經(jīng)歷抽象過程 發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)

馮想麗

［摘? 要］ 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了便于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，教師可引導(dǎo)學(xué)生借助觀察、交流、抽象等學(xué)習(xí)活動來積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，豐富數(shù)學(xué)認(rèn)知體系，以此讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)研究方法，有效提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 理解數(shù)學(xué)；應(yīng)用數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，多數(shù)教師認(rèn)為概念、公式、定理等基礎(chǔ)知識為客觀事實(shí)，只要學(xué)生熟記并結(jié)合一些具體練習(xí)就能實(shí)現(xiàn)知識的內(nèi)化，因此常常以“講授”為主. 單一的講授雖然能夠確保教學(xué)進(jìn)度，但因?yàn)闆]有引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立思考和合作探究的過程，學(xué)生對這樣得到的知識難以形成深刻認(rèn)識，導(dǎo)致他們很難靈活應(yīng)用相關(guān)知識去解決問題. 這顯然不利于教師教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，不利于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升. 教學(xué)概念、公式、定理等基礎(chǔ)知識時(shí)，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生多經(jīng)歷一些思考過程，在幫助他們夯實(shí)基礎(chǔ)的同時(shí)，全面提升他們的思考能力、分析能力、應(yīng)用能力等綜合能力.

談起函數(shù)概念，高中生普遍認(rèn)為抽象、難懂，雖然初中階段就作為重點(diǎn)內(nèi)容講解過，但是讓學(xué)生用集合語言來刻畫變量間的依賴關(guān)系時(shí)，大部分學(xué)生會感覺不適. 而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，其與方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容緊密相連，貫穿高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終，這要求教師在函數(shù)的概念教學(xué)中不能蜻蜓點(diǎn)水，而要通過深度剖析，讓學(xué)生掌握其本質(zhì)和核心，從而為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 筆者在函數(shù)的概念教學(xué)中，結(jié)合具體實(shí)例與學(xué)生共同經(jīng)歷了概念抽象的過程，讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng). 從教學(xué)反饋來看，學(xué)生既能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言來表述，又能靈活應(yīng)用概念去解決問題，而且課堂參與度較高，取得了較好的效果. 筆者現(xiàn)將教學(xué)過程呈現(xiàn)給大家，若有不足，請指正.

教學(xué)實(shí)錄

1. 借助情境，回憶舊知

師：在現(xiàn)實(shí)生活中，很多變化都體現(xiàn)了一種“依賴關(guān)系”，你能簡單地列舉幾個(gè)實(shí)例嗎？

生1：一個(gè)人的知識儲備與他的學(xué)習(xí)時(shí)長.

生2：拉橡皮筋的時(shí)候，用的力氣越大拉得越長.

……

師：大家說得都非常好，在初中階段我們是用什么來刻畫這種“依賴關(guān)系”的呢？

學(xué)生齊聲答：函數(shù).

師：很好，現(xiàn)在請大家回憶一下，初中階段我們是如何來定義函數(shù)的？

設(shè)計(jì)意圖 以學(xué)生熟悉的情境入手，通過舊知回顧激活學(xué)生的原有認(rèn)知，為接下來的“再創(chuàng)造”奠定基礎(chǔ).

從課堂反饋來看，多數(shù)學(xué)生知道變量間的依賴關(guān)系，并能用一些常用的函數(shù)，如一次函數(shù)、反比例函數(shù)等進(jìn)行說明，但還不能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言來刻畫. 函數(shù)概念的教學(xué)是在學(xué)生原有認(rèn)識上的建構(gòu)，學(xué)生對舊知的掌握情況直接影響著本節(jié)課的教學(xué)效果，因此教師有必要帶領(lǐng)學(xué)生回顧舊知. 教師可先讓能夠完整敘述概念的學(xué)生講述一遍，然后用PPT給出概念，同時(shí)預(yù)留一定的時(shí)間讓學(xué)生去回顧記憶，并引導(dǎo)學(xué)生理解定義中x與y的對應(yīng)關(guān)系，為接下來概念的拓展做好鋪墊.

2. 回顧舊知，發(fā)展新知

師：請大家結(jié)合初中所學(xué)的函數(shù)的定義思考下列問題.

例1 某部隊(duì)在實(shí)戰(zhàn)演習(xí)中發(fā)射了一枚炮彈，已知炮彈距地面的高度h（單位：m）與發(fā)射時(shí)間t（單位：s）滿足關(guān)系式h=130t－5t2. 那么是否可以說明h為關(guān)于t的函數(shù)呢？

生3：是的，根據(jù)函數(shù)的定義，對于變量t的每一個(gè)值，都有唯一的h值與之對應(yīng).

師：如何對應(yīng)的呢？

生3：按照關(guān)系式h=130t－5t2.

師：很好，既然是對應(yīng)的，你能算一算當(dāng)t=2時(shí)，h為何值嗎？

生4：當(dāng)t=2時(shí)，h=240.

師：當(dāng)t=4時(shí)，h又為何值呢？

學(xué)生齊聲答：440.

師：當(dāng)t=20.5時(shí)呢？

生5：可以算，但是這個(gè)太復(fù)雜了吧.

師：確實(shí)，這個(gè)算起來有點(diǎn)煩瑣，看來大家都不想算，那么你們能不能創(chuàng)造一個(gè)簡單的符號來表示呢？（生沉思）

師：例如“h（t=20.5）”. （學(xué)生感覺無從入手，筆者給予鼓勵(lì)和提示誘發(fā)學(xué)生積極思考和表達(dá)）

生6：h.

師：還有嗎？

生7：h（20.5）.

……

師生共同交流后最終統(tǒng)一認(rèn)為用“h（20.5）”來表示更加簡潔、易懂.

師：那么大家再思考一下，若t=t，h為何值呢？

學(xué)生齊聲答：h（t）.

師：很好，你們真的太棒了！

設(shè)計(jì)意圖 在學(xué)習(xí)過程中，很多學(xué)生表示對于符號y=f（x）難以理解，這樣通過交流能使學(xué)生初步認(rèn)識符號y=f（x）.

師：相信對于定義域和值域大家都不陌生，本題中自變量t和因變量h的取值范圍分別是什么？你能用集合來表示嗎？（定義域和值域是學(xué)生較為熟悉的內(nèi)容，很快就有學(xué)生給出了答案）

生8：t的取值范圍為｛t0≤t≤26｝，h的取值范圍為｛h0≤h≤845｝.

師：你是如何求的？

生8：我是根據(jù)函數(shù)圖象來判斷的，h=130t－5t2為二次函數(shù). 因?yàn)閔≥0，所以0≤t≤26，而當(dāng)t=13時(shí)，到達(dá)最高點(diǎn)，此時(shí)h=845.

師：對于h≥0你是如何判斷的呢？

生8：根據(jù)已知并聯(lián)想生活實(shí)際很容易知曉這個(gè)道理，因?yàn)榕趶椔涞鼐驼?

師：確實(shí)，如果落地不爆炸，想飛多久就飛多久，這個(gè)后果可就難以預(yù)料了. （學(xué)生笑）

師：若t的取值范圍用A表示，h的取值范圍用B表示，你能嘗試用集合語言來刻畫h與t的對應(yīng)關(guān)系嗎？

生9：對于集合A中的任意一個(gè)元素t，在集合B中都有唯一的元素h與之對應(yīng).

就這樣，在筆者的鼓勵(lì)和引導(dǎo)下，函數(shù)概念初步形成，學(xué)生由原有的依賴關(guān)系逐漸向?qū)?yīng)關(guān)系轉(zhuǎn)化，尤其是集合的引入，為接下來學(xué)生進(jìn)一步理解與區(qū)分映射關(guān)系奠定了基礎(chǔ).

3. 借助實(shí)例，逐漸抽象

師：結(jié)合例1，接下來我們一起分析下面這個(gè)問題，是否還可以像剛剛那樣來研究呢？

例2 太陽輻射到地球的99%的紫外線都是被臭氧層吸收的，正因?yàn)橛辛顺粞鯇拥拇嬖诓攀谷祟惡蛣游锩馐苓^量紫外線的灼傷，但是隨著工業(yè)的不斷發(fā)展，氟利昂得到了廣泛的應(yīng)用，使得臭氧層受到了嚴(yán)重的破壞，出現(xiàn)了臭氧漏洞. 圖1為1979—2001年南極臭氧層空洞面積的變化情況.

師：結(jié)合圖1思考一下，時(shí)間t與面積S是否具有函數(shù)關(guān)系？

學(xué)生齊聲答：有.

師：誰來說一說你判斷的理由？

生10：這個(gè)很簡單，觀察圖象可知，對于變量t的每一個(gè)值，都有唯一的S值與之對應(yīng)，故S是t的函數(shù).

師：很好，結(jié)合圖象知道了它們的對應(yīng)關(guān)系. 當(dāng)t=1991時(shí)，此時(shí)S值大約是多少呢？

生11：大約是21.

師：你們認(rèn)同嗎？（筆者通過連線引導(dǎo)學(xué)生觀察，師生認(rèn)可生11給出的結(jié)果）

師：我們用什么符號來表示呢？

學(xué)生齊聲答：S（1991）.

師：很好，看來大家不僅理解了剛剛的符號表示法，而且可以靈活應(yīng)用了. 現(xiàn)在思考一下，t是否為S的函數(shù)呢？

生12：不是，對于同一個(gè)S值有幾個(gè)t值與之對應(yīng)，如S=25時(shí)，有5個(gè)不同的t與之對應(yīng)，故t不是S的函數(shù).

師：很好，結(jié)合圖象及函數(shù)的定義我們知道S是t的函數(shù). 自變量t和因變量S的取值范圍如何用集合來表示呢？

學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)很快得到了自變量t和因變量S的取值范圍，接下來筆者又引導(dǎo)學(xué)生用集合的語言來刻畫t與S的函數(shù)關(guān)系. 經(jīng)過以上兩個(gè)問題的過渡，學(xué)生對函數(shù)符號以及用集合語言刻畫函數(shù)有了深刻并明晰的認(rèn)識，整個(gè)過程隸屬學(xué)生的認(rèn)知范疇，因此學(xué)生學(xué)起來得心應(yīng)手，課堂氛圍自然流暢，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性也被充分地調(diào)動了起來，為接下來定義的抽象做好了鋪墊.

4. 逐層遞進(jìn)，自然生成

師：剛剛結(jié)合圖象我們得出了S是t的函數(shù)的結(jié)論，不知道通過表格我們是否能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)什么？（學(xué)生迫不及待地想探究新問題）

例3 國際上常常用恩格爾系數(shù)來反映人民的生活質(zhì)量，恩格爾系數(shù)=食物支出金額÷總支出金額. 你們認(rèn)為是系數(shù)越大生活質(zhì)量越高，還是系數(shù)越小生活質(zhì)量越高呢？（學(xué)生存在一定的意見分歧，筆者引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想家庭支出，從而統(tǒng)一了認(rèn)識，即系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高）

師：表1為某地城鎮(zhèn)恩格爾系數(shù)變化情況. （筆者用PPT展示表1）

師：若時(shí)間和恩格爾系數(shù)分別用m和n表示，m與n是否具有函數(shù)關(guān)系？

生13：我認(rèn)為n是m的函數(shù)，但m不是n的函數(shù)，因?yàn)閷τ谧兞縨有唯一n值與之對應(yīng)，但是對于變量n，其對應(yīng)的m值不唯一，如當(dāng)n=30.1時(shí)，m就有兩個(gè)不同的值，分別為2013和2016.

師：觀察得很仔細(xì)，表述得也非常準(zhǔn)確，很好. 那么m與n是如何對應(yīng)的呢？如何用集合語言來描述呢？

生14：通過表格可見其對應(yīng)關(guān)系. 對于集合A中的任意一個(gè)元素m，在集合B中都有唯一的元素n與之對應(yīng).

師：如果讓你寫出集合A，B中的元素，你會寫嗎？

生14：A=｛2008，2009，2010，2011， 2012，2013，2014，2015，2016，2017｝，B=｛37.9，36.5，35.7，36.3，36.2，30.1，30，

29.7，30.1，29.3｝. （筆者投影展示學(xué)生得到的結(jié)果）

師：思考一下，以上三個(gè)實(shí)例是如何用集合語言來描述的？它們有什么共同點(diǎn)？你能否用一句話來總結(jié)一下？（筆者預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行概括、抽象）

生15：根據(jù)某種對應(yīng)關(guān)系，對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一的元素y與之對應(yīng).

師：如果某種對應(yīng)關(guān)系用符號來表示，你會嗎？（學(xué)生在課前進(jìn)行了預(yù)習(xí)，很快給出了符號“f”）

在筆者的帶領(lǐng)下，學(xué)生自主完成了問題的總結(jié)和概括，相信經(jīng)過觀察、分析、總結(jié)等過程，學(xué)生對“對應(yīng)關(guān)系”會形成深刻的印象. 經(jīng)歷以上刻畫的過程后，學(xué)生能順暢地、完整地表述函數(shù)概念.

師：如果既要直觀地呈現(xiàn)集合中的元素x和y，又要體現(xiàn)對應(yīng)關(guān)系f的作用，你能構(gòu)造一個(gè)數(shù)學(xué)符號來表示嗎？（學(xué)生結(jié)合剛剛的探究經(jīng)驗(yàn)，很快給出了結(jié)果）

學(xué)生齊聲答：y=f（x）.

接下來，筆者用PPT完整地呈現(xiàn)了函數(shù)概念. 因經(jīng)歷了概念形成的全過程，學(xué)生面對抽象的概念時(shí)鎮(zhèn)定自若，一改往日的焦慮，可見引導(dǎo)學(xué)生參與知識形成的過程是很有必要的.

5. 融于練習(xí)，彰顯本質(zhì)

師：接下來我們利用幾個(gè)練習(xí)來體驗(yàn)一下. （筆者用PPT給出題目）

練習(xí)1：如圖2所示，集合A與集合B存在怎樣的函數(shù)關(guān)系？簡述理由.

練習(xí)2：以下圖象哪個(gè)不能作為函數(shù)y=f（x）的圖象？（ ?）

從練習(xí)反饋來看，學(xué)生不僅能給出準(zhǔn)確的答案，還能根據(jù)函數(shù)的定義給出合適的理由，說明學(xué)生可以靈活應(yīng)用概念來解決簡單問題了.

練習(xí)3：已知函數(shù)f（x）=+.

（1）求函數(shù)f（x）的定義域；

（2）求f（－3），f（1），f（f（2））的值；

（3）當(dāng)a>0時(shí)，求f（a），f（a－3）.

函數(shù)定義域和值域問題是教學(xué)的重點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，但由于概念教學(xué)中對此進(jìn)行過有效滲透，因此學(xué)生解題得心應(yīng)手.

6. 課后小結(jié)，提煉升華

練習(xí)后，筆者組織學(xué)生交流、回顧，在加深理解的同時(shí)幫助學(xué)生梳理知識，提煉思想方法，使學(xué)生從整體上完成知識體系的建構(gòu)，既提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，又增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，還提升了學(xué)生的核心素養(yǎng).

教學(xué)反思

學(xué)生的認(rèn)知水平和思維能力發(fā)展正如函數(shù)關(guān)系一樣，會隨著學(xué)習(xí)時(shí)間、學(xué)習(xí)的努力程度等因素的變化而變化，因此教師必須認(rèn)識到學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升需要經(jīng)歷一個(gè)過程. 教師教學(xué)時(shí)不能急于求成，應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生參與到知識的生成和發(fā)展中來，進(jìn)而通過切身體驗(yàn)完成知識體系建構(gòu).

高中的函數(shù)概念是基于初中函數(shù)概念發(fā)展的，并非重新定義. 在教學(xué)中，筆者先引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知，并在此過程中進(jìn)一步抽象，如先是表達(dá)式對應(yīng)，再是圖象對應(yīng)，最后是表格對應(yīng)，由三種不同的對應(yīng)關(guān)系逐漸抽象出對應(yīng)符號“f”；又如從自變量和因變量的取值范圍出發(fā)，逐漸引導(dǎo)學(xué)生由具體集合逐漸抽象為符號集合，讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般、由具體到抽象的活動過程后，重新認(rèn)識函數(shù)概念，掌握數(shù)學(xué)研究方法，提升數(shù)學(xué)思維能力.

另外，教學(xué)中筆者先引導(dǎo)學(xué)生借助已有經(jīng)驗(yàn)來判斷函數(shù)關(guān)系，再引導(dǎo)學(xué)生用集合語言進(jìn)行描述，通過逐層深入的教學(xué)方式有效地淡化了概念的抽象感. 對于符號的表示一直是教學(xué)難點(diǎn)，為了突破此教學(xué)難點(diǎn)，筆者借助“當(dāng)t=20.5，h為何值”激發(fā)學(xué)生引入數(shù)學(xué)符號來表示h值的緊迫感. 這樣做既為符號y=f（x）的引入做好了鋪墊，又有助于學(xué)生理解符號y=f（x）. 整個(gè)過程自然流暢，巧妙地化解了教學(xué)難點(diǎn)，在潛移默化中發(fā)展和提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于借助一些具體問題或探究活動來調(diào)動學(xué)生的積極性，鼓勵(lì)學(xué)生自主解決問題，讓學(xué)生在解決問題的過程中完成知識的梳理，既能強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，又能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).