復雜函數(shù)求最值 同構(gòu)處理很奇妙

汪亞洲

?湖北省小池濱江高級中學

洪 亮

?湖北省黃梅縣小池鎮(zhèn)一中

同構(gòu)式是指除了變量不同外，其余地方都相同的式子[1].若方程中出現(xiàn)同構(gòu)特征，則x1,x2可視為方程的兩個根；若函數(shù)中出現(xiàn)同構(gòu)式，可將相同結(jié)構(gòu)的式子構(gòu)造成一個函數(shù)，再通過求導解決問題.

1 例題展示

例已知函數(shù)f(x)=aex-lnx+lna，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，若對任意的正實數(shù)x，都有f(x)≥0成立，則a的最小值為.

2 一題多解

本題是在恒成立的條件下求最值，最初的想法是利用分離變量法，但是變量在多處存在，此法行不通，此時可以考慮求導，得到f(x)的最小值f(x0)，然后令f(x0)≥0，從而求出a的最小值.

解法1：求導法.

解法2：搭建同構(gòu)式 (朝著tet轉(zhuǎn)化).

解法3：搭建同構(gòu)式 (朝著tlnt轉(zhuǎn)化).

解法4：搭建同構(gòu)式 (朝著t+et轉(zhuǎn)化).

由aex-lnx+lna≥0，得aex+lna≥lnx.結(jié)合對數(shù)恒等式有eln aex+lna≥lnx，所以eln a+x+lna≥lnx.在不等式的兩邊同時加上x，得eln a+x+(lna+x)≥x+lnx.這時可以令φ(x)=x+ex.因為φ(x)=x+ex在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以由φ(x+lna)≥φ(lnx)，得x+lna≥lnx，即lna≥lnx-x.

解法5：利用ex≥x+1放縮.

由aex≥lnx-lna，得eln aex≥lnx-lna，故ex+ln a≥lnx-lna.而ex+ln a≥x+lna+1，故只需x+lna+1≥lnx-lna即可，所以2lna≥lnx-x-1.

解法6：利用ex≥x+1，lnx≤x-1同時放縮[2].

3 一題多思

4 變式訓練

(1)(2021年西湖區(qū)校級模擬)已知函數(shù)f(x)=mln(x+1)-3x-3，若不等式f(x)>mx-3ex在(0,+∞)上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是( ).

A.[0,+∞) B.[3,+∞)

C.(-∞,3] D.(-∞,0]

(2)(2021年衡陽雁峰區(qū)期中試題)已知函數(shù)f(x)=ex-aln(ax-a)+a(a>0)，若關(guān)于x的不等式f(x)>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是( ).

A.[0,e2] B.(0,e2) C.[1,e2] D.(1,e2)

(4)(2021年沈陽一模第12題)已知函數(shù)f(x)=alnx-2x，若不等式f(x+1)>ax-2ex在x∈(0,+∞)上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是( ).

A.a≤2 B.a≥2 C.a≤0 D.0≤a≤2

(5)(2021年鄂東南聯(lián)盟測試第16題)已知x0是函數(shù)f(x)=x2ex-2+lnx-2的零點，則e2-x0+lnx0=.

(6)(2021年江淮十校聯(lián)考第16題)已知實數(shù)α,β滿足αeα=e3，β(lnβ-1)=e4，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則α·β=.

5 歸納總結(jié)

如果等式或者不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個函數(shù)，進而與函數(shù)的單調(diào)性建立聯(lián)系，再比較大小或解不等式.

同構(gòu)的應用：①指對各一邊，參數(shù)是關(guān)鍵；②常用“母函數(shù)”，如f(x)=x·ex，f(x)=ex±x，尋找“親戚函數(shù)”是關(guān)鍵；③信手拈來湊同構(gòu)，湊常數(shù)、湊x、湊參數(shù)；④復合函數(shù)(“親戚函數(shù)”)比大小，利用單調(diào)性求解.