小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何領(lǐng)域中“尺規(guī)作圖”教學(xué)的實踐與思考

孫衣云

【摘 要】本文試從尺規(guī)作圖教學(xué)案例出發(fā)，談一談尺規(guī)作圖的教育價值，以及如何在教學(xué)中讓學(xué)生體會尺規(guī)作圖的優(yōu)勢，突出尺規(guī)作圖對學(xué)生的幾何直觀和推理意識發(fā)展的重要作用。

【關(guān)鍵詞】尺規(guī)作圖 幾何直觀 推理意識

一、借尺規(guī)作圖培育學(xué)生的幾何直觀

“在認(rèn)識線段基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生用直尺和圓規(guī)作給定線段的等長線段，感知線段長度與兩點間距離的關(guān)系?！边@是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）在第二學(xué)段第一次提出運用尺規(guī)作圖完成的任務(wù)，也是為后續(xù)學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖打下基礎(chǔ)。我們嘗試在學(xué)生認(rèn)識了直線、射線和線段的特征后，讓學(xué)生作給定線段等長的線段（任務(wù)一）。

任務(wù)一：請在空白處畫一條線段CD，使它的長度和線段AB相等。（圖1）

學(xué)生利用作圖工具開展探究，邊作圖邊思考：作圖分為幾步，每步的關(guān)鍵是什么？之后，學(xué)生整理描述作圖過程。學(xué)生呈現(xiàn)了多種作圖的方法：①有的學(xué)生習(xí)慣性地選擇有刻度的直尺作圖，先量出線段AB的長度，然后畫一條同樣長度的線段，并標(biāo)上字母CD。②用圓規(guī)量AB的長度，用圓規(guī)畫弧，以圓心為C點，弧上任意一點為D點，連接線段CD。③用圓規(guī)量AB的長度，畫C點，以C點為圓心畫弧，連接C點和弧上任意一點，交點為D點。④從C點出發(fā)畫一條射線，用圓規(guī)量AB的長度，以C點為圓心畫弧，弧與射線的交點為D點。最后師生交流各種作圖方法，并加以優(yōu)化。

在用尺規(guī)作等長線段的任務(wù)中，學(xué)生不僅要動手操作，更要構(gòu)思畫法，并用語言描述作圖的方法。在此過程中，學(xué)生逐漸感受到圓規(guī)兩腳間的距離可以量長度，無刻度直尺可以畫直直的線，尺和規(guī)的協(xié)作能夠作與給定線段等長的線段。

任務(wù)二：請用圓規(guī)和無刻度直尺，從C點出發(fā)畫出和線段AB一樣長的線段，限時90秒，看誰畫得又快又多。（圖略）

學(xué)生根據(jù)任務(wù)一的作圖經(jīng)驗，用圓規(guī)從C點出發(fā)可以畫出一條半徑與線段AB等長的弧，再繼續(xù)畫，可以畫出一個圓（圖2）。學(xué)生發(fā)現(xiàn)中心點到弧上存在無數(shù)條長度相等的線段，為今后學(xué)習(xí)圓的特征打下了基礎(chǔ)。在這個過程中，學(xué)生利用尺規(guī)可以畫出無數(shù)條等長線段，教師引導(dǎo)學(xué)生從形象直觀的思維角度觀察、分析、思考問題，憑借簡潔直觀的尺規(guī)作圖巧妙解決了“從C點出發(fā)可以畫無數(shù)條和線段AB等長的線段”。學(xué)生用尺規(guī)作等長線段的過程中，從直觀操作的形象思維，逐步向半抽象、抽象的思維遞進(jìn)，從而發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，形成良好的思維品質(zhì)。

二、借尺規(guī)作圖體會精準(zhǔn)刻畫的簡潔美

作給定線段等長的線段可以用有刻度的直尺來完成，為什么還要學(xué)習(xí)借助無刻度的直尺和圓規(guī)來作圖？在教學(xué)中如何幫助學(xué)生感受尺規(guī)作圖的優(yōu)勢和價值？讓學(xué)生畫一個任意三角形，學(xué)生借助直尺能夠很輕松地完成。但是讓學(xué)生作一個給定線段的三角形，學(xué)生用直尺就很難找到第3個頂點。如果能借助圓規(guī)畫弧的方法尋找第3個頂點，就能輕松畫出三角形。所以，用尺規(guī)作給定線段的三角形，能很好地讓學(xué)生感受到尺規(guī)作圖的優(yōu)勢。

任務(wù)三：用下面的三條線段（圖3）畫一個三角形。

任務(wù)三中，教師鼓勵學(xué)生進(jìn)行自主嘗試，使其產(chǎn)生困惑——想“湊出”第3個頂點非常困難。正是這一困惑引發(fā)了學(xué)生再次深入思考和討論，并聚焦“如何能找到三角形的第3個頂點”這一問題開始探究。學(xué)生首先想到的大多是用有刻度的直尺不斷嘗試，但兩條線段很難相交于一點，只有一次次調(diào)整后才能相交（圖4）。有的學(xué)生受到用尺規(guī)作等長線段的啟示，想到用圓規(guī)畫弧找交點的方法來確定第3個頂點。在找第3個頂點的過程中，教師要適時引導(dǎo)學(xué)生思考：如何快速便捷地找到三角形的第3個頂點。讓學(xué)生嘗試用尺規(guī)作圖的方法找頂點，最后在他們的操作匯報中完成對作圖方法的提煉（圖5）。

在作圖過程中，教師要指導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成作圖留痕的習(xí)慣。留下作圖和調(diào)整過程中的痕跡，便于學(xué)生觀察比較，發(fā)現(xiàn)“湊點”和畫弧的聯(lián)系，從而找出具體的作圖方法。教師引導(dǎo)學(xué)生找一找兩種方法的相通之處，學(xué)生發(fā)現(xiàn)把一次次調(diào)整的點連起來就是一條弧線，在建立聯(lián)系中體會了用尺規(guī)作三角形背后的道理。通過對兩種方法的對比，學(xué)生深刻體會到用圓規(guī)尋找交點的方法更加直觀、簡潔和精準(zhǔn)。在作圖過程中學(xué)生還發(fā)現(xiàn)，不管先畫哪條線段，畫出的三角形形狀、大小都是唯一的，學(xué)生初步體會到三角形的穩(wěn)定性。

三、借尺規(guī)作圖孕育學(xué)生的推理意識

原先教師組織學(xué)生探索“三角形三邊關(guān)系”時，是用給定長度的小棒搭三角形來判斷是否能圍成。小棒有粗細(xì)，在操作過程中，往往存在誤差，使規(guī)律探究不嚴(yán)密，如果借助尺規(guī)作圖來探究“三角形三邊關(guān)系”將既科學(xué)又嚴(yán)謹(jǐn)。學(xué)生在任務(wù)三中經(jīng)歷嘗試、分析、想象、思考等思維活動，落在紙面上的痕跡是其思維的直觀體現(xiàn)。將學(xué)習(xí)經(jīng)驗遷移到任務(wù)四的解決過程中，可以發(fā)展學(xué)生的推理意識，幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的邏輯性和科學(xué)性。

任務(wù)四：同時用線段a和線段b（圖6）作等腰三角形。

教師先讓學(xué)生猜測：“a、a、b”或“b、b、a”能否圍成等腰三角形，然后讓學(xué)生分別用線段a和線段b為底邊作三角形嘗試驗證。學(xué)生發(fā)現(xiàn)用短線段a當(dāng)?shù)走叄脙蓷l長線段b為腰畫了兩條弧，兩弧相交，畫出了這個等腰三角形。如果用線段b當(dāng)?shù)走叄缓笥脠A規(guī)量出線段a的長度畫弧，發(fā)現(xiàn)畫完兩條弧之后沒有交點，用線段b當(dāng)?shù)走叜嫴怀鋈切?，即兩邊之和小于第三邊，線段2a長度小于線段b的長度時是圍不成三角形的。教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考探究：當(dāng)線段2a長度等于線段b長度時能否圍成三角形。學(xué)生再次用尺規(guī)作圖，同樣發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩邊之和等于第三邊時，交點落在了線段b上，也是圍不成三角形的。在這個活動中，學(xué)生經(jīng)歷了猜測、驗證、得出結(jié)論的過程，這是一個思維不斷進(jìn)階的過程，是知識認(rèn)知從模糊到清晰的過程，從已知推理出未知的過程。借尺規(guī)作圖探究“三角形三邊關(guān)系”對學(xué)生推理意識的發(fā)展，起到積極的推動作用。

需要指出的是，由于尺規(guī)作圖是首次在小學(xué)階段被提出的內(nèi)容，教師在教與學(xué)的過程中一定會出現(xiàn)困惑。教師務(wù)必把握這部分內(nèi)容對于發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和推理意識的價值。要鼓勵學(xué)生不斷經(jīng)歷嘗試、思考、調(diào)整、交流的過程，而不是急于把作圖的方法教給學(xué)生，讓學(xué)生照著作圖，這樣就會丟失尺規(guī)作圖的教育價值。

（作者單位：浙江省常山縣教育局教研室 本專輯責(zé)任編輯：王彬）

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］孫曉天，張丹.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）課例式解讀.小學(xué)數(shù)學(xué)［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2022.

［3］黃幼紅.小學(xué)數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖教學(xué)中核心素養(yǎng)培育的“三講究”——以“用尺規(guī)作等長線段”教學(xué)為例［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2023（03）：60-63.