基于STSS模型的改進(jìn)及其應(yīng)用

匡 嬋,鄭海濤,趙宜嬋,韋洪雷

(西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 成都 611730)

0 引言

隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展和大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)，以環(huán)境、交通、金融、醫(yī)療等為代表的多個(gè)領(lǐng)域產(chǎn)生大量數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含著豐富的時(shí)空信息。例如醫(yī)學(xué)成像數(shù)據(jù)[1]、環(huán)境監(jiān)測(cè)衛(wèi)星遙感數(shù)據(jù)[2-3]、國(guó)家環(huán)境信息中心數(shù)據(jù)集NCEI(national centers for environmental information)等。針對(duì)不同類型的時(shí)空數(shù)據(jù)，需要找到合適的表達(dá)來(lái)描述數(shù)據(jù)反映出的各項(xiàng)信息。而采用合適的模型來(lái)對(duì)不同類型的時(shí)空數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，會(huì)提高對(duì)時(shí)空特性探究的準(zhǔn)確度，以及對(duì)數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)有更真實(shí)的描述，這對(duì)時(shí)空數(shù)據(jù)的應(yīng)用發(fā)展有著重要的意義。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外關(guān)于不同類型時(shí)空數(shù)據(jù)的應(yīng)用研究都是比較頻繁的。例如，Cabrera等[4]通過(guò)廣義加性混合模型建立時(shí)空數(shù)據(jù)模型來(lái)觀察天氣和登革熱傳播之間的復(fù)雜關(guān)系，這項(xiàng)研究匯集了來(lái)自不同來(lái)源的大型數(shù)據(jù)集，包括委內(nèi)瑞拉衛(wèi)生部，還包括美國(guó)國(guó)家航空航天局提供的遠(yuǎn)程衛(wèi)星氣候數(shù)據(jù)。再例如，Ghosh等[5]提出了一個(gè)端到端的交通關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘框架，通過(guò)分析城市的出租車出行軌跡，有助于提取城市交通動(dòng)態(tài)，此研究使用NYC綠色和黃色出租車跟蹤、羅馬出租車數(shù)據(jù)集和舊金山出租車數(shù)據(jù)集的真實(shí)GPS跟蹤數(shù)據(jù)集，屬于軌跡數(shù)據(jù)類。而許熳靈等[6]也同樣使用軌跡數(shù)據(jù)，他們基于智能交通卡數(shù)據(jù)，以南京市為例，通過(guò)建立一種季節(jié)性差分自回歸移動(dòng)平均模型，解釋了不同種類的天氣因素(如降雨、氣溫、相對(duì)濕度、風(fēng)速等)對(duì)地鐵客流量時(shí)空分布的影響程度。

對(duì)于收集到的一些海量的、有噪聲的數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理是了解其時(shí)空特征的關(guān)鍵。例如，對(duì)于NARCCAP(the North American regional climate change assessment program)[7-8]這樣的大規(guī)模時(shí)空數(shù)據(jù)集，F(xiàn)rench等[9]提出了一種平滑處理方法STSS(spatio-temporal sandwich smoother)。在2013年Xiao等[10]提出的OSS(the original sandwich smoother)的基礎(chǔ)上，發(fā)展了一種懲罰樣條方法來(lái)表示具有主光滑成分的連續(xù)時(shí)空數(shù)據(jù)，分別對(duì)空間和時(shí)間維度采用不同的基函數(shù)來(lái)進(jìn)行處理，他們還用模擬和實(shí)際數(shù)據(jù)證明了此方法的實(shí)用性。French等提出的STSS模型不僅能在保留數(shù)據(jù)時(shí)空特性下對(duì)數(shù)據(jù)做平滑處理，還具有高效的計(jì)算效率。而NCEI收集到的數(shù)據(jù)集不僅具有大規(guī)模的特性，還包含各種不同的信息變量。針對(duì)呈現(xiàn)出多維信息的時(shí)空數(shù)據(jù)，需要合適的表達(dá)來(lái)描述這類時(shí)空數(shù)據(jù)的特征。

French等提出的STSS模型能在時(shí)間、空間上捕捉到關(guān)鍵特征，但當(dāng)協(xié)變量對(duì)響應(yīng)有影響且有周期特征時(shí)，STSS模型還是不能很好地解釋數(shù)據(jù)的變化。因此，引入了協(xié)變量函數(shù)和周期函數(shù)。協(xié)變量函數(shù)用來(lái)描述各種信息變量對(duì)響應(yīng)變量的影響，而周期函數(shù)用來(lái)補(bǔ)償解釋數(shù)據(jù)的周期性。利用STSS模型關(guān)于基函數(shù)和懲罰函數(shù)的運(yùn)用，可以對(duì)大規(guī)模數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理；同時(shí)還伴隨著協(xié)變量和周期性對(duì)觀察變量的影響。關(guān)于協(xié)變量函數(shù)使用的是常見(jiàn)的多元線性模型，而周期函數(shù)則考慮了不同周期長(zhǎng)度的描述，這樣能探究出數(shù)據(jù)更真實(shí)的周期變化。為了更好地處理上述類型的時(shí)空數(shù)據(jù)，提出的模型不只是單一地討論數(shù)據(jù)的時(shí)空結(jié)構(gòu)，也可以觀測(cè)其相關(guān)信息對(duì)數(shù)據(jù)變化的影響，還包括探測(cè)數(shù)據(jù)變化是否具有一定的周期性，這樣的結(jié)合使得所提的模型能更全面、更貼合實(shí)際地描述時(shí)空數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)和變化。

論文的結(jié)構(gòu)如下：第1節(jié)介紹了所提出的改進(jìn)模型，包括模型的表達(dá)形式和參數(shù)估計(jì)方法；第2節(jié)利用蒙特卡洛的方法對(duì)所提出的模型進(jìn)行了模擬研究；第3節(jié)將改進(jìn)模型應(yīng)用于實(shí)際時(shí)空數(shù)據(jù)集，并對(duì)分析結(jié)果進(jìn)行了討論；第4節(jié)對(duì)所提出的方法進(jìn)行了總結(jié)。

1 模型介紹

對(duì)于一些數(shù)據(jù)集，它們收集的區(qū)域范圍廣，統(tǒng)計(jì)年份長(zhǎng)，呈現(xiàn)出大規(guī)模的數(shù)據(jù)集，還包含著多種信息變量，并且數(shù)據(jù)變化存在明顯的周期性。而期望能在對(duì)數(shù)據(jù)做平滑處理的同時(shí)，還能觀察一些相關(guān)因素對(duì)數(shù)據(jù)的影響和數(shù)據(jù)的周期變化情況，因此在French等提出的STSS模型基礎(chǔ)上，引入了協(xié)變量函數(shù)和周期函數(shù)。關(guān)于描述協(xié)變量與響應(yīng)變量之間的關(guān)系使用的是常見(jiàn)的多元線性模型，周期函數(shù)則也考慮了不同周期長(zhǎng)度的描述。下面是關(guān)于模型的具體介紹。

1.1 模型表達(dá)

假設(shè)在某個(gè)區(qū)域內(nèi)觀測(cè)到n1個(gè)不同地點(diǎn)和n2個(gè)不同時(shí)間的響應(yīng)，用數(shù)學(xué)模型可表示成

yij=y(xij;si,tj)=

f(xij)+d(tj)+z(si,tj)+ε(si,tj)，

i=1,2，…,n1,j=1,2，…,n2

(1)

其中：y是響應(yīng)變量，f(x)是有關(guān)影響y的協(xié)變量x的函數(shù)，d(t)是關(guān)于時(shí)間t的周期函數(shù)，z(s,t)是考慮成空間位置s和時(shí)間t對(duì)y的一個(gè)影響，誤差過(guò)程ε(s,t)滿足Ε(ε(s,t))=0，Ε(ε2(s,t))=σ2。如上文所述，考慮f(x)是關(guān)于x的多元線性函數(shù)，z(s,t)則是使用STSS模型的方法，即空間基函數(shù)和時(shí)間基函數(shù)的張量積，令

其中：p是協(xié)變量的個(gè)數(shù)，C是一個(gè)由周期函數(shù)構(gòu)成的矩陣，殘差εij=ε(si,tj),1≤i≤n1,1≤j≤n2，這里的周期函數(shù)d(t)可以采用如下形式：

(2)

其中：α1,α2,…,α2k-1,α2k是函數(shù)的系數(shù)，2k是周期函數(shù)的個(gè)數(shù)，m1,m2,…,mk取值為正整數(shù)。在應(yīng)用于實(shí)際數(shù)據(jù)的時(shí)候，可以綜合考慮周期呈半年、季度以及月度等的變化來(lái)確定k和m1,m2,…,mk的取值，以便觀察數(shù)據(jù)更真實(shí)的周期性。則周期函數(shù)矩陣也可以表示成

則上述數(shù)學(xué)模型(1)可以表示成矩陣的形式：

y=Xβ+Cα+Bθ+ε

(3)

式(3)中，基函數(shù)的張量積B=B2?B1，其中B1、B2分別是關(guān)于空間和時(shí)間的基函數(shù)矩陣，具體形式如下：

其中：rk(si),1≤k≤c1,1≤i≤n1是描述空間的徑向基函數(shù)，bl(tj),1≤l≤c2,1≤j≤n2是描述時(shí)間的B樣條基函數(shù)。

這里采用的徑向基函數(shù)是Wendlend協(xié)方差函數(shù)[11]，基本形式為：

其中：k=1,2,…,c1，h=|ki-s|是空間中2點(diǎn)之間的距離，ki,i=1,2,…,c1表示空間節(jié)點(diǎn)，N是多項(xiàng)式階數(shù)，φ是函數(shù)的支撐(也稱帶寬參數(shù))，aj,j=1,2,…,N為一組非零系數(shù)。關(guān)于Wendland協(xié)方差函數(shù)的更多細(xì)節(jié)可以在文獻(xiàn)[11-12]中找到。采用的B樣條基函數(shù)的一個(gè)遞歸定義[13-14]如下，設(shè)τ0≤τ1≤…≤τM為一組時(shí)間節(jié)點(diǎn)，記第i個(gè)d次B樣條基函數(shù)為Bi,d(t)，定義

其中i=0,1,…,M-1。當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)M和次數(shù)d確定時(shí)，得到一組B樣條基bl(t),1≤l≤c2，其中c2=M+d+1。

1.2 參數(shù)估計(jì)

在給定的懲罰參數(shù)λ1、λ2下，關(guān)于上述模型(3)的目標(biāo)函數(shù)可表示為：

(4)

其中

λ1λ2(Dm)TDm?(Sm)TSm

其中#{Ni}為近鄰集Ni元素的個(gè)數(shù)；當(dāng)m≥2時(shí)，定義

則依次計(jì)算出Sm的每一行元素。關(guān)于空間差分矩陣更多的運(yùn)用細(xì)節(jié)可以在French等的文章中找到。懲罰參數(shù)λ1、λ2可通過(guò)廣義交叉驗(yàn)證[15-17]的方法進(jìn)行選擇。

令參數(shù)

q是周期函數(shù)系數(shù)的個(gè)數(shù)，根據(jù)1.1小節(jié)的描述可知q=2k，則上述目標(biāo)函數(shù)(4)可以轉(zhuǎn)化為以下形式：

(B,X,C)Ty

2 模擬研究

根據(jù)所提出的模型隨機(jī)生成數(shù)據(jù)，然后進(jìn)行多次模擬，來(lái)觀察其參數(shù)估計(jì)的結(jié)果、模型擬合的效果以及模型殘差的分析結(jié)果，模擬設(shè)置如下：

1) 樣本容量n=n1×n2×n3，n1、n2是關(guān)于空間位置的樣本大小(一共有n1×n2個(gè)空間位置)，n3是時(shí)間長(zhǎng)度的樣本大小。模擬取5×5個(gè)空間點(diǎn)，分小樣本n=5×5×50、中樣本n=5×5×200和大樣本n=5×5×500。

3) 根據(jù)2得到空間維和時(shí)間維的基函數(shù)矩陣B1、B2和差分矩陣Sm、Dm；確定周期函數(shù)矩陣，模擬將周期矩陣設(shè)置為：

由上述的模擬設(shè)置，在不同的樣本容量和標(biāo)準(zhǔn)差的情況下，各進(jìn)行了1 000次的重復(fù)模擬，最后取每個(gè)參數(shù)估計(jì)結(jié)果的均值。與參數(shù)模擬取值的比較如表1—3所示，從估計(jì)結(jié)果看，取不同大小的樣本容量以及不同的標(biāo)準(zhǔn)差，得到的估計(jì)值與模擬取值相差都比較小。模擬數(shù)據(jù)的周期函數(shù)系數(shù)僅α1、α2取值不為零，其余的周期系數(shù)均取值為零，而其余的周期函數(shù)系數(shù)α3、α4、α5和α6的估計(jì)都非常接近于0，則可以說(shuō)明周期項(xiàng)得到的估計(jì)結(jié)果與模擬數(shù)據(jù)周期項(xiàng)也非常相近，即可以說(shuō)明提出的模型能反映數(shù)據(jù)的真實(shí)周期變化。參數(shù)估計(jì)結(jié)果的均方差(MSE)如表1—3括號(hào)中的數(shù)值所示，表中數(shù)據(jù)顯示隨著樣本容量的增加均方差在逐漸減小，而隨著標(biāo)準(zhǔn)差取值的增加均方差也在增加，其各均方差值也都比較小，表示參數(shù)估計(jì)結(jié)果的波動(dòng)比較小。

表1 小樣本模擬數(shù)據(jù)參數(shù)估計(jì)結(jié)果

表2 中樣本模擬數(shù)據(jù)參數(shù)估計(jì)結(jié)果

表3 大樣本模擬數(shù)據(jù)參數(shù)估計(jì)結(jié)果

任意選取一個(gè)空間位置，在3種樣本大小和3種標(biāo)準(zhǔn)差的情況下，分別觀察模型的擬合效果。圖1是同一空間位置的觀測(cè)值與擬合值，其中紅色實(shí)線為觀測(cè)值，綠色虛線為擬合值。如圖1所示，可以看到圖中的擬合效果都是比較好的，而隨著標(biāo)準(zhǔn)差取值的增加會(huì)使得其擬合值與觀測(cè)值之間的差變大。從任一位置的擬合圖形可以看到，不管是小樣本、中樣本還是大樣本，其模型的擬合效果都是非常好的，隨著標(biāo)準(zhǔn)差取值的增加，觀測(cè)值的波動(dòng)會(huì)稍微變大，而擬合值會(huì)相對(duì)平滑一些。此外，還對(duì)任一空間位置進(jìn)行了殘差分析，結(jié)果顯示不同樣本不同標(biāo)準(zhǔn)差情況下的殘差都呈現(xiàn)出非常好的隨機(jī)性和正態(tài)性。各種殘差圖形以及正態(tài)性檢驗(yàn)結(jié)果如圖2—4和表4所示，表4中顯示檢驗(yàn)的P值均大于0.05，可判斷殘差服從正態(tài)分布。也就意味著所提出的改進(jìn)模型有較好的適用性，下面通過(guò)實(shí)際數(shù)據(jù)的應(yīng)用來(lái)證實(shí)模型的實(shí)用性。

圖1 3種樣本容量不同標(biāo)準(zhǔn)差下的擬合圖

圖2 3種樣本容量不同標(biāo)準(zhǔn)差下的殘差圖

圖3 3種樣本容量不同標(biāo)準(zhǔn)差下的殘差Q-Q圖

圖4 3種樣本容量不同標(biāo)準(zhǔn)差下的殘差直方圖

表4 殘差的正態(tài)性檢驗(yàn)(Kolmogorov-Smirnov)結(jié)果

3 案例分析

在這一節(jié)中將用上述改進(jìn)的模型應(yīng)用于實(shí)際時(shí)空數(shù)據(jù)，并與STSS模型做比較。實(shí)際應(yīng)用的時(shí)空數(shù)據(jù)是由NCEI收集的數(shù)據(jù)集。隨機(jī)選取美國(guó)的Colorado州中57個(gè)站點(diǎn)的月平均溫度(華氏度)數(shù)據(jù)，將此作為待觀測(cè)的響應(yīng)變量，其中各個(gè)站點(diǎn)的空間位置由經(jīng)緯度表示，時(shí)間長(zhǎng)度為從2000年1月到2020年12月，形成了252個(gè)月份內(nèi)在57個(gè)空間位置觀測(cè)到的時(shí)間序列，總共有14 364個(gè)響應(yīng)值。圖5中的黑色圓點(diǎn)表示各個(gè)站點(diǎn)的位置。其余的信息變量還包括各個(gè)站點(diǎn)的海拔和月降水量，將這2個(gè)信息變量作為待觀測(cè)數(shù)據(jù)的協(xié)變量。

現(xiàn)在考慮將改進(jìn)的模型應(yīng)用于這些數(shù)據(jù)。在關(guān)于基函數(shù)的處理上，空間維度使用2種不同分辨率下的Wendland協(xié)方差函數(shù)，分別使用4節(jié)點(diǎn)和20節(jié)點(diǎn)(共24個(gè)節(jié)點(diǎn))，每個(gè)分辨率的節(jié)點(diǎn)位置在圖5(b)中用不同顏色和形狀的符號(hào)表示，采用m=2階的空間差分懲罰；時(shí)間維數(shù)使用了12個(gè)B樣條基函數(shù)。為了能更準(zhǔn)確地抓住數(shù)據(jù)的真實(shí)周期變化，這里考慮設(shè)置周期函數(shù)的個(gè)數(shù)為q=16和正整數(shù)取值(m1,m2,…,m8)=(2,4,6,8,10,12,24,36)。

圖5 Colorado州中57個(gè)站點(diǎn)的位置

表5 周期函數(shù)參數(shù)估計(jì)結(jié)果

接下來(lái)將觀察模型的擬合效果和殘差分析。圖6是選取的任一站點(diǎn)位置的擬合圖，圖中紅色實(shí)線為月平均溫度的真實(shí)觀測(cè)值，綠色虛線為擬合值。從圖6可以看到2條線非常貼合，說(shuō)明模型的擬合效果是很不錯(cuò)的。圖7是整體殘差的相關(guān)圖形，圖7 (a)是整體殘差圖，圖7 (b)是殘差直方圖，殘差圖中的數(shù)值大致均勻分布在零均值線上下，從圖7可以看到,整體殘差的隨機(jī)性和正態(tài)性都表現(xiàn)得很好，說(shuō)明模型適用于實(shí)際時(shí)空數(shù)據(jù)。

圖6 任一站點(diǎn)位置的擬合圖

圖8 觀測(cè)到的月平均溫度(華氏度)和擬合值的散射圖

表6是2個(gè)模型的均方差比較，從表中數(shù)值可以看出，改進(jìn)模型的均方差比STSS模型小很多，說(shuō)明改進(jìn)的模型要比STSS模型更適合于時(shí)空數(shù)據(jù)。圖8分別是2個(gè)模型的擬合數(shù)據(jù)和觀測(cè)數(shù)據(jù)的散射圖，其中圖8(a)是STSS模型，圖8 (b)是本文模型的散射圖，顯示了變量之間期望的線性關(guān)系，可以看到改進(jìn)的模型比STSS模型能更完整地捕獲原始月平均溫度數(shù)據(jù)的總體模式。

表6 模型的均方差

French等提出的STSS模型具有高效的計(jì)算效益和很好的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)捕獲效益，但也提到在應(yīng)用STSS模型時(shí)，會(huì)因?yàn)槟Ｐ椭械囊恍┱{(diào)整參數(shù)的不同設(shè)置導(dǎo)致模型得到的結(jié)果存在差異。例如，基函數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù)，太少會(huì)導(dǎo)致擬合結(jié)果過(guò)于平滑，但節(jié)點(diǎn)數(shù)太多又會(huì)使得基函數(shù)的參數(shù)增多從而使得計(jì)算量增大；再比如，帶寬參數(shù)φ的選擇，F(xiàn)rench等建議至少是每個(gè)節(jié)點(diǎn)與其近鄰點(diǎn)之間最大距離的2倍，但φ太大也會(huì)導(dǎo)致計(jì)算不穩(wěn)定，因?yàn)樯傻幕瘮?shù)矩陣將具有高度相關(guān)的列。還有基函數(shù)的階數(shù)、差分矩陣的階數(shù)m，等等。也就是說(shuō)，在應(yīng)用于實(shí)際時(shí)空數(shù)據(jù)的時(shí)候，有時(shí)會(huì)因?yàn)橐恍┰蚴沟媚Ｐ偷倪@些調(diào)整參數(shù)不一定取到最合適的數(shù)值，這樣會(huì)很容易降低模型的使用效益，也會(huì)減少模型的實(shí)用性。而從圖8(a)和圖8(b)的對(duì)比結(jié)果可以看到，提出的改進(jìn)模型會(huì)大大減少這種情況對(duì)結(jié)果產(chǎn)生的影響，能在一定程度上有效地保證模型的使用效益，從而確保模型的實(shí)用性。

4 結(jié)論

在French等提出的STSS模型基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，使其更適用于包含多維信息的大規(guī)模時(shí)空數(shù)據(jù)。在STSS模型上引入了協(xié)變量函數(shù)和周期函數(shù)，協(xié)變量函數(shù)描述各信息變量對(duì)觀察變量的影響，周期函數(shù)描述數(shù)據(jù)的周期性。其中關(guān)于協(xié)變量與觀察變量之間的關(guān)系使用的是常見(jiàn)的多元線性模型，而周期函數(shù)則考慮了不同周期長(zhǎng)度的描述。與STSS模型相比，所提的改進(jìn)模型既能在保留時(shí)空結(jié)構(gòu)下對(duì)數(shù)據(jù)做平滑處理，還可以觀測(cè)其相關(guān)因素對(duì)數(shù)據(jù)的影響，探測(cè)數(shù)據(jù)變化的周期性。然后通過(guò)模擬實(shí)驗(yàn)和NCEI收集的實(shí)際時(shí)空數(shù)據(jù)應(yīng)用驗(yàn)證了改進(jìn)模型的適用性和實(shí)際性。

模擬研究結(jié)果表明，改進(jìn)的模型呈現(xiàn)較好的擬合效果，而隨著數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差取值的增加，觀測(cè)值的波動(dòng)稍微變大，模型的擬合更趨于平滑。此外，模型的殘差在各種情況下都呈現(xiàn)良好的正態(tài)性，即顯示了改進(jìn)的模型有很好的適用性。將改進(jìn)的模型應(yīng)用于實(shí)際時(shí)空數(shù)據(jù)，分析結(jié)果呈現(xiàn)了良好的擬合效果，顯示了改進(jìn)模型的優(yōu)良性。與STSS模型進(jìn)行對(duì)比，改進(jìn)的模型比STSS模型能更完整地捕獲原始數(shù)據(jù)的整體變化。