目標(biāo)意識(shí)在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的培養(yǎng)策略*

劉遠(yuǎn)來 李紅梅

?西華師范大學(xué)

目標(biāo)意識(shí)是指一種由主體依據(jù)解題目標(biāo)，分析條件和作用、結(jié)論和等價(jià)關(guān)系，有目的地將條件和結(jié)論相關(guān)聯(lián)的思維活動(dòng).其中解題目標(biāo)可分為中間目標(biāo)和最終目標(biāo).目標(biāo)意識(shí)的培養(yǎng)有助于學(xué)生明確解題方向，探尋解題切入點(diǎn)，構(gòu)建解題系統(tǒng).

著名數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中說：我們喜歡朝著目標(biāo)直接走，對(duì)于繞著走、反著走、或者脫離目標(biāo)有一種心理上的反感.由此可見目標(biāo)意識(shí)的重要性，目標(biāo)意識(shí)對(duì)于解題起著導(dǎo)向性作用.而現(xiàn)在中學(xué)生由于思維水平、認(rèn)知結(jié)構(gòu)的局限性，在難題的處理上缺乏目標(biāo)意識(shí)，找不到破題口.基于在解題教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生解題，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)，避免學(xué)生在解題過程中的盲目性，筆者從目標(biāo)意識(shí)入手，從以下三個(gè)方面淺談目標(biāo)意識(shí)的培養(yǎng)策略.

1 活用化歸思想，明確解題方向

化歸思想是指復(fù)雜問題通過某種變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題，未知問題轉(zhuǎn)化為己知問題的過程，達(dá)到化生為熟，化難為易，化繁為簡(jiǎn)，化迂為直的目的.運(yùn)用化歸思想，對(duì)題目的解題目標(biāo)進(jìn)行變換，明確解題的方向，增強(qiáng)學(xué)生解題的目標(biāo)意識(shí)，在化歸中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新性思維.

分析：這是一道根據(jù)等式限制條件求取值范圍的題目，如果運(yùn)用常規(guī)思路用一個(gè)變?cè)硎玖硪粋€(gè)變?cè)?jì)算過程較為復(fù)雜，也不易求解.下面利用化歸思想架構(gòu)知識(shí)之間的聯(lián)系，變換解題目標(biāo)，明確解題方向.

根據(jù)化高維為低維的劃歸思想，采用換元法進(jìn)行化歸：

所以2x+y=2(t2-1)+(5-t)2+3

=3t2-10t+26(0≤t≤5).

2 借助逆向思維，探尋解題切入點(diǎn)

逆向思維是一種思想(概念、原理、觀念)反過來思考的思維方式.具體而言，是把題目中的結(jié)論當(dāng)作條件，并結(jié)合題設(shè)部分條件，通過轉(zhuǎn)化、推理，得到一個(gè)顯而易見的結(jié)論.通過這種思維方式得到的結(jié)論就是探尋解題切入點(diǎn)的關(guān)鍵.逆向思維不僅在利用定義、運(yùn)算法則、定理進(jìn)行解題時(shí)經(jīng)常使用，而且對(duì)于幾何、不等式和導(dǎo)數(shù)的相關(guān)證明也有妙用.

例2若a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：

分析：該題是一道證明不等式恒成立的問題，但是利用顯性題設(shè)條件很難證明結(jié)論，不易探尋解題的目標(biāo)切入點(diǎn).下面通過逆向思維來分析試題，并展現(xiàn)目標(biāo)意識(shí)的思維過程.

3 巧用概念圖，構(gòu)建解題系統(tǒng)

概念圖是組織知識(shí)和表征知識(shí)的工具，包括概念或命題間的相互關(guān)系，概念通常置于圓圈或方框中，用連線及其連接語(yǔ)表明兩概念間的聯(lián)系.

對(duì)于一個(gè)初始條件復(fù)雜、結(jié)論較為抽象的問題，我們往往難以入手，目標(biāo)迷茫，想不到破題的關(guān)鍵.我們不妨引入概念圖厘清條件和結(jié)論之間的關(guān)系，構(gòu)建解題的層級(jí)目標(biāo)，形成解題的目標(biāo)系統(tǒng).繪制數(shù)學(xué)概念圖，有利于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和直觀想象核心素養(yǎng)，有利于提高學(xué)生思維的系統(tǒng)性、廣闊性、深刻性，為數(shù)學(xué)解題目標(biāo)意識(shí)的培養(yǎng)提供了一種思維工具.

構(gòu)建概念圖的流程如下.首先，將解題的結(jié)論作為最終目標(biāo)；其次，分析題目中每個(gè)條件的作用及其相互關(guān)聯(lián)關(guān)系；然后內(nèi)化條件，相互轉(zhuǎn)化，推理出所需的中間目標(biāo)，并用箭頭進(jìn)行有意義連接，標(biāo)注好兩個(gè)目標(biāo)之間的關(guān)系；再次，厘清各個(gè)過渡目標(biāo)的內(nèi)外層級(jí)、因果關(guān)系，形成一個(gè)完整、邏輯清晰的概念圖；最后，對(duì)所構(gòu)建的概念圖反思每個(gè)過渡目標(biāo)的確定是否合理、正確，每個(gè)目標(biāo)之間的意義連接是否有用.

例3已知函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí),xf′(x)+f(x)>0,且滿足f(-2)=0,則使f(x)>0成立的x取值范圍是( ).

A.(-∞,-2)∪(0,2) B.(-2,0)∪(2,+∞)

C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,2)

根據(jù)例3題設(shè)條件，繪制概念圖需要確定以下幾個(gè)中間目標(biāo).

目標(biāo)一：這是一道結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)的不等式抽象函數(shù)問題，這類問題的解題策略是什么？

在數(shù)學(xué)解題中注重通性通法.這類問題的解題策略往往是利用函數(shù)單調(diào)性脫去“f”的方法，將抽象函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為具體函數(shù)不等式，進(jìn)而利用不等式性質(zhì)求出未知數(shù)的取值范圍.因此，這是我們解題的總體目標(biāo)，為解題確定了方向.

目標(biāo)二：根據(jù)條件x<0,xf′(x)+f(x)>0,我們可以關(guān)聯(lián)到哪些知識(shí)點(diǎn)，對(duì)解題有何作用？

可以聯(lián)想到函數(shù)F(x)=xf(x)的導(dǎo)函數(shù)為F′(x)=xf′(x)+f(x),利用逆向思維構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x)，那么導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性迎刃而解.在此過程中xf′(x)+f(x)>0,決定了導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，進(jìn)而確定了F(x)的單調(diào)性，是解題的關(guān)鍵之處.

目標(biāo)三：根據(jù)條件“函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)”，從函數(shù)的奇偶性考慮，F(xiàn)(x)與f(x)有什么關(guān)系？在探尋解題目標(biāo)的過程中有何作用？

f(x)的奇偶性決定了F(x)的奇偶性，F(xiàn)(-x)=-xf(-x)=xf(x)=F(x),因而F(x)是偶函數(shù).而目標(biāo)二只能確定(-∞,0)上函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，當(dāng)確定了F(x)是偶函數(shù)，(0,+∞)上的函數(shù)圖象變化趨勢(shì)便一目了然.

目標(biāo)四：條件f(-2)=0的作用是什么？

作用有三：其一是確定了構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)，分割清楚函數(shù)值的正負(fù)范圍；其二是得到了f(2)=0；其三是為了將f(x)>0等價(jià)變形為f(x)>f(-2)，或f(x)>f(2).

目標(biāo)五：如何由F(x)>0來確定f(x)>0的取值范圍？

由上述確定的五個(gè)中間目標(biāo)繪制如圖1所示的概念圖.

圖1

問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)問題的解決是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要成分.由上述分析可知目標(biāo)意識(shí)在解題中發(fā)揮著舉足輕重的作用.加強(qiáng)學(xué)生解題的目標(biāo)意識(shí)，從多角度、多途徑進(jìn)行培養(yǎng)，并考慮學(xué)生自身情況，因材施教.這樣,學(xué)生在解題時(shí)才能做到積極思考和主動(dòng)探究，提高數(shù)學(xué)解題能力，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì),引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界.