩點(diǎn)，點(diǎn)[B]的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)[C]的坐標(biāo)為（2，4）。（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）已知[D]（-4，-2），求[△COD]的面積；（3）直接寫出[k1x+b

分析：（1）把點(diǎn)[C]的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)，把點(diǎn)[B]、[C]的坐標(biāo)代入一次函數(shù)，求得兩個函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)[S△COD=S△BOC+S△BOD]進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)點(diǎn)[B]、[C]、[D]的坐標(biāo)求得這些三角形的高與底邊；（3）分別在第一象限、第三象限內(nèi)，觀察一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的下方時(shí)對應(yīng)的自變量的取值范圍。

解：（1）∵點(diǎn)C（2，4）在反比例函數(shù)[y2=k2x]的圖象上，∴[k2=2×4=8]，∴[y2=8x]?！連（0，2），C（2，4），B、C在[y1=k1x+b]的圖象上，∴[2k1+b=4，b=2，]∴[k1=1，b=2，]∴一次函數(shù)為[y1=x+2]。

（2）依據(jù)題意，∵D（-4，-2），B（0，2），C（2，4），∴[S△COD=S△BOC+S△BOD=12×2×2+12×2×4=6]。

（3）觀察函數(shù)圖象，得在第一象限內(nèi)，當(dāng)[0

四、觀察二次函數(shù)圖象得不等式的解集

如何求一元二次不等式的解集呢？實(shí)際上一元二次不等式可以看作二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值大于0或小于0時(shí)，對應(yīng)自變量的取值范圍，所以求一元二次不等式的解集，需要畫出對應(yīng)二次函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)圖象在[x]軸上方或下方部分對應(yīng)的自變量的取值范圍可以求得不等式的解集。

［例4］請閱讀下列解題過程：解一元二次不等式：[x2-2x-3<0]。解：設(shè)[x2-2x-3=0]，解得：[x1=-1]，[x2=3]，則拋物線[y=x2-2x-3]與[x]軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）和（3，0）。畫出二次函數(shù)[y=x2-2x-3]的大致圖象（如圖9）。由圖象可知：當(dāng)[-1

通過對上述解題過程的學(xué)習(xí)，按其解題的思路和方法解答下列問題：

（1）上述解題過程中，滲透了下列數(shù)學(xué)思想中的? ?和? ?（只填序號）。

①轉(zhuǎn)化思想

②分類討論思想

③數(shù)形結(jié)合思想

（2）用類似的方法解一元二次不等式：[-x2+2x>0]。

分析：（1）在解題過程中，將解不等式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，并根據(jù)二次函數(shù)的圖象得到不等式的解集，所以滲透了轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想；（2）按照題干中提供的解題步驟，先解方程，再畫拋物線，觀察拋物線，最后寫解集進(jìn)行解答。

解：（1）上述解題過程中，滲透了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，故答案為①和③。

（2）解一元二次不等式[-x2+2x>0]。設(shè)[-x2+2x=0]，解得[x1=0]，[x2=2]，則拋物線[y=-x2+2x]與[x]軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）和（2，0）。畫出二次函數(shù)[y=-x2+2x]的大致圖象（如圖10），由圖象可知：當(dāng)[00]，即[-x2+2x>0]，所以一元二次不等式[-x2+2x>0]的解集為[0

五、觀察二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象得不等式的解集

含有分式的不等式，如果不等式的一邊是一次式時(shí)，我們可以分別畫一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象，觀察兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)及上下位置關(guān)系求不等式解集。如果不等式的一邊是二次式時(shí)，我們該如何求這樣的不等式的解集呢？

［例5］學(xué)習(xí)函數(shù)知識后，我們可以借助函數(shù)的圖象求某些較為復(fù)雜不等式的解集。比如，求不等式[x-1>2x]的解集?？梢韵葮?gòu)造兩個函數(shù)[y1=x-1]和[y2=2x]，再在同一坐標(biāo)系中畫出這兩個函數(shù)的圖象，通過觀察所畫函數(shù)的圖象可知：它們交于A（-1，-2），B（2，1）兩點(diǎn)，當(dāng)[-12]時(shí)，[y1>y2]，由此得到不等式[x-1>2x]的解集為[-12]。根據(jù)上述說明，解答下列問題。

（1）要求不等式[x2-2x-1>- 2x]的解集，可先構(gòu)造出哪兩個函數(shù)？（2）請?jiān)诮o定的平面直角坐標(biāo)系中，作出你所構(gòu)造的兩個函數(shù)的圖象；（3）觀察所作函數(shù)的圖象，求出不等式[x2-2x-1>- 2x]的解集。

分析：（1）把不等式兩邊的兩個代數(shù)式分別作為函數(shù)的表達(dá)式；（2）用描點(diǎn)法分別畫出二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象，通過因式分解求出構(gòu)造方程的解；（3）觀察二次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方時(shí)，圖象對應(yīng)的自變量的取值范圍。

解：（1）可構(gòu)造兩個函數(shù)[y1=x2-2x-1]和[y2=-2x]。解方程[x2-2x-1=-2x]得[x1=-1]，[x2=1]，[x3=2]，

當(dāng)[x1=-1]時(shí)，[y1=2]，

當(dāng)[x2=1]時(shí)，[y2=-2]，

當(dāng)[x3=2]時(shí)，[y3=-1]，

即兩個函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-1，2），（1，-2），（2，-1）。

（2）所作的函數(shù)圖象如圖11所示。

（3）觀察函數(shù)圖象可知，函數(shù)[y1=x2-2x-1]與函數(shù)[y2=-2x]有三個交點(diǎn)：（-1，2），（1，-2），（2，-1），由圖象可知，在第二象限內(nèi)，當(dāng)[x<-1]時(shí)，二次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上方；在第四象限內(nèi)，當(dāng)[02]時(shí)；二次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，所以不等式[x2-2x-1>- 2x]的解集為[x<-1]或[02]。

觀察函數(shù)圖象獲取不等式的解集，可以解決一些看似超出學(xué)習(xí)范圍的不等式，如含有絕對值的不等式、含有分式的不等式、一元二次不等式等，多角度思考問題，會有不同的發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而提升靈活處理問題的能力。

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）